Probabilidade e Modelos Probabilísticos. Conceitos básicos, variáveis aleatórias

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1 robabilidade e Modelos robabilísticos Conceitos básicos, variáveis aleatórias 1

2 Incerteza e robabilidade Tomar decisões: Curso mais provável de ação: Se desejamos passear de barco e não sabemos nadar, devemos usar um salva-vidas. Se não confiamos na continuidade do fornecimento de energia elétrica, devemos ter lanternas e pilhas ou velas e fósforos em casa. Incerteza: or mais medo que se tenha, ou por mais revolto que esteja o mar, pode não acontecer nada no seu passeio de barco. or pior que seja a concessionária de energia elétrica pode não faltar energia... 2

3 Incerteza e robabilidade Como QUNTIICR a incerteza? Um dos métodos disponíveis: ROBBILIDD Mas apenas para fenômenos experimentos LTÓRIOS. 3

4 xperimentos aleatórios xperimentos aleatórios são aqueles nos quais: NTS do experimento ocorrer não se pode definir qual será o seu resultado. Quando é realizado um grande número de vezes, ele apresenta uma regularidade, que possibilita construir um modelo para prever seus resultados. xemplos Consumo de energia elétrica em uma cidade em um dia. Resultados de jogos que envolvam sorteio não viciados. Número de pessoas que chegarão em um banco nas próximas 2 horas. 4

5 Modelos probabilísticos Definição do experimento Definição dos resultados possíveis do experimento spaço mostral Definição de uma regra que obtenha a probabilidade de cada resultado ocorrer. 5

6 spaço amostral, S: TODOS os resultados possíveis. Discreto: inito : {possíveis resultados de sorteio} Infinito numerável : {0, 1, 2,...} Contínuo: Infinito : {nergia/otência 0 MWh ou MW} 6

7 vento vento = conjunto de resultados possíveis spaço amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ventos: = número par, B = número menor que 3 = {2, 4, 6} B = {1, 2} 7

8 Operações entre eventos a União: B b interseção: B c complementar: B B 8

9 ventos mutuamente exclusivos ventos são ditos mutuamente exclusivos se e só se eles não puderem ocorrer simultaneamente. e B são mutuamente exclusivos B = B

10 robabilidade de eventos spaços amostrais discretos equiprováveis Definição clássica: n n sendo: n resultados igualmente prováveis, n destes resultados pertencem a um certo evento 10

11 robabilidade de eventos spaços amostrais discretos Se = { 1, 2, 3,... }, então: i: i i 11

12 robabilidade de eventos locação de probabilidades em função de observações passadas abordagem frequencista: f n n requência relativa lim n f lim n n n

13 xiomas da robabilidade Seja um experimento aleatório com um espaço amostral associado a ele, e seja i i= 1, 2,...n um evento genérico. probabilidade de ocorrência de i será um número real tal que: 0 i 1 = 1 Se 1, 2,..., n são eventos mutuamente exclusivos, então n = i 13

14 ropriedades = 0 = 1 robabilidade do evento complementar 1 14

15 ropriedades Regra da soma das probabilidades B B B B B 15

16 Novo espaço amostral Tipo do leite Condição do peso B B C C UHT U Total dentro das especificações D fora das especificações Total ,051 Qual é a probabilidade que esteja fora das especificações, sabendo-se que é leite do tipo UHT? 50 U ,032 U U U

17 robabilidade condicional Sejam e B eventos quaisquer, sendo B > 0. Definimos a probabilidade condicional de dado B por B B B Sejam e B eventos quaisquer, sendo > 0. Definimos a probabilidade condicional de B dado por B B

18 robabilidade condicional Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com champignon supondo que houvesse calabresa nele? Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com calabresa supondo que houvesse champignon nele? Champignon Calabresa 3/8 Champignon Calabresa Calabresa 5/8 Champignon Calabresa 3/8 Calabresa Champignon Champignon 4 /

19 robabilidade Condicional Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com champignon supondo que houvesse calabresa nele? Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com calabresa supondo que houvesse champignon nele? Champignon Calabresa 2 /8 2 Champignon Calabresa Calabresa 4 /8 4 Champignon Calabresa 2 /8 2 Calabresa Champignon Champignon 4 /8 4 19

20 Regra do produto B B B B B B B B B B ou 20

21 ventos independentes Dois ou mais eventos são independentes quando a ocorrência de um dos eventos não influencia a probabilidade da ocorrência dos outros. Nesse caso: B e B são independentes B B 21

22 Teorema da probabilidade total Ilustração da formação de um lote de peças provindas de 4 fornecedores ornecedor: eças não conformes Grupo de peças extraídas para a formação do lote 22

23 Teorema da probabilidade total k... ]... [ k k k i i i 1 23 ventos i M..

24 Teorema de Bayes i i i i i 24

25 Variável aleatória Uma variável aleatória é uma função com valores numéricos, cujo valor é determinado por fatores de chance. ssocia números aos eventos do espaço amostral. X = número de coroas em 2 lançamentos de uma moeda; = {cara, cara, cara, coroa, {coroa, cara, coroa, coroa} X: x 25

26 xemplos de variáveis aleatórias Vida útil em horas de um televisor. Número de peças com defeito em um lote produzido. Número de acidentes registrados durante um mês na BR.101. Na internet, o tempo em segundos para que uma determinada mensagem chega ao seu destino. Se uma mensagem chega X = 1, ou não X = 0, ao seu destino 26

27 Variáveis aleatórias variável aleatória discreta contínua os possíveis resultados estão contidos em um conjunto finito ou enumerável os possíveis resultados abrangem todo um intervalo de números reais número de defeitos em... tempo de resposta de... 27

28 Variável aleatória discreta ares x i e X = x i. Cada X = x i 0, Σ X = x i = 1,0 X = x i X = x i X = X x i x 1 X = x 1 x 1 = X x 1 x 2 X = x 2 x 2 = X x x n X = x n x n = X x n = 1 28

29 Variável aleatória discreta Valor esperado Variância 29 n i i x i X x X 1 n i i x i X x X onde X X V

30 30 Variável aleatória contínua unção densidade de probabilidade fx: e x x f, 0 x fx a b 1 x d x f Se = [a, b], então b a x d x f x ds s f x X x x,

31 Variável aleatória contínua Valor esperado Variância onde X x f x dx V X X 2 X 2 x 2 2 f x dx 31

32 ropriedades do valor esperado e variância ac = c bx + c = X + c c cx = cx dx + Y = X + Y e X Y = X Y avc = 0 bvx + c = VX c VcX = c 2 VX ddcx = c DX Se X e Y INDNDNTS: VX + Y = VX + VY VX Y = VX + VY 32