Estatística II. Capítulo 1:

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Estatística II. Capítulo 1:"

Transcrição

1 1 Estatística II Capítulo 1: Consciente ou inconsciente, a probabilidade é usada por qualquer individuo que toma decisão em situações de incerteza. Conhecendo ou não regras para seu cálculo, muitas pessoas interessam-se por eventos ligados às probabilidades. Do contrário, poderíamos explicar o grande número de indivíduos que jogam loterias, bingos, corridas de cavalo etc.? Aliás, as aplicações iniciais do cálculo das probabilidades ocorreram em função de jogos de azar, no século XVI. A utilização das probabilidades indica a existência de um elemento de acaso, ou de incerteza, quanto à decorrência ou não de um evento. Por exemplo, se lançarmos uma moeda para o ar, de modo geral não podemos afirmar se vai dar cara ou coroa. A probabilidade nos indicará uma medida de quão provável é a ocorrência de determinado evento. São várias situações em que é desejável ter uma medida (avaliação numérica) de quão provável é a decorrência de determinado evento futuro: lançamento de um produto, bons lucros em uma operação mercantil, chover amanhã à tarde, meu time ganhar o próximo jogo, malogro de uma safra, compra de ações, etc. Embora o termo probabilidade tenha ampla significação, com a qual todos estamos familiarizados, sua definição e interpretação têm sido fonte de grandes dificuldades quando o termo deve ser tomado em sentido estrito. As asserções sobre probabilidade podem provir tanto de bases objetivas quanto subjetivas, podem derivar tanto da experimentação quanto de raciocínio a priori. Para melhor entendimento, é interessante relembrar alguns conceitos básicos no estudo das probabilidades, tais como experimento, evento, evento simples e espaço amostral de um experimento. experimento: é qualquer processo que permite ao pesquisador fazer observações. Exemplos: a ocorrência de um raio; uma viagem aérea; o lançamento de uma moeda; temperatura de uma região; apólices vendidas por seguradoras; funcionários de uma empresa, etc.. Os experimentos podem ser determinísticos ou aleatórios. a) experimento determinísticos: conduzem sempre a um mesmo resultado, quando as condições iniciais são as mesmas. Exemplo: tempo de queda livre

2 2 de um corpo. Mantidas as mesmas condições, as variações obtidas para o valor do tempo de queda livre de um corpo são extremamente pequenas (em alguns casos, desprezíveis); b) experimento aleatórios: os fenômenos aleatórios podem conduzir a diferentes resultados; mesmo quando as condições iniciais são as mesmas, existe a imprevisibilidade do resultado. Exemplo: lançamento de um dado. A teoria das probabilidades não é aplicada a fenômenos determinísticos, mas, por outro lado, é extremamente útil para fenômenos aleatórios. evento: é um resultado ou, eventualmente, um conjunto de resultados ocorridos no experimento. Exemplos: o raio atingir (ou não) uma pessoa, o horário de chegar (ou não) no horário correto; ao jogar a moeda o evento foi cara; a temperatura ser abaixo (ou acima) de 20 C; a venda de passagens para Brasília ser maior que para o Rio de Janeiro; evento simples: é um resultado, ou um evento, que não comporta mais decomposições. Exemplo de evento simples: ao jogar o dado, o evento simples foi o número cinco; evento não simples: o evento não simples pode ser decomposto em dois (ou mais) eventos simples. Exemplo de evento não simples: jogar dois dados o evento foi o número oito; não é um evento simples, pois é composto por mais de um evento simples, tal como dois e seis ou três e cinco. evento certo: é aquele que ocorre em qualquer realização do experimento. Exemplo de evento certo: no lançamento de um dado fatalmente sairá a face 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. evento impossível: é aquele que não ocorre em qualquer realização do experimento. Exemplo de evento impossível: no lançamento de um dado sair a face 7. Logo, se o evento favorável (A) for constituído por um conjunto vazio, nesse caso o número de elementos A é um conjunto nulo; A = ɸ n (A) = 0 evento complementar: Para um evento A qualquer, o complementar de A, denotado por Ā é dado por Ā = S. A, ou seja, é um ou outro conjunto formado pelos elementos que pertencem a S e não pertencem a Ā. O resultado da reunião de A e Ā é exatamente o espaço amostral. Ex.: Coroa é complementar de cara (e vice-versa); o conjunto de cartas de paus, ouros e copas é complementar do conjunto de espadas.

3 3 Exemplo: Num evento, foram vendidos 50 bilhetes, e será sorteado um prêmio. Qual a probabilidade de uma pessoa, que tenha adquirido 4 bilhetes, ganhar o prêmio? Qual a probabilidade de não ganhar (probabilidade contrária)? evento mutuamente exclusivo: Caracteriza-se quando dois ou mais eventos não podem ocorrer simultaneamente, ou seja, a ocorrência de um exclui a possibilidade de ocorrência do outro e vice-versa. Exemplo 1: Se a carta é de paus, então ela não é de ouros; se o tempo está seco, então não há chuva. Exemplo 2: Ocorrência de face menor que 2 ou maior que 5 no lançamento de um dado. P (face menor que 2) = = 0,167 ou 16,7%. P (face maior que 5) = = 0,167 ou 16,7%. Observe que os eventos face menor que 2 ou face maior que 5 são mutuamente excludentes, pois a ocorrência de um, impossibilita a ocorrência do outro. Porém, não são complementares, pois não esgotam todos os resultados possíveis do experimento. Eventualmente poderão esgotar todos os resultados possíveis, nesse caso serão chamados de mutuamente excludentes e exaustivos. evento independente: dizemos que dois ou mais eventos são independentes quando não exercem ações recíprocas, comportando-se cada um de maneira que lhe é própria sem influenciar os demais. Caracteriza-se, portanto, quando a ocorrência de um evento não for afetada pela ocorrência do outro, sendo a recíproca verdadeira. Ex.: Consideremos o lançamento de duas moedas: Temos: S = {Ca, Ca; Ca, Co; Co, Co; Co, Ca} Os resultados dos eventos são independentes de uma moeda para outra. evento condicionado: quando associados dois ou mais eventos a um experimento aleatório qualquer dizemos que eles são condicionados a outro evento B do mesmo experimento. Caracteriza-se quando a ocorrência de um evento A qualquer dependa da ocorrência de outro evento B. Ex.: 1º) retirada, sem reposição, de duas cartas vermelhas de um baralho completo.

4 4 2º) uma caixa contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Pretendo sortear a bola 5 e a bola 8. Tiro uma bola e verifico que é a bola 8, espaço amostral de um experimento ou universo (S): é composto pelo conjunto de todos os elementos simples possíveis; o espaço amostral é também chamado conjunto universo, sendo que n(s) é o número total de elementos que compõem o universo S. Exemplo: no lançamento de uma moeda, o espaço amostral é composto de dois eventos simples: cara e coroa. Nesse caso: n(s) = 2. No lançamento de duas moedas, o espaço amostral é composto de quatro eventos: (cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara) e (coroa, coroa). Para esse exemplo: n(s) = 4, logo Ω =. Exemplos: a) Qual o espaço amostral no lançamento de dois dados? b) Se o experimento consiste no lançamento de 3 moedas consecutivas, qual o espaço amostral? Aplicação das regras para o cálculo das probabilidades: A probabilidade de um evento A deve ser um número maior ou igual a 0, porém menor ou igual a 1. Isto é: 0 P(A) 1 ou 0% P(A) 100% Probabilidade do espaço amostral: A probabilidade do espaço amostral S é igual a 1. Isto é: P(S) = 1 ou P(S) = 100%

5 5 Teoria das probabilidades: A probabilidade P(A) é definida como a relação entre o número de possíveis resultados favoráveis do evento e todos os possíveis resultados do experimento. P(A) = Sendo que: A é o evento favorável; n(a) é o número de elementos do evento favorável A; n(s) é o número total de elementos do Universo (S). Exemplos: 1) A pesquisa de um jornal de São Paulo revelou que 200 brasileiros foram mortos por raios no período de um ano (ano 2.000). Qual a probabilidade de uma pessoa ser atingida por um raio, sabendo-se que a população brasileira está em torno de 170 milhões? 2) Uma pesquisa do PC World foi realizada com proprietários de computadores pessoais, e verificou que 992 dos computadores apresentaram falhas em um intervalo de dois anos após a compra. Tomando como base estes resultados, qual a probabilidade de você comprar um computador pessoal e ele apresentar problema nos próximos dois anos? Regra da adição: a) Para eventos mutuamente exclusivos P(A ou B) = P(A) + P(B) Ex: Qual a probabilidade de ocorrer dama ou valete ao retirarmos uma única carta de um baralho completo?

6 6 b) Para eventos não mutuamente exclusivos: P(A B) = P(A)+ P(B) P(A B) Deseja-se calcular a probabilidade de ser retirada uma carta vermelha ou um rei. Seja: A= {carta vermelha} e B= {rei}. Evidentemente, A e B não são mutuamente exclusivos, porque há duas cartas de reis vermelhas (rei de ouros e rei de copas). Assim: Agora, deseja-se determinar a probabilidade de ser retirada uma carta de espadas ou uma dama de ouros. Sejam: A= {carta de espada} e B= {dama de ouros}. Nesse caso, os eventos A e B não são mutuamente exclusivos, pois A B = Assim: Probabilidade de um evento complementar P(A) = 1 P(Ā) Se A= {carta de paus}, então Ā= {qualquer carta exceto paus}. Assim: P(Ā) = 1- = = = 75% Regra do produto a) para eventos independentes P(A x B) = P(A). P(B)

7 7 Ex.: Qual a probabilidade de acertamos os dois primeiros jogos da loteria esportiva utilizando palpite simples? b) para eventos condicionados P(AxB) = P(A). [P(A). P(B/A)] Ex. Retiram-se sem reposição, duas cartas de um baralho completo. Qual a probabilidade de ambas serem espada? Essa regra é válida para n eventos independentes: A 1, A 2, A 3,..., A n, desde que as condições para a multiplicação de probabilidades sejam satisfeitas para todas as combinações de dois ou mais eventos, isto é, desde que todas as combinações sejam constituídas por eventos independentes. Então: P( A 1. A 2...A n ) = P (A 1 A 2... A n ) = P(A 1 ). P(A 2 )..... P(A n ) Exemplos: 1) São retiradas sem reposição duas cartas de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade que as duas cartas sejam de ouros? 2) Em uma experiência que consiste em lançar, simultaneamente, um dado e duas moedas, qual é a probabilidade de obter um cinco e duas coroas em uma única jogada? 3) Com a introdução do imposto sobre o lixo, uma empresa encomendou uma pesquisa de opinião junto a parlamentares da Câmara Municipal. Segundo essa pesquisa, a probabilidade de a empresa vencer a licitação para a coleta de lixo no

8 8 bairro de Sérvia Amarela é de 60%. A pesquisa revelou ainda que a probabilidade de a empresa ganhar a licitação para a coleta de lixo no bairro de Conceição é de 90%. Qual a probabilidade de essa empresa vencer as duas concorrências? 4) Um lote é formado por um total de 80 peças, sendo 45 peças perfeitas, 30 com pequenos defeitos e 5 com defeitos graves. Pretende-se retirar 4 peças ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de que as 4 peças retiradas sejam: a) todas as cartas perfeitas; b) duas perfeitas e duas com pequenos defeitos; c) nenhuma das 4 peças com pequenos defeitos. Análise Combinatória: A análise combinatória é usada para a resolução de problemas matemáticos de contagens. Para problemas simples ou com poucos elementos, pode-se contar o número de resultados de maneira direta, sem necessidade de recorrer às fórmulas matemáticas da análise combinatória. Para problemas menos simples, recorre-se às permutações e combinações para determinar o número de resultados possíveis. Permutações: Permutação de n objetos é o número de maneiras diferentes que esses elementos podem ser arrumados num grupo, alterando-se apenas a ordem dos elementos no grupo. Permutações de n objetos (n objetos agrupados em n elementos): P n = n! P n = n! = (n). (n-1). (n-2) Observa-se que o cálculo da permutação é feito por meio do fatorial do número n.

9 9 Representa-se fatorial: n! (lê-se ene fatorial). Obs. 1! = 1 e 0! = 1 Ex. P 7 = 7! = a) Permutação sem repetição: conjuntos de elementos distintos. Ex.: 1) Há 10 jogadores de xadrez em um campeonato, sendo 4 com camisas verdes, 3 com camisas amarelas e 3 com camisas azuis. De quantos modos podemos perfilar esses 10 jogadores de modo que os grupos com as camisas de mesma cor fiquem juntas? 2) Três membros de uma organização social se oferecem como voluntários para compor a diretoria, para o próximo ano, assumindo as funções de Presidente, Tesoureiro e Secretário. Qual o número de maneiras pelas quais os três poderes podem assumir tais cargos? b) Permutação com repetição: Conjuntos com alguns elementos iguais entre si. P n (β!γ!,...,δ!) = Ex: 1) Quantos anagramas podem formar com a palavra ARAQUARA? Exercício: Quantos números com quarto algarismos podem ser formados com os 10 algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9: a) Admitindo-se repetições b) Não se admitindo repetição c) Não admitindo repetições e o último algarismo devendo ser zero.

10 10 Arranjo: Seja Δ um conjunto de x elementos tal que Δ = {a 1, a 2,..., a 7 }. Classificamos como Arranjo Simples de n elementos tomados p a p, onde (0 p n) como aqueles casos que dispomos dos elementos de um conjunto de n elementos sem repeti-los, de tal forma que a ordem desses elementos seja importante. Por exemplo: se tivermos um grupo de três pessoas A B C será diferente do grupo de pessoas C A B, ainda que seja formado pelos mesmos elementos desse conjunto. Dispondo de n elementos distintos para formar grupos de p elementos também distintos, onde 0 p n, contamos com a expressão matemática: onde n = número total de elementos r = o que se pretende agrupar Tomemos os exemplos a seguir para aplicações dos arranjos simples. Exemplo1: De um baralho de 52 cartas, 3 são retiradas sucessivamente, sem reposição. Quantas sequências de cartas são possíveis obter? Exemplo 2: Oito pessoas desejam formar uma chapa para as eleições à presidência de uma empresa. De quantas maneiras distintas pode-se formar uma chapa sabendo que, em cada uma delas, haverá um presidente, um secretário e um tesoureiro? Exemplo 3: Cinco pessoas constituem a junta diretora de uma empresa. Suponha que somente três destes diretores sejam convidados a representar a empresa num banquete. Quantos arranjos diferentes seriam possíveis para compor este trio?

11 11 Combinação: Seja Δ = {a 1, a 2,..., a 7 } um conjunto qualquer com n elementos. Classifica-se como combinação simples aqueles casos em que dispõe-se de n elementos distintos e, a partir daí, formam-se grupos não ordenados com p elementos, onde (0 p n). A ordem de arrumação não altera o grupo. A expressão matemática que define o número de combinações simples é definida por: Tomemos os exemplos a seguir para aplicações de combinações. Exemplo 1: Marcam-se 5 pontos sobre uma reta R e 8 pontos sobre uma outra reta F, paralela a R. Quantos triângulos podem ser formados tomando-se três pontos quaisquer? Exemplo 2: De 5 matemáticos e 7 físicos deve-se constituir uma comissão de 2 matemáticos e 3 físicos. De quantas maneiras podemos formar a comissão se: a) qualquer matemático e qualquer físico podem ser incluídos; b) determinado físico deve fazer parte da comissão; c) dois determinados matemáticos não devem pertencer à comissão. Diagrama da árvore Quando o número de pontos do espaço amostral é relativamente pequeno, é possível a sua contagem direta, utilizando o chamado diagrama da árvore (ou de decisão), que consiste em representar graficamente todas as possíveis variantes de uma dada situação. Recebe esse nome porque sua figura característica se assemelha a uma árvore, com suas ramificações partindo de cada uma das possibilidades originais e intermediárias. Apesar de ser um processo gráfico facilmente mecanizável, sua aplicação se restringe a eventos simples, uma vez que a sua complexidade é diretamente proporcional ao número de possibilidades de ramificação.

12 12 Ex.: Um estudante deve responder um teste do tipo verdadeiro (V) ou falso (F). Se considerarmos apenas três questões, qual a probabilidade dele acertar todo o teste? O diagrama nos diz que ele tem uma chance a favor e sete contra, se considerarmos apenas três questões, portanto, 1/8 = 12,5%. Outra forma é partir da definição de probabilidade. Com base nela podemos esboçar a seguinte solução analítica: Como se vê, a resposta do diagrama foi aqui confirmada. Exercício: Uma caixa A contém 10 peças perfeitas e 3 defeituosas. Outra caixa B contém 8 peças perfeitas e 5 defeituosas. Sorteando-se uma das caixas ao acaso, qual a probabilidade de que seja retirada uma peça defeituosa? Teorema de Bayes (Thomas Bayes / 1761): Em alguns casos é útil, dispormos de um processo sistemático de revisão das probabilidades, à medida que forem obtidas novas informações. Com base na probabilidade condicional, é possível calcular a probabilidade de um dado evento B ocorrer após certo evento A ter ocorrido. O que o teorema de Bayes possibilita é a quantificação de certo evento A ter sido provocado por B, C ou D. Assim, se A pode ter sido provocado por B, C ou D e quer-se quantificar a chance dele ter sido produzido por D em

13 13 particular, basta relacionar as chances de produção por D em relação à chance de ter sido produzido por B, C ou D. Exemplo: Temos 3 urnas: - A contém 3 bolas vermelhas e 5 brancas - B contém 2 bolas vermelhas e 1 branca - C contém 2 bolas vermelhas e 3 brancas Uma urna é sorteada ao acaso e uma bola é retirada. Se a bola for vermelha, qual a probabilidade de que ela tenha vindo da urna A? Exercício 1: Uma peça é manufaturada por 3 fábricas. - A fábrica 1 produz o dobro da % das peças da fábrica 1 são defeituosas. - 2% das peças da fábrica 2 são defeituosas. - 4% das peças da fábrica 3 são defeituosas. - As fábricas 2 e 3 produzem o mesmo número de peças. Uma peça é extraída ao acaso e é defeituosa. Qual a probabilidade da peça ser da fábrica 3?

14 14 Lista de Exercícios: 1) Um homem vai ao restaurante disposto a almoçar um prato de carne e uma sobremesa. O cardápio oferece 8 tipos de pratos distintos de carne e 5 sobremesas diferentes. De quantas formas esse homem pode almoçar neste restaurante? (Resp. 40) 2) Uma prova de matemática estava sendo realizada na escola e constava de oito questões do tipo C/ E, ou seja, certo ou errado. Quantas sequências de respostas podem ser feitas nesta provo? (Resp. 256) 3) Em uma festa, onde há 32 rapazes e 40 moças, 80% das moças e dos rapazes sabem danças. Quantos pares podem ser formados de modo que: a) Ninguém saiba dançar (Resp. 160). b) Apenas uma pessoa saiba dançar. (Resp. 736) 4) (UF GO) Uma senha composta de seis algarismos tem as seguintes características: seus números são distintos; a soma dos dois últimos algarismos deve ser igual a seis. Com essas características, determine a quantidade de senhas possíveis de serem formadas. (Resp ). 5) Uma caixa contém 100 peças das quais 5 são defeituosas. Selecionam-se duas peças repondo a primeira antes de retirar a segunda. Qual a probabilidade de ambas as peças retiradas sejam defeituosas? (Resp. 0,16%) 6) Na jogada de um dado honesto determine a probabilidade de se obter: a) Um número par; (Resp. 50%) b) Um número menor do que 3; (Resp. 33,33%) c) Um número maior ou igual a 3; (Resp. 66,67%) d) Um número maior do que 6; (Resp. 0%) e) Um número menor do que 10. (Resp. 100%) 7) Um casal pretende ter 4 filhos. Considere igual a a probabilidade de se ter um filho do sexo masculino ou do sexo feminino. Determine a probabilidade de o casal ter: a) 4 Mulheres; (Resp. 6,25%) b) 3 Mulheres e 1 Homem em qualquer ordem; (Resp. 25%)

15 15 c) 2 Mulheres e 2 Homens em qualquer ordem; (Resp. 37,50%) d) 1 Mulher e 3 Homens em qualquer ordem; (Resp. 25%) e) 4 Homens; (Resp. 6,25%) f) Homem; Mulher, Homem, Mulher, nesta ordem. (Resp. 6,25%). 8) Um aluno propõe resolver uma questão de um trabalho. A probabilidade de que consiga resolver a questão sem necessidade de pesquisa é de 40%. Caso faça a pesquisa, a probabilidade de que consiga resolver a questão é de 70%. Se a probabilidade do aluno fazer a pesquisa é de 80%, calcule a probabilidade de que consiga resolver a questão. (Resp. 64%). 9) Um lote contém 50 peças boas e 10 defeituosas. Uma peça é escolhida ao acaso e, sem reposição desta, outra peça é escolhida. Determine a probabilidade das duas peças serem defeituosas. (Resp. 2,54%) 10) Em uma urna, existem 10 bolas, sendo 3 vermelhas. Em outra urna, existem 12 bolas, sendo 4 vermelhas. Retira-se uma bola de cada urna. Determine a probabilidade de: a) ambas serem vermelhas; (Resp. 10%) b) ao menos uma ser vermelha. (Resp. 63,33%) 11) Em um lote de 12 objetos existem 4 defeituosos. Seja o experimento retirar-se 2 objetos quaisquer e verificar se são ou não defeituosos. Determine as probabilidades de que: a) ambos os objetos sejam defeituosos; (Resp. 9,09%) b) ambos os objetos não sejam defeituosos; (Resp. 42,42%) c) pelo menos um objeto seja defeituoso. (Resp. 57,58 xc%) 12) Lançam-se três moedas não viciadas. Encontre a probabilidade de: a) ocorrer três caras se não se tem nenhuma informação; (Resp.12,5%) b) ocorrer cara na primeira;(resp. 50%) c) ocorrer cara numa das moedas.(resp.87,5%) 13) São dadas três caixas, com os seguintes conteúdos: a) a caixa I tem 10 lâmpadas, das quais 4 são defeituosas b) a caixa II tem 6 lâmpadas, das quais 1 é defeituosa c) a caixa III tem 6 lâmpadas, das quais 3 são defeituosas. Uma caixa é selecionada ao acaso e desta é escolhida uma lâmpada. Determine a probabilidade de esta lâmpada ser defeituosa. 35,56%

16 16 14) A probabilidade que o aluno A resolva certo problema é P(A) = 1/2, a que o aluno B o resolva é P(B) = 1/3, e a que o aluno C resolva é P(C) = 1/4. Qual a probabilidade de que: a) os três resolvam o problema; (Resp.4,17%) b) ao menos um resolva o problema. (Resp. 75%) 15) Numa fábrica, a máquina X produz 35% do total da produção; a máquina Y, 40%; e a máquina Z, o restante dos 25%. Da produção de X, 2% apresentam defeito, da produção de Y, 1,5% apresenta defeito; e da produção de Z, 0,8% apresenta defeito. Num dia em que a produção foi de peças, uma delas foi retirada ao acaso e verificou-se que era defeituosa. A probabilidade de que essa peça tenha sido produzida na máquina X é igual a? (Resp. ). 16) (UCDB MT) Uma mulher tem 10 pares de sapato, todos diferentes. De quantas formas ela pode selecionar 2 sapatos, sem que eles sejam do mesmo par? (Resp. 180) 17) (TCE) Em um grupo de dança, participam dez meninos e dez meninas. O número de diferentes grupos de cinco crianças que podem ser formados de modo que em cada um dos grupos participem três meninos e duas meninas é dado por: a) 5.400; b) 6.200; c) 6.800; d) 7.200; e) (Resp. A) 18) (TFC) Em uma circunferência, são escolhidos 12 pontos distintos. Ligam-se quatro quaisquer desses pontos de modo a formar um quadrilátero. O número total de diferentes quadriláteros que podem ser formados é: a) 128; b) 495; c) 545; d) 1.485; e) (Resp.B) 19) (Gestor Fazendário) Marcela é Mário fazem parte de uma turma de quinze formandos, onde 10 são rapazes e cinco são moças. A turma reúne-se para formar uma comissão de formatura de seis formandos, três rapazes e três moças. O número de diferentes comissões que podem ser formadas, de modo que Marcela participe e Mário não participe é igual a: a) 504; b) 252; c) 284; d) 90; d) 84. (Resp. A) 20) (Petrobrás) Uma pessoa joga seis partidas, vencendo três e perdendo três. Em quantas ordens diferentes podem ocorrer suas vitórias? a) 18; b) 20; c) 36; d) 48; e) 120. (Resp. B)

17 17 21) Um representante de vendas deve visitar seis cidades durante uma viagem. a- Se há dez cidades na área geográfica que vai visitar, quantos grupos diferentes de seis cidades pode ele visitar? (210) b-suponhamos que existam dez cidades na região que ele visitará e suponhamos, também, que a sequencia das visitas programadas às cidades selecionadas seja importante. Quantas diferentes sequências existem de seis cidades escolhidas de um grupo de dez? ( ) c- Suponhamos que as seis cidades a visitar já tenham sido escolhidas, mas ainda não se tenha determinado a sequencia na qual serão feitas as visitas. Quantas sequências existem para as seis cidades escolhidas? (720) 22) Das dez cidades descritas no problema anterior, suponhamos que seis sejam de fato mercados primários para o produto em questão, enquanto as outras quatro são mercados secundários. Se o vendedor escolhe aleatoriamente as seis cidades para visitar, qual a probabilidade de que: a- quatro das cidades sejam mercados primários e dois secundários; (43%) b- que todas as seis cidades sejam mercados primários? (0,5%) 23) Quatro atletas participam de uma corrida. Quantos resultados existem para o 1º, 2º e lugares? (24) 24) Dez pessoas, entre elas Antônio e Beatriz, devem ficar em fila. De quantas formas isto pode ser feito se Antônio e Beatriz devem ficar sempre juntos? ( ) 25) Num determinado setor de um hospital, trabalham cinco médicos e dez enfermeiros. Quantas equipes distintas, construídas cada uma de um médico e quatro enfermeiros, podem ser formados nesse setor? (1050) 26) Em um teste de múltipla escolha, com cinco alternativas distintas, sendo uma única correta, o número de modos distintos de ordenar as alternativas de maneira que a única correta não seja nem a primeira nem a última é: (72) 27) Numa prova oficial, de Fórmula Um, participarão 25 pilotos e, apenas os 6 primeiros colocados ganharão pontos. Considerando que todos os pilotos terão a mesma chance de classificação, qual é o número de maneiras diferentes que poderá ser formado o grupo daqueles que obterão pontos, sem levar em consideração a posição dos 6 primeiros colocados? ( ). 28) Uma urna contém 10 bolas: 6 pretas iguais e 4 brancas iguais. Quantas são as maneiras diferentes de se extrair, uma a uma, as 10 bolas da urna? (210) 29) De quantas maneiras podemos dispor em uma fileira 5 fichas de cores distintas? (120). 30) Num grupo de 300 empresários cadastrados por uma agência de viagens, 100 visitarão Fortaleza e 80 visitarão Manaus (os empresários restantes viajarão para outras cidades). Esses

18 18 dados incluem 30 empresários que visitarão as duas cidades (ou seja, visitarão tanto Fortaleza como Manaus). Qual a probabilidade de um empresário aleatoriamente escolhido visitar: a) Fortaleza (F); (Resp. 0,33) b) Manaus (M); (Resp. 0,27) c) Fortaleza (F) ou Manaus (M); (Resp. 0,50). 31) Considere o conjunto de números inteiros {1, 2, 3,..., 19, 20}, e, por meio de um sorteio aleatório, seja selecionado um número. Se o número sorteado for ímpar, qual a probabilidade de o número sorteado ser o número 13? (Resp. 1/10 ou 10%). 32) Num evento beneficente, foram vendidos 20 números, e serão sorteados dois prêmios. Qual a probabilidade de uma pessoa que tenha adquirido quatro números ganhar os dois prêmios? (Resp. 3,16). 33) Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0, 1, 2,..., 9. O segredo do cofre é marcado por um sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverão fazer (no máximo) para conseguir abri-lo? (Resp. 720). 34) Num grupo de 8 crianças há 6 meninos e 2 meninas. De quantas maneiras podemos escolher: a) 4 crianças; (Resp. 70) b) 4 crianças, sendo que no mínimo há uma menina entre os escolhidos. (Resp. 55). 35) Um time de vôlei tem 16 jogadores, sendo que 3 são levantadores e 13 são atacantes. Como escolher 1 levantador e 5 atacantes para formar o time que inicia o jogo? (Resp ).

19 CAPÍTULO 2: 19

20 20

21 21

22 CAPÍTULO 3: 22

23 23

24 24

25 25

26 26

27 27

28 28

29 29

30 30

31 31

A probabilidade representa o resultado obtido através do cálculo da intensidade de ocorrência de um determinado evento.

A probabilidade representa o resultado obtido através do cálculo da intensidade de ocorrência de um determinado evento. Probabilidade A probabilidade estuda o risco e a ocorrência de eventos futuros determinando se existe condição de acontecimento ou não. O olhar da probabilidade iniciou-se em jogos de azar (dados, moedas,

Leia mais

Faculdade Tecnológica de Carapicuíba Tecnologia em Logística Ênfase em Transportes Notas da Disciplina de Estatística (versão 8.

Faculdade Tecnológica de Carapicuíba Tecnologia em Logística Ênfase em Transportes Notas da Disciplina de Estatística (versão 8. Faculdade Tecnológica de Carapicuíba Tecnologia em Logística Ênfase em Transportes Notas da Disciplina de Estatística (versão 8.) PROBABILIDADE Dizemos que a probabilidade é uma medida da quantidade de

Leia mais

Módulo VIII. Probabilidade: Espaço Amostral e Evento

Módulo VIII. Probabilidade: Espaço Amostral e Evento 1 Módulo VIII Probabilidade: Espaço Amostral e Evento Suponha que em uma urna existam cinco bolas vermelhas e uma branca. Extraindo-se, ao acaso, uma das bolas, é mais provável que esta seja vermelha.

Leia mais

Professor Mauricio Lutz PROBABILIDADE

Professor Mauricio Lutz PROBABILIDADE PROBABILIDADE Todas as vezes que se estudam fenômenos de observação, cumpre-se distinguir o próprio fenômeno e o modelo matemático (determinístico ou probabilístico) que melhor o explique. Os fenômenos

Leia mais

CAPÍTULO 04 NOÇÕES DE PROBABILIDADE

CAPÍTULO 04 NOÇÕES DE PROBABILIDADE CAPÍTULO 0 NOÇÕES DE PROBABILIDADE. ESPAÇO AMOSTRAL É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. No lançamento de uma moeda perfeita (não viciada) o espaço amostral é S =

Leia mais

PROBABILIDADE PROFESSOR: ANDRÉ LUIS

PROBABILIDADE PROFESSOR: ANDRÉ LUIS PROBABILIDADE PROFESSOR: ANDRÉ LUIS 1. Experimentos Experimento determinístico: são aqueles em que o resultados são os mesmos, qualquer que seja o número de ocorrência dos mesmos. Exemplo: Um determinado

Leia mais

INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA (CAp/UERJ) MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - PROF. ILYDIO SÁ CÁLCULO DE PROBABILIDADES PARTE 1

INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA (CAp/UERJ) MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - PROF. ILYDIO SÁ CÁLCULO DE PROBABILIDADES PARTE 1 1 INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA (CAp/UERJ) MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - PROF. ILYDIO SÁ CÁLCULO DE PROBABILIDADES PARTE 1 1. Origem histórica É possível quantificar o acaso? Para iniciar,

Leia mais

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 7

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 7 RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 7 TEORIA DAS PROBABILIDADES Vamos considerar os seguintes experimentos: Um corpo de massa m, definida sendo arrastado horizontalmente por uma força qualquer, em um espaço definido.

Leia mais

Raciocínio Lógico Exercícios. Prof. Pacher A B P(A B) P(A/B) = P(B) n(a) P(A) = n(s) PROBABILIDADE DECORRÊNCIA DA DEFINIÇÃO

Raciocínio Lógico Exercícios. Prof. Pacher A B P(A B) P(A/B) = P(B) n(a) P(A) = n(s) PROBABILIDADE DECORRÊNCIA DA DEFINIÇÃO PROBBILIDDE Introdução teoria da probabilidade é o ramo da matemática que cria, desenvolve e em geral pesquisa modelos que podem ser utilizados para estudar experimentos aleatórios ou não determinísticos.

Leia mais

UNITAU APOSTILA PROBABILIDADES PROF. CARLINHOS

UNITAU APOSTILA PROBABILIDADES PROF. CARLINHOS ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ ALI UNITAU APOSTILA PROAILIDADES ibliografia: Curso de Matemática Volume Único Autores: ianchini&paccola Ed. Moderna Matemática Fundamental - Volume Único Autores:

Leia mais

Lista 2 - Probabilidade. Probabilidade. 1. Uma letra é escolhida entre as letras da palavra PROBABILIDADE

Lista 2 - Probabilidade. Probabilidade. 1. Uma letra é escolhida entre as letras da palavra PROBABILIDADE Estatística 2 a LISTA DE EXERCÍCIOS Prof. Ânderson Vieira Probabilidade Espaço Amostral Em cada um dos exercícios a 0. Determine o espaço amostral.. Uma letra é escolhida entre as letras da palavra PROBABILIDADE

Leia mais

3ª lista de exercícios sobre cálculo de probabilidades, axiomas, propriedades, teorema da probabilidade total e teorema de Bayes

3ª lista de exercícios sobre cálculo de probabilidades, axiomas, propriedades, teorema da probabilidade total e teorema de Bayes 3ª lista de exercícios sobre cálculo de probabilidades, axiomas, propriedades, teorema da probabilidade total e teorema de Bayes 1) Quatro moedas são lançadas e observa-se a seqüência de caras e coroas

Leia mais

MÓDULO 6 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE

MÓDULO 6 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE MÓDULO 6 INTRODUÇÃO À PROBBILIDDE Quando estudamos algum fenômeno através do método estatístico, na maior parte das vezes é preciso estabelecer uma distinção entre o modelo matemático que construímos para

Leia mais

Unidade 11 - Probabilidade. Probabilidade Empírica Probabilidade Teórica

Unidade 11 - Probabilidade. Probabilidade Empírica Probabilidade Teórica Unidade 11 - Probabilidade Probabilidade Empírica Probabilidade Teórica Probabilidade Empírica Existem probabilidade que são baseadas apenas uma experiência de fatos, sem necessariamente apresentar uma

Leia mais

7- Probabilidade da união de dois eventos

7- Probabilidade da união de dois eventos . 7- Probabilidade da união de dois eventos Sejam A e B eventos de um mesmo espaço amostral Ω. Vamos encontrar uma expressão para a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B, isto é, a probabilidade

Leia mais

CAPÍTULO I - ELEMENTOS DE PROBABILIDADE

CAPÍTULO I - ELEMENTOS DE PROBABILIDADE CAPÍTULO I - ELEMENTOS DE PROBABILIDADE 1.1 INTRODUÇÃO Em geral, um experimento ao ser observado e repetido sob um mesmo conjunto especificado de condições, conduz invariavelmente ao mesmo resultado. São

Leia mais

PROBABILIDADE Prof. Adriano Mendonça Souza, Dr.

PROBABILIDADE Prof. Adriano Mendonça Souza, Dr. PROBABILIDADE Prof. Adriano Mendonça Souza, Dr. Departamento de Estatística - PPGEMQ / PPGEP - UFSM - O intelecto faz pouco na estrada que leva à descoberta, acontece um salto na consciência, chameo de

Leia mais

Cálculo das Probabilidades e Estatística I

Cálculo das Probabilidades e Estatística I Cálculo das Probabilidades e Estatística I Prof a. Juliana Freitas Pires Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba - UFPB juliana@de.ufpb.br Introdução a Probabilidade Existem dois tipos

Leia mais

Primeira Lista de Exercícios de Estatística

Primeira Lista de Exercícios de Estatística Primeira Lista de Exercícios de Estatística Professor Marcelo Fernandes Monitor: Márcio Salvato 1. Suponha que o universo seja formado pelos naturais de 1 a 10. Sejam A = {2, 3, 4}, B = {3, 4, 5}, C =

Leia mais

MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 3: Resumo de Probabilidade

MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 3: Resumo de Probabilidade MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 3: Resumo de Probabilidade Edson de Faria Departamento de Matemática IME-USP 19 de Agosto, 2013 Probabilidade: uma Introdução / Aula 3 1 Probabilidade Discreta: Exemplos

Leia mais

PROFMAT - UNIRIO COORDENADOR GLADSON ANTUNES ALUNO JOÃO CARLOS CATALDO ANÁLISE COMBINATÓRIA

PROFMAT - UNIRIO COORDENADOR GLADSON ANTUNES ALUNO JOÃO CARLOS CATALDO ANÁLISE COMBINATÓRIA PROFMAT - UNIRIO COORDENADOR GLADSON ANTUNES ALUNO JOÃO CARLOS CATALDO ANÁLISE COMBINATÓRIA Questão 1: Entre duas cidades A e B existem três empresas de avião e cinco de ônibus. Uma pessoa precisa fazer

Leia mais

Espaço Amostral ( ): conjunto de todos os

Espaço Amostral ( ): conjunto de todos os PROBABILIDADE Espaço Amostral (): conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Exemplos: 1. Lançamento de um dado. = {1,, 3, 4,, 6}. Doador de sangue (tipo sangüíneo). = {A, B,

Leia mais

Colégio Adventista Portão EIEFM MATEMÁTICA Análise Combinatória 2º Ano APROFUNDAMENTO/REFORÇO

Colégio Adventista Portão EIEFM MATEMÁTICA Análise Combinatória 2º Ano APROFUNDAMENTO/REFORÇO Colégio Adventista Portão EIEFM MATEMÁTICA Análise Combinatória 2º Ano APROFUNDAMENTO/REFORÇO Professor: Hermes Jardim Disciplina: Matemática Lista 5 3º Bimestre/2013 Aluno(a): Número: Turma: 1) Resolva

Leia mais

I. Experimentos Aleatórios

I. Experimentos Aleatórios A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do mesmo gênero a um certo número de casos igualmente possíveis, ou seja, tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua existência, e em

Leia mais

Teoria das Probabilidades

Teoria das Probabilidades Teoria das Probabilidades Qual a probabilidade de eu passar no vestibular? Leandro Augusto Ferreira Centro de Divulgação Científica e Cultural Universidade de São Paulo São Carlos - Abril / 2009 Sumário

Leia mais

100 QUESTÕES DE PROBABILIDADE PARA CONCURSOS

100 QUESTÕES DE PROBABILIDADE PARA CONCURSOS 100 QUESTÕES DE PROBABILIDADE PARA CONCURSOS R E S O L U Ç Ã O D E E X E R C ÍC IO S R A C IO C ÍN IO L Ó G IC O M A T E M Á T IC A F ÍS IC A /Q U ÍM IC A E m a il g a b a r ito c e rto @ h o tm a il.c

Leia mais

1. INTRODUÇÃO 2. EXPERIMENTO ALEATÓRIO 3. ESPAÇO AMOSTRAL

1. INTRODUÇÃO 2. EXPERIMENTO ALEATÓRIO 3. ESPAÇO AMOSTRAL PROBABILIDADE 1. INTRODUÇÃO Embora o cálculo das probabilidades pertença ao campo da Matemática, sua inclusão aqui se justifica pelo fato da maioria dos fenômenos de que trata a Estatística ser de natureza

Leia mais

O conceito de probabilidade

O conceito de probabilidade A UA UL LA O conceito de probabilidade Introdução Nesta aula daremos início ao estudo da probabilidades. Quando usamos probabilidades? Ouvimos falar desse assunto em situações como: a probabilidade de

Leia mais

UNIVERSIDADE DO ALGARVE

UNIVERSIDADE DO ALGARVE UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA C.E.T. EM TOPOGRAFIA E CADASTRO REGIME DIURNO - 2º SEMESTRE - 1º ANO - 2007 / 2008 DISCIPLINA DE NOÇÕES DE PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA Ficha nº2 -

Leia mais

RESUMO TEÓRICO. n(a) P(A) = n(u) 0 P(A) 1

RESUMO TEÓRICO. n(a) P(A) = n(u) 0 P(A) 1 RESUMO TEÓRICO Experimentos aleatórios: são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. Exemplo: Lançar um dado e verificar qual é a face voltada

Leia mais

Exercícios resolvidos sobre Definição de Probabilidade

Exercícios resolvidos sobre Definição de Probabilidade Exercícios resolvidos sobre Definição de Probabilidade Nesta Unidade de estudo, até este ponto você aprendeu definições de probabilidade e viu como os conceitos se aplicam a várias situações. Observe agora

Leia mais

EXERCÍCIOS DE REVISÃO MATEMÁTICA CONTEÚDO: PROBABILIDADE 3 a SÉRIE ENSINO MÉDIO

EXERCÍCIOS DE REVISÃO MATEMÁTICA CONTEÚDO: PROBABILIDADE 3 a SÉRIE ENSINO MÉDIO EXERCÍCIOS DE REVISÃO MATEMÁTICA CONTEÚDO: PROBABILIDADE a SÉRIE ENSINO MÉDIO ======================================================================= ) (UF SC) Em uma caixa há 8 bombons, todos com forma,

Leia mais

Espaços Amostrais Finitos

Espaços Amostrais Finitos EST029 Cálculo de Probabilidade I Cap. 2: Espaços Amostrais Finitos Prof. Clécio da Silva Ferreira Depto Estatística - UFJF Espaços Amostrais Finitos Espaço amostral S = {a 1, a 2, a 3,..., a k } (finito)

Leia mais

Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.

Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. VII Probabilidades Em todos os fenômenos estudados pela Estatística, os resultados, mesmo nas mesmas condições de experimentação, variam de uma observação para outra, dificultando a previsão de um resultado

Leia mais

Introdução à Probabilidade e Estatística

Introdução à Probabilidade e Estatística Professor Cristian F. Coletti Introdução à Probabilidade e Estatística (1 Para cada um dos casos abaixo, escreva o espaço amostral correspondente e conte seus elementos. a Uma moeda é lançada duas vezes

Leia mais

Estatística e Probabilidade. Aula 4 Cap 03. Probabilidade

Estatística e Probabilidade. Aula 4 Cap 03. Probabilidade Estatística e Probabilidade Aula 4 Cap 03 Probabilidade Estatística e Probabilidade Método Estatístico Estatística Descritiva Estatística Inferencial Nesta aula... aprenderemos como usar informações para

Leia mais

Regra do Evento Raro p/ Inferência Estatística:

Regra do Evento Raro p/ Inferência Estatística: Probabilidade 3-1 Aspectos Gerais 3-2 Fundamentos 3-3 Regra da Adição 3-4 Regra da Multiplicação: 3-5 Probabilidades por Meio de Simulações 3-6 Contagem 1 3-1 Aspectos Gerais Objetivos firmar um conhecimento

Leia mais

Unidade de Ensino Descentralizada de Colatina Coordenadoria de Informática Disciplina: Probabilidade e Estatística Prof. Leandro Melo de Sá

Unidade de Ensino Descentralizada de Colatina Coordenadoria de Informática Disciplina: Probabilidade e Estatística Prof. Leandro Melo de Sá Unidade de Ensino Descentralizada de Colatina Coordenadoria de Informática Disciplina: Probabilidade e Estatística Prof. Leandro Melo de Sá 2006/2 Unidade 2 - PROBABILIDADE Conceitos básicos * Probabilidade:

Leia mais

FCHS - FACULDADE DE CIÊNCIAS HUMANAS E SOCIAIS PRIAD PROGRAMA DE REVISÃO INTENSIVA EM ADMINISTRAÇÃO

FCHS - FACULDADE DE CIÊNCIAS HUMANAS E SOCIAIS PRIAD PROGRAMA DE REVISÃO INTENSIVA EM ADMINISTRAÇÃO FCHS - FACULDADE DE CIÊNCIAS HUMANAS E SOCIAIS PRIAD PROGRAMA DE REVISÃO INTENSIVA EM ADMINISTRAÇÃO TEMA PRIAD PROBABILIDADES E APLICAÇÕES PRÁTICAS DATA / / ALUNO RA TURMA 1) Num levantamento realizado

Leia mais

Bom serviço dentro da garantia Serviço deficiente dentro da garantia Vendedores de determinada marca de pneus 64 16

Bom serviço dentro da garantia Serviço deficiente dentro da garantia Vendedores de determinada marca de pneus 64 16 Lista de Probabilidade Básica com gabarito 1. Considere a experiência que consiste em pesquisar famílias com três crianças, em relação ao sexo das mesmas, segundo a ordem de nascimento. (a)determine o

Leia mais

(Testes intermédios e exames 2007/2008)

(Testes intermédios e exames 2007/2008) (Testes intermédios e exames 2007/2008) 14. Uma caixa 1 tem uma bola verde e três bolas amarelas. Uma caixa 2 tem apenas uma bola verde. Considere a experiência que consiste em tirar, simultaneamente e

Leia mais

Dois eventos são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não tem elementos em comum. Isto é, A B = Φ

Dois eventos são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não tem elementos em comum. Isto é, A B = Φ Probabilidade Vimos anteriormente como caracterizar uma massa de dados, como o objetivo de organizar e resumir informações. Agora, apresentamos a teoria matemática que dá base teórica para o desenvolvimento

Leia mais

Probabilidade - Conceitos Básicos. Anderson Castro Soares de Oliveira

Probabilidade - Conceitos Básicos. Anderson Castro Soares de Oliveira - Conceitos Básicos Castro Soares de Oliveira é o ramo da matemática que estuda fenômenos aleatórios. está associada a estatística, porque sua teoria constitui a base de estatística inferencial. Conceito

Leia mais

Matemática. Atividades. complementares. 9-º ano. Este material é um complemento da obra Matemática 9. uso escolar. Venda proibida.

Matemática. Atividades. complementares. 9-º ano. Este material é um complemento da obra Matemática 9. uso escolar. Venda proibida. 9 ENSINO 9-º ano Matemática FUNDAMENTAL Atividades complementares Este material é um complemento da obra Matemática 9 Para Viver Juntos. Reprodução permitida somente para uso escolar. Venda proibida. Samuel

Leia mais

a) ½ b) 1/3 c) 14 d) 1/5 e) 1/6

a) ½ b) 1/3 c) 14 d) 1/5 e) 1/6 PROBABILIDADE 1) (ANEEL) Ana tem o estranho costume de somente usar blusas brancas ou pretas. Por ocasião de seu aniversário, Ana ganhou de sua mãe quatro blusas pretas e cinco brancas. Na mesma ocasião,

Leia mais

Eventos independentes

Eventos independentes Eventos independentes Adaptado do artigo de Flávio Wagner Rodrigues Neste artigo são discutidos alguns aspectos ligados à noção de independência de dois eventos na Teoria das Probabilidades. Os objetivos

Leia mais

4) Quais dos seguintes pares de eventos são mutuamente exclusivos:

4) Quais dos seguintes pares de eventos são mutuamente exclusivos: INE 7002 LISTA DE EXERCÍCIOS PROBABILIDADE Lista de Exercícios - Probabilidade 1 1) Lâmpadas que se apresentam em perfeitas condições são ensaiadas quanto ao tempo de vida. Um instrumento é acionado no

Leia mais

Noções de Probabilidade e Estatística CAPÍTULO 2

Noções de Probabilidade e Estatística CAPÍTULO 2 Noções de Probabilidade e Estatística Resolução dos Exercícios Ímpares CAPÍTULO 2 Felipe E. Barletta Mendes 8 de outubro de 2007 Exercícios da seção 2.1 1 Para cada um dos casos abaixo, escreva o espaço

Leia mais

O que é a estatística?

O que é a estatística? Elementos de Estatística Prof. Dr. Clécio da Silva Ferreira Departamento de Estatística - UFJF O que é a estatística? Para muitos, a estatística não passa de conjuntos de tabelas de dados numéricos. Os

Leia mais

AULA 9 - PROBABILIDADE. Numero de Resultados Desejado Numero de Resultados Possiveis EXERCÍCIOS DE AULA

AULA 9 - PROBABILIDADE. Numero de Resultados Desejado Numero de Resultados Possiveis EXERCÍCIOS DE AULA AULA 9 - PROBABILIDADE São duas as questões pertinentes na resolução de um problema envolvendo probabilidades. Primeiro, é preciso quantificar o conjunto de todos os resultados possíveis, que será chamado

Leia mais

LISTA DE EXERCÍCIOS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

LISTA DE EXERCÍCIOS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS LISTA DE EXERCÍCIOS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 1. Construir um quadro e o gráfico de uma distribuição de probabilidade para a variável aleatória X: número de coroas obtidas no lançamento de duas moedas. 2. Fazer

Leia mais

Avaliação e Desempenho Aula 4

Avaliação e Desempenho Aula 4 Avaliação e Desempenho Aula 4 Aulas passadas Motivação para avaliação e desempenho Aula de hoje Revisão de probabilidade Eventos e probabilidade Independência Prob. condicional Experimentos Aleatórios

Leia mais

Espaços Amostrais e Eventos. Probabilidade 2.1. Capítulo 2. Espaço Amostral. Espaço Amostral 02/04/2012. Ex. Jogue um dado

Espaços Amostrais e Eventos. Probabilidade 2.1. Capítulo 2. Espaço Amostral. Espaço Amostral 02/04/2012. Ex. Jogue um dado Capítulo 2 Probabilidade 2.1 Espaços Amostrais e Eventos Espaço Amostral Espaço Amostral O espaço amostral de um experimento, denotado S, é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento.

Leia mais

Noções de Probabilidade

Noções de Probabilidade Noções de Probabilidade Bacharelado em Economia - FEA - Noturno 1 o Semestre 2015 Gilberto A. Paula G. A. Paula - MAE0219 (IME-USP) Noções de Probabilidade 1 o Semestre 2015 1 / 59 Objetivos da Aula Sumário

Leia mais

Módulo de Probabilidade Miscelânea de Exercícios. Cálculo de Probabilidades. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis

Módulo de Probabilidade Miscelânea de Exercícios. Cálculo de Probabilidades. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis Módulo de Probabilidade Miscelânea de Exercícios Cálculo de Probabilidades a série E.M. Professores Tiago Miranda e Cleber Assis Probabilidade Miscelânea de Exercícios Cálculo de Probabilidades 1 Exercícios

Leia mais

INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA

INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 1 o Semestre Ficha de Exercícios - Teoria das Probabilidades 2009/2010

Leia mais

Análise Combinatória. Prof. Thiago Figueiredo

Análise Combinatória. Prof. Thiago Figueiredo Análise Combinatória Prof. Thiago Figueiredo (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras que podemos pintar esse tapete de modo que as

Leia mais

Probabilidade. Definições, Notação, Regra da Adição

Probabilidade. Definições, Notação, Regra da Adição Probabilidade Definições, Notação, Regra da Adição Definições básicas de probabilidade Experimento Qualquer processo de observação ou medida que permita ao pesquisador fazer coleta de informações. Evento

Leia mais

Disciplina: Matemática Data da entrega: 18/04/2015.

Disciplina: Matemática Data da entrega: 18/04/2015. Lista de Exercícios - 02 Aluno (a): Nº. Professor: Flávio Turma: 2ª série (ensino médio) Disciplina: Matemática Data da entrega: 18/04/2015. Observação: A lista deverá apresentar capa, enunciados e as

Leia mais

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO ANÁLISE COMBINATÓRIA ARRANJO SIMPLES PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC) Importa a ordem dos elementos (PFC) n 1.n 2.n 3... total de possibilidades A p n ( n p)! Supondo que 5 colegas vão sair de carro,

Leia mais

É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A notação que vamos usar é S.

É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A notação que vamos usar é S. PROBABILIDADES Historicamente, a teoria da probabilidade começou com o estudo de jogos de azar, como a roleta e as cartas. O cálculo das probabilidades nos permite encontrar um número que mostra a chance

Leia mais

Módulo X. Querido aluno(a)!!!

Módulo X. Querido aluno(a)!!! 1 Módulo X Querido aluno(a)!!! É o que deseja a equipe www.somaticaeducar.com.br 2 Exercícios 1) Um grupo de 15 elementos apresenta a seguinte composição: Um elemento é escolhido as acaso. Pergunta-se:

Leia mais

Probabilidade. Multiplicação e Teorema de Bayes

Probabilidade. Multiplicação e Teorema de Bayes robabilidade Multiplicação e Teorema de ayes Regra da Multiplicação Num teste, são aplicadas 2 questões de múltipla escolha. Na primeira questão, as respostas possíveis são V ou F. Na segunda, a, b, c,

Leia mais

Atividade extra. Exercício 1. Exercício 2. Exercício 3. Matemática e suas Tecnologias Matemática

Atividade extra. Exercício 1. Exercício 2. Exercício 3. Matemática e suas Tecnologias Matemática Atividade extra Exercício 1 Considere o produto dos números naturais ímpares, 19 17 15... 3 1: Como pode ser reescrito utilizando fatorial? (a) 19! (b) 19! 20! (c) 19! 18 16... 2 (d) 19! 20 Exercício 2

Leia mais

CONCEITOS. Evento: qualquer subconjunto do espaço amostral. Uma primeira idéia do cálculo de probabilidade. Eventos Teoria de conjuntos

CONCEITOS. Evento: qualquer subconjunto do espaço amostral. Uma primeira idéia do cálculo de probabilidade. Eventos Teoria de conjuntos INTRODUÇÃO À PROAILIDADE Exemplos: O problema da coincidência de datas de aniversário O problema da mega sena A teoria das probabilidade nada mais é do que o bom senso transformado em cálculo A probabilidade

Leia mais

MATEMÁTICA - 3 o ANO MÓDULO 18 PROBABILIDADE DE MAIS DE UM EVENTO

MATEMÁTICA - 3 o ANO MÓDULO 18 PROBABILIDADE DE MAIS DE UM EVENTO MATEMÁTICA - 3 o ANO MÓDULO 18 PROBABILIDADE DE MAIS DE UM EVENTO Como pode cair no enem (ENEM) Em um jogo disputado em uma mesa de sinuca, há 16 bolas: 1 branca e 15 coloridas, as quais, de acordo com

Leia mais

MATEMÁTICA A - 12o Ano Probabilidades - Noções gerais Propostas de resolução

MATEMÁTICA A - 12o Ano Probabilidades - Noções gerais Propostas de resolução MATEMÁTICA A - 12o Ano Probabilidades - Noções gerais Propostas de resolução Exercícios de exames e testes intermédios 1. Como o zero é o elemento neutro da multiplicação, o produto dos números saídos

Leia mais

Nome: N.º Turma: Suficiente (50% 69%) Bom (70% 89%)

Nome: N.º Turma: Suficiente (50% 69%) Bom (70% 89%) Escola E.B. 2,3 Eng. Nuno Mergulhão Portimão Ano Letivo 2012/2013 Teste de Avaliação Escrita de Matemática 9.º ano de escolaridade Duração do Teste: 90 minutos 17 de outubro de 2012 Nome: N.º Turma: Classificação:

Leia mais

4. σ 2 Var X p x q e σ Dp X Podemos escrever o modelo do seguinte modo:

4. σ 2 Var X p x q e σ Dp X Podemos escrever o modelo do seguinte modo: Distribuições de Probabilidades Quando aplicamos a Estatística na resolução de problemas administrativos, verificamos que muitos problemas apresentam as mesmas características o que nos permite estabelecer

Leia mais

Universidade Federal do Paraná Departamento de Informática. Reconhecimento de Padrões. Revisão de Probabilidade e Estatística

Universidade Federal do Paraná Departamento de Informática. Reconhecimento de Padrões. Revisão de Probabilidade e Estatística Universidade Federal do Paraná Departamento de Informática Reconhecimento de Padrões Revisão de Probabilidade e Estatística Luiz Eduardo S. Oliveira, Ph.D. http://lesoliveira.net Conceitos Básicos Estamos

Leia mais

ANÁLISE COMBINATÓRIA. 1) De quantas formas diferentes cinco pessoas podem se sentar em cinco cadeiras de uma fila de cinema?

ANÁLISE COMBINATÓRIA. 1) De quantas formas diferentes cinco pessoas podem se sentar em cinco cadeiras de uma fila de cinema? ANÁLISE COMBINATÓRIA Questões de análise combinatória serão aquelas que perguntarão de quantas formas pode ocorrer um determinado evento. Vejamos alguns exemplos: 1) De quantas formas diferentes cinco

Leia mais

Probabilidades Duds. A probabilidade de que este último lápis retirado não tenha ponta é igual a: a) 0,64 b) 0,57 c) 0,52 d) 0,42

Probabilidades Duds. A probabilidade de que este último lápis retirado não tenha ponta é igual a: a) 0,64 b) 0,57 c) 0,52 d) 0,42 Probabilidades Duds 1. (Upe 2013) Em uma turma de um curso de espanhol, três pessoas pretendem fazer intercâmbio no Chile, e sete na Espanha. Dentre essas dez pessoas, foram escolhidas duas para uma entrevista

Leia mais

, podemos afirmar que:

, podemos afirmar que: PROOFMATH WWW.PROOFMATH.WORDPRESS.COM MAIS UM BLOG DE MATEMÁTICA FOLHA DE TRABALHO º ANO DE ESCOLARIDADE PREPARAR EXAME NACIONAL. Considere as seguintes sucessões a n, b n Sendo a lim an, b limbn e c lim

Leia mais

MATEMÁTICA IV PROBABILIDADE DISCURSIVAS SÉRIE AULA AULA 03

MATEMÁTICA IV PROBABILIDADE DISCURSIVAS SÉRIE AULA AULA 03 MATEMÁTICA IV PROBABILIDADE DISCURSIVAS SÉRIE AULA AULA 03 1 1) (FGV-SP 2008) Há apenas dois modos de Cláudia ir para o trabalho: de ônibus ou de moto. A probabilidade de ela ir de ônibus é 30% e, de moto,

Leia mais

Contagem II. Neste material vamos aprender novas técnicas relacionadas a problemas de contagem. 1. Separando em casos

Contagem II. Neste material vamos aprender novas técnicas relacionadas a problemas de contagem. 1. Separando em casos Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 2 Prof. Bruno Holanda Aula 5 Contagem II Neste material vamos aprender novas técnicas relacionadas a problemas de contagem. 1. Separando em

Leia mais

Prof. Paulo Henrique Raciocínio Lógico

Prof. Paulo Henrique Raciocínio Lógico Prof. Paulo Henrique Raciocínio Lógico Comentário da prova de Agente Penitenciário Federal Funrio 01. Uma professora formou grupos de 2 e 3 alunos com o objetivo de conscientizar a população local sobre

Leia mais

1 Probabilidade Condicional - continuação

1 Probabilidade Condicional - continuação 1 Probabilidade Condicional - continuação Exemplo: Sr. e Sra. Ferreira mudaram-se para Campinas e sabe-se que têm dois filhos sendo pelo menos um deles menino. Qual a probabilidade condicional que ambos

Leia mais

Curso Wellington Matemática Arranjo e Combinação Prof Hilton Franco

Curso Wellington Matemática Arranjo e Combinação Prof Hilton Franco 1. A figura abaixo ilustra um bloco de massa igual a 8 kg, em repouso, apoiado sobre um plano horizontal. Um prato de balança, com massa desprezível, está ligado ao bloco por um fio ideal. O fio passa

Leia mais

Calculando probabilidades

Calculando probabilidades A UA UL LA Calculando probabilidades Introdução evento E é: P(E) = Você já aprendeu que a probabilidade de um nº deresultadosfavoráveis nº total de resultados possíveis Nesta aula você aprenderá a calcular

Leia mais

Exercícios sobre probabilidades Matemática aula por aula Benigno Barreto Filho/Cláudio Xavier Toledo da Silva vol. 2 Ensino Médio.

Exercícios sobre probabilidades Matemática aula por aula Benigno Barreto Filho/Cláudio Xavier Toledo da Silva vol. 2 Ensino Médio. Atividade sobre Probabilidades 4 o bim. 2009 2 os anos 1) No lançamento simultâneo de 2 dados, considere as faces voltadas para cima e determine a) espaço amostral S. b) evento E 1 : números cuja soma

Leia mais

PROF. LUIZ CARLOS MOREIRA SANTOS. Questão 01)

PROF. LUIZ CARLOS MOREIRA SANTOS. Questão 01) Questão 01) O jogo da Mega-Sena consiste no sorteio de 6 números distintos entre 1 e 60. Um apostador escolhe 20 números distintos e faz todos os C 20,6 jogos possíveis de serem realizados com os 20 números.

Leia mais

Probabilidade. Definições e Conceitos

Probabilidade. Definições e Conceitos Probabilidade Definições e Conceitos Definições Probabilidade Medida das incertezas relacionadas a um evento Chances de ocorrência de um evento Aplicação em: Avaliação de Desempenho de Sistemas Engenharia

Leia mais

CURSO ONLINE RACIOCÍNIO LÓGICO. AULA ONZE: Análise Combinatória (Parte II)

CURSO ONLINE RACIOCÍNIO LÓGICO. AULA ONZE: Análise Combinatória (Parte II) 1 AULA ONZE: Análise Combinatória (Parte II) Olá, amigos! Tudo bem com vocês? Esta é nossa décima primeira aula, e ainda sequer chegamos à metade de nosso curso! Longo é o caminho do Raciocínio Lógico...

Leia mais

Projeto Rumo ao ITA Exercícios estilo IME

Projeto Rumo ao ITA Exercícios estilo IME Exercícios estilo IME PROGRAMA IME ESPECIAL ANÁLISE COMBINATÓRIA PROF. PAULO ROBERTO 01. Em um baile há seis rapazes e dez moças. Quantos pares podem ser formados para a dança: a) sem restrição; b) se

Leia mais

Combinação. Calcule o número de mensagens distintas que esse sistema pode emitir.

Combinação. Calcule o número de mensagens distintas que esse sistema pode emitir. Combinação 1. (Uerj 2013) Um sistema luminoso, constituído de oito módulos idênticos, foi montado para emitir mensagens em código. Cada módulo possui três lâmpadas de cores diferentes vermelha, amarela

Leia mais

Lista de exercícios sobre cálculo de probabilidades, axiomas, propriedades, teorema da probabilidade total e teorema de Bayes (com respostas)

Lista de exercícios sobre cálculo de probabilidades, axiomas, propriedades, teorema da probabilidade total e teorema de Bayes (com respostas) Lista de exercícios sobre cálculo de probabilidades, axiomas, propriedades, teorema da probabilidade total e teorema de Bayes (com respostas) 1. Quais dos valores abaixo não podem ser probabilidades? 0,

Leia mais

Este material traz a teoria necessária à resolução das questões propostas.

Este material traz a teoria necessária à resolução das questões propostas. Inclui Teoria e Questões Inteiramente Resolvidas dos assuntos: Contagem: princípio aditivo e multiplicativo. Arranjo. Permutação. Combinação simples e com repetição. Lógica sentencial, de primeira ordem

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M16 Probabilidade

Matemática. Resolução das atividades complementares. M16 Probabilidade Resolução das atividades complementares Matemática M Probabilidade p. 7 (FGV-SP) Uma urna contém quinze bolinhas numeradas de a. a) Se uma bolinha for sorteada, qual a probabilidade de que o número observado

Leia mais

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A. TESTE Nº 2 Grupo I

ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A. TESTE Nº 2 Grupo I ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A TESTE Nº Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas,

Leia mais

Exercícios Resolvidos sobre probabilidade total e Teorema de Bayes

Exercícios Resolvidos sobre probabilidade total e Teorema de Bayes Exercícios Resolvidos sobre probabilidade total e Teorema de Bayes Para ampliar sua compreensão sobre probabilidade total e Teorema de Bayes, estude este conjunto de exercícios resolvidos sobre o tema.

Leia mais

Noções de Pesquisa e Amostragem. André C. R. Martins

Noções de Pesquisa e Amostragem. André C. R. Martins Noções de Pesquisa e Amostragem André C. R. Martins 1 Bibliografia Silva, N. N., Amostragem probabilística, EDUSP. Freedman, D., Pisani, R. e Purves, R., Statistics, Norton. Tamhane, A. C., Dunlop, D.

Leia mais

ESTATÍSTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO

ESTATÍSTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO ESTATÍSTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO Thiago Marzagão 1 1 marzagao.1@osu.edu PROBABILIDADE Thiago Marzagão (IDP) ESTATÍSTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO 1/2016 1 / 51 o que é probabilidade? Thiago Marzagão

Leia mais

Os dados expostos nesse levantamento têm consequências sociais relacionadas ao trabalho, à família, à educação e a muitos outros temas importantes.

Os dados expostos nesse levantamento têm consequências sociais relacionadas ao trabalho, à família, à educação e a muitos outros temas importantes. Introdução De acordo com um estudo realizado pelo IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística), a quantidade de mulheres no Brasil é maior que a de homens. As informações de 2007 destacam que

Leia mais

Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes

Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes PROBABILIDADES Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes BERTOLO Lembrando a Aula Anterior Probabilidade Condicional: Teorema do Produto:. ) Se os eventos B e E 1 forem INDEPENDENTES:. ) 06/09/2012

Leia mais

EXERCÍCIOS. 02) (UFBA) Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 6, e 8, quantos números naturais ímpares podem-se formar com três algarismos distintos cada um?

EXERCÍCIOS. 02) (UFBA) Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 6, e 8, quantos números naturais ímpares podem-se formar com três algarismos distintos cada um? EXERCÍCIOS 0) Considerando os algarismos,,,, 5, 6, 7 e 8, responda: a) Quantos números de quatro algarismos podemos formar? b) Quantos números pares de quatro algarismos podemos formar? c) Quantos números

Leia mais

Exercícios Análise Combinatória

Exercícios Análise Combinatória Exercícios Análise Combinatória 1. (Uemg 2014) Na Copa das Confederações de 2013, no Brasil, onde a seleção brasileira foi campeã, o técnico Luiz Felipe Scolari tinha à sua disposição 23 jogadores de várias

Leia mais

Bioestatística Aula 3

Bioestatística Aula 3 Aula 3 Castro Soares de Oliveira Probabilidade Probabilidade é o ramo da matemática que estuda fenômenos aleatórios. Probabilidade é uma medida que quantifica a sua incerteza frente a um possível acontecimento

Leia mais

Lista 5 - Introdução à Probabilidade e Estatística

Lista 5 - Introdução à Probabilidade e Estatística UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC Lista 5 - Introdução à Probabilidade e Estatística Variáveis Aleatórias 1 Duas bolas são escolhidas aleatoriamente de uma urna que contém 8 bolas brancas, 4 pretas e 2 laranjas.

Leia mais

Aula 1: Introdução à Probabilidade

Aula 1: Introdução à Probabilidade Aula 1: Introdução à Probabilidade Prof. Leandro Chaves Rêgo Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção - UFPE Recife, 07 de Março de 2012 Experimento Aleatório Um experimento é qualquer processo

Leia mais

Contagem I. Figura 1: Abrindo uma Porta.

Contagem I. Figura 1: Abrindo uma Porta. Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 2 Prof. Bruno Holanda Aula 4 Contagem I De quantos modos podemos nos vestir? Quantos números menores que 1000 possuem todos os algarismos pares?

Leia mais