Capítulo 6 Transformação de tensões e critérios de falhas

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1 Capítulo 6 Transformação de tensões e critérios de falhas

2 6.1 Tensões principais no plano- O estado geral de tensão em um ponto é caracterizado por seis componentes independentes da tensão normal e de cisalhamento. O estado de tensão (a) não é encontrado com frequência na prática da engenharia. Aproximações ou simplificações das cargas sobre o corpo, a fim de que a tensão produzida em um sistema estrutural ou mecânico seja analisado em um único plano. Quando isso ocorre, o material está sujeito a tensões no plano.

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4 Exemplo 1- A viga mostrada está sujeita ao carregamento distribuído w = 120 kn/m. Determine o estado de tensões na viga no ponto P, que se encontra na parte superior da alma. I=67,4(10-6) m 4

5 O equilíbrio da viga selecionada é mostrado onde V 84 kn M 30,6 knm No ponto P, 3 My 30,6 10 Nm0,1m 45,4 MPa 6 4 I 67,4 10 m 3 VQ 84 0,1075 0,175 0,015 m 35,2 MPa It 67,4 10 m 0,01 m 6 4 Portanto, o resultado é o seguinte:

6 A figura abaixo, mostra as relações de tensões para dois pontos da viga em balanço abaixo:

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8 DEC DMF

9 Entre as cargas os pontos estão submetidos somente ao momento fletor. Já entre o apoio e o carregamento os pontos estão submetidos a combinação do momento fletor e do esforço cortante.

10 Ponto b Ponto a Tensões no sistema xy Tensões principais Tensões no sistema xy Tensões principais Ponto c Ponto d Tensões no sistema xy Tensões principais Tensões no sistema xy Tensões principais

11 Evolução da fissuração de uma viga T, para vários estágios do carregamento.

12 Componentes de tensão podem se transformar em um elemento caso tenha uma orientação diferente.

13 6.2 Equações gerais de transformação de tensão no plano A tensão normal positiva age para fora de todas as faces e a tensão de cisalhamento positiva age para cima na face direita do elemento. x y x y x ' cos2 xysen2 2 2 (1) x y x ' y' sen2 xy cos2 2 (2) Para determinar na equação (1) y', basta substituir θ por θ+90 x y x y y' cos2 xysen2 (3) 2 2

14 Convenção de sinais: Sentido anti-horário

15 Exemplo 2- O estado plano de tensão em um ponto é representado pelo elemento mostrado na figura. Determine o estado de tensão no ponto em outro elemento orientado a 30 no sentido horário em relação à posição mostrada.

16 Pela convenção de sinal, temos 80 MPa 50 MPa x xy 25 MPa 30 y Para obter as componentes de tensão no plano CD, x y x y x ' cos2 xysen cos2( 30 ) ( 25)sen2( 30 ) x ' 25,8 MPa 2 2 x y x ' y' sen2 xy cos sen2( 30 ) ( 25)cos2( 30 ) x' y' 68,8 MPa 2

17 Para obter os componentes de tensão no plano BC, x y x y y' cos2 xysen cos2( 30 ) ( 25)sen2( 30 ) 2 2 y' 4,15 MPa Os resultados são mostrados na figura:

18 Exercício de fixação- 1)O estado plano de tensão equivalente em um elemento, se ele estiver orientado a 30 em sentido anti-horário em relação ao elemento mostrado. Respostas:

19 Exercício de fixação- 2)O As fibras de uma barra de madeira formam um ângulo de 15 com a vertical. Determine para os estados de tensões indicados abaixo (a) a tensão de cisalhamento paralela às fibras, (b) a tensão normal às fibras. Respostas: (a) x' y' 0,6 MPa (b) x' 3,84MPa

20 6.3- Tensões principais e tensões de cisalhamento máximo Tensões principais no plano Tensões principais ocorrem nos planos de tensão principais com tensão de cisalhamento igual a zero x y x ' y' sen2 xy cos2 =0 (2) 2 tg2 p 2 x xy y / 1,2 x 2 y x 2 y 2 2 xy onde 1 2

21 Tensão de cisalhamento máxima no plano A orientação de um elemento irá determinar a máxima e a mínima da tensão de cisalhamento. tg2 s x xy y / 2 Nós temos tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média. máx noplano x 2 y 2 2 xy méd x 2 y

22 Exercício de fixação- 3)O estado plano de tensão em um ponto sobre um corpo é representado no elemento mostrado na figura abaixo. (a) Represente esse estado de tensão em termos das tensões principais (b) Represente esse estado de tensão como a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média associada.

23 Respostas: (a) (b)

24 Exercício de fixação- 4)O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto. Especifique a orientação do elemento em cada caso.

25 6.4- Círculo de Mohr Tensão no plano A transformação da tensão no plano tem uma solução gráfica que é fácil de lembrar, desenvolvida por Christian Otto Mohr (1835).

26 Construção: 1)Defina um sistema de coordenadas tal que a abcissa represente a tensão normal σ como positiva para a direita e a ordenada represente a tensão de cisalhamento τ como positiva para baixo.

27 2)Usando a convenção de sinais, marque o centro do círculo C, que está localizado no eixo σ a uma distância de σ méd =(σ x + σ y )/2 da origem. 3)Marque o ponto de referência A cujas coordenadas são A(σ x,τ xy ). 4)Ligue o ponto A ao centro C e determine CA por trigonometria. Essa distância representa o raio R do círculo. 5)Desenhe o círculo.

28 6) As tensões principais σ 1 e σ 2 (σ 1 maior ou igual a σ 2 ) são apresentadas pelos dois pontos B e D onde o círculo intercepta o eixo σ, isto é, onde τ=0. 7)As tensões principais agem nos planos definidos por 2θ p1 (sentido anti-horário neste caso) da linha CA até a linha do CB. e 2θ p2

29 8) As componentes de tensão de cisalhamento máxima e de tensão normal média são determinados pelo círculo como as coordenadas do ponto E e F. 9) O ângulo 2 θ s1 é determinado por trigonometria. Aqui a rotação é em sentido horário. 10) As tensões em um ponto P arbitrário também podem ser conhecidas, assim como o θ (de CA até CP).

30 Exemplo 1- Para a viga mostrada no exemplo 1, determine as tensões principais na viga no ponto P. O centro do círculo é 45,4 0 22,7 e o 2 ponto A é ( 45,4, 35,2). Portanto, o raio é 41, ,7 19,2 MPa 22,7 41,9 64,6 MPa 41,9 O ângulo em sentido anti-horário é 2 2 p2 p 57,2 28, 6

31 Exercício de fixação- 5)O estado plano de tensão em um ponto é mostrado no elemento na figura abaixo. Determine (a) as tensões principais e a orientação do elemento sobre o qual elas agem e (b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a orientação do elemento sobre a qual ela age.

32 Exercício de fixação- 6)O estado plano de tensão em um ponto é mostrado no elemento na figura abaixo. Determine a tensão de cisalhamento máxima no plano e as tensões principais e a orientação do elemento sobre o qual elas agem.

33 Exercício de fixação- 7)Resolva o exercício de fixação 3 usando o Círculo de Mohr.

34 6.5- Critério de falha Falha de um elemento submetido a um estado plano de tensão não pode ser diretamente previsto a partir de um ensaio uniaxial. É conveniente determinar as tensões principais e basear os critérios de falha a partir do estado de tensão biaxial do elemento. Critérios de falha existentes são baseados nos mecanismo de falha existentes. Eles permitem a comparação das condições de falha de um ensaio de tensão uniaxial e um carregamento biaxial. Falha para material dúctil falha pelo escoamento, ao passo que se for frágil isso ocorrerá pela ruptura.

35 Discutiremos teorias frequentemente utilizadas na prática da engenharia para prever a falha de uma material sujeito a um estado multiaxial. Estas teorias são utilizadas para determinar as tensões admissíveis informadas em muitos manuais, normas e códigos de projetos.

36 Critério de escoamento de Tresca Teoria da Tensão de Cisalhamento Máxima ou critério de escoamento de Tresca (Henri Tresca, 1868) é usada para prever a tensão de falha de um material dúctil sujeito a qualquer tipo de carga. Em referência a tensão do plano, a teoria da tensão de cisalhamento máxima para tensão do plano podem ser expressadas pelas duas tensões principais.

37 Critério de von Mises Teoria de energia de distorção máxima ou critério de von Mises é usada para prever a tensão de falha de um material dúctil.

38 Critério de Coulomb Teoria da tensão normal máxima ou critério de Coulomb (Charles Augustin de Coulomb, ) afirma que materiais frágeis tendem a falhar repentinamente por ruptura, quando ocorre a tensão de tração máxima. Material com diagramas tensão-deformação similares para tração e compressão.

39 Critério de Falha de Mohr Se um material frágil tiver diagramas tensão-deformação diferentes sob tração e sob compressão, então se aplica o critério de falha de Mohr.

40 Exercício de fixação: 8) O eixo maciço mostrado na figura abaixo tem raio de 0.5 cm e é feito de aço com tensão de escoamento de σ e = 360 MPa. Determine se as cargas provocam a falha do eixo de acordo com o critério de Tresca e von Mises. Respostas: (a) falha (b) não falha

41 9) Um componente de máquina construído em aço, está submetido ao estado de tensões indicado. O aço utilizado tem σ e = 331 MPa. Determine se vai ocorrer escoamento de acordo com o critério de Tresca. (a) considerar σ o = 210 MPa (b) considerar σ o = 294 MPa. Respostas: (a) não falha (b) falha

42 10) O eixo maciço de ferro fundido está sujeito ao torque T=400lb ft. Determinar o menor raio de modo que não ocorra falha, de acordo com a teoria da tensão normal máxima. Um corpo de prova de ferro fundido, testado sob tração, tem limite de resistência (σ r ) t = 20ksi. Resposta: r=0,535in