Espaços Amostrais e Eventos. Probabilidade 2.1. Capítulo 2. Espaço Amostral. Espaço Amostral 02/04/2012. Ex. Jogue um dado

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1 Capítulo 2 Probabilidade 2.1 Espaços Amostrais e Eventos Espaço Amostral Espaço Amostral O espaço amostral de um experimento, denotado S, é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento. Ex. Jogue um dado Resultados: pousar com a face 1, 2, 3, 4, 5, ou 6 para cima Espaço Amostral: S ={1, 2, 3, 4, 5, 6} 1

2 Eventos Um evento é qualquer coleção (subconjunto) de resultados contidos no espaço amostral S. Um evento é simples se ele consistir de exatamente um resultado e composto se ele consistir de mais de um resultado. Relações da Teoria dos Conjuntos 1. A união de dois eventos A e é o evento que consiste de todos os resultados que estão tanto em A quanto em. Notação: A Leia-se: A ou Relações da Teoria dos Conjuntos 2. A interseção de dois eventos A e é o evento que consiste de todos os resultados que estão em A e em. Notação: A Leia-se: A e Relações da Teoria dos Conjuntos 3. O complemento de um evento A é o conjunto de todos os resultados em S que não estão contidos em A. Notação: A 2

3 Eventos Ex. Lançar um dado. S ={1, 2, 3, 4, 5, 6} Seja A = {1, 2, 3} e = {1, 3, 5} A {1,2,3,5} A {1,3} Mutuamente Exclusivo Quando A e não tem nenhum resultado em comum, eles são eventos mutuamente exclusivos ou disjoint A {4,5,6} Mutuamente Exclusivo Ex. Quando lançar um dado, se evento A = {2, 4, 6} (pares) e evento = {1, 3, 5} (ímpares), então A e são mutuamente exclusivos. Ex. Ao puxar uma simples carta de um baralho padrão, se evento A = {copas, ouro} (vermelho) e evento = {espadas, paus} (preto), então A e são mutuamente exclusivos. Diagramas de Venn A A A A Mutuamente Exclusivo A A 3

4 2.2 Axiomas, Interpretações, e Propriedades da Probabilidade Axiomas da Probabilidade Axiom 1 P( A) 0 for any event A Axiom 2 P( S ) 1 Se todos os A i s são mutuamente exclusivos, então k Axiom 3 P( A1 A2... Ak) P( Ai) (conjunto finito) 1 2 (conjunto infinito) i1 i1 P( A A...) P( A i ) Propriedades de Probabilidade Para qualquer evento, P A 1 ( ). P A Se A e são mutuamente exclusivos, P A então 0. Para quaisquer dois eventos A e, P A P A P P A ( ) ( ) ( ). Ex. Uma carta é puxada de um baralho bem misturado de 52 cartas. Qual a probabilidade de que seja rainha ou copas? Q = Rainha e H = Copas P( Q), P( H), P( Q H) P( Q H) P( Q) P( H) P( Q H)

5 2.3 Técnicas de Contagem Regra do Produto Se o primeiro elemento ou objeto de um par ordenado pode ser usado em n 1 modos, e para cada um desses n 1 modos o segundo pode ser selecionado n 2 modos, então o número de pares é n 1 n 2. ** Note que isso se generaliza para k elementos (k tuplos) Permutações Qualquer sequência ordenada de k objetos tomada de um conjunto de n objetos distintos é chamada de permutação de tamanho k dos objetos. Notação: P k,n Pkn, n( n 1)... ( n k 1) Fatorial Para qualquer inteiro positivo m, m! é lido m fatorial e é definido por m! m( m1)... (2)(1). Além disso, 0! = 1. Note, agora podemos escrever: P kn, n! n k! 5

6 Ex. Um menino tem 4 contas vermelha, branca, azul, e amarela. De quantas maneiras diferentes podem três das contas serem juntadas em uma fileira? Esta é uma permutação, visto que as contas estarão em uma fileira (ordem). P 3,4 número selecionado 4! 4 3! total 4! maneiras diferentes Combinações Dado um conjunto de n objetos distintos, qualquer subconjunto não ordenado de tamanho k dos objetos é chamado de combinação. n Notação: or Ckn, k n n! k k! n k! Ex. Um menino tem 4 contas vermelha, branca, azul, e amarela. De quantas maneiras diferentes podem três das contas serem escolhidas para serem retiradas? Ex. Três bolas são selecionadas ao acaso sem reposição do jarro abaixo. Encontre a probabilidade de que uma bola seja vermelha e duas pretas. total Esta é uma combinação, visto que são escolhidas independente da ordem. 4 4! 3 3! 4 3! número selecionado 4! 4 3! 4 maneiras diferentes

7 2.4 Probabilidade Condicional Probabilidade Condicional Para quaisquer dois eventos A e com P() > 0, a probabilidade condicional de A dado que tenha ocorrido é definida por P A Que pode ser escrita: P A P P A P P A A Lei da Probabilidade Total Sejam os eventos A 1, A 2,, A k mutuamente exclusivos e exaustivos. Então, para qualquer outro evento, k P P( Ai) P( Ai) i1 Teorema de ayes Sejam A 1, A 2,, A n uma coleção de k eventos mutuamente exclusivos e exaustivos com P(A i ) > 0 para i = 1, 2,,k. Então, para qualquer outro evento em que P() > 0 j P A k i1 j P Aj P A P A P A i i j1,2..., k 7

8 Ex. Uma loja estoca lâmpadas de três fornecedores. Fornecedores A,, e C suprem 10%, 20%, e 70% das lâmpadas, respectivamente. Foi determinado que as lâmpadas da companhia A são 1% defeituosas enquanto as da companhia são 3% defeituosas e as da companhia C são 4% defeituosas. Se uma lâmpada for selecionada ao acaso e considerada defeituosa, qual a probabilidade de que seja do fornecedor? Seja D = defeituosa P PD P D P A PD A P PD PC PD C Aproximadamente Independência Eventos Independentes Dois eventos A e são eventos independentes se P( A ) P( A). Caso contrário, A e são dependentes. Eventos Independentes Eventos A e são eventos independentes se e somente se ( ) ( ) P A P A P ** Nota: isso se generaliza para mais que dois eventos independentes. 8