1 Um pouco de história. 2 Análise Combinatória. 2.1 Princípio básico da contagem:

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1 1 Um pouco de história Início da Probabilidade: 1654 com a troca de cartas entre Pascal e Fermat sobre o Problema dos Pontos colocado para Pascal por Chevalier de Méré. A e B jogam dados, vamos supor que A ganha 1 ponto quando o resultado pertence ao conjunto {1, 2} enquanto B ganha 1 ponto quando o resultado pertence ao conjunto {3, 4, 5, 6}. Se A precisa de n pontos para ganhar e B necessita m pontos para ganhar. Qual a probabilidade que A ganhe o jogo? 2 Análise Combinatória Exemplo Sistema de comunicação n antenas alinhadas Funcional: a menos que duas antenas consecutivas estejam com defeito Se m antenas são defeituosas e as antenas são arrumadas ao acaso, qual a probabilidade do sistema ser funcional? E.g.: n = 4, m = 2 temos 6 arranjos dos quais 3 são funcionais. p = 1/ Princípio básico da contagem: 2 experimentos: 1. Experimento 1: m resultados 2. Experimento 2: n resultados Total: m.n formas de realizar experimento 1 seguido de experimento 2 Proof. E 1 = {1, 2,..., m}, E 2 = {1, 2,..., n}, E 1 E 2 = {(1, 1), (1, 2),..., (m, n)} Exemplo 2 1

2 Depto Estatística: 18 docentes Depto Mat. Aplicada: 43 docentes Depto Matemática: 64 docentes Comissão com 3 docentes, um de cada departamento: = Exemplo 2 Placas antigas: 2 letras e 4 números Placas atuais: 3 letras e 4 números = = E se a repetição de letras e números não fosse permitida? = Exemplo 4 Seja A um conjunto com n pontos. Quantas funções f : A {0, 1} podem ser definidas? = 2 n Seja P(A) = conjunto de todos os subconjuntos de A. Daí, P(A) = 2 n. Por que? 2.2 Permutações A = {1, 2,..., n} π : A A; tal que π(i) π(j), i j quantas permutações são possíveis? n! Exemplo 5: Temos 11 livros 2

3 4 matemática 3 química 2 história 2 inglês Todos os livros do mesmo assunto juntos: 4! (4!.3!.2!.2!) = Exemplo 6: Anagramas PIMENTA: 7! = 5040 ESTATISTICA: 11! 2!3!2!3! = Combinações Conjunto: n objetos Subconjunto: k objetos n k E.g.: n = 5, k = 3 Mas {1, 2, 3} = {3, 2, 1} No. permutações = 3! ! = 5! 2!3! = 5 3 exemplo 7: Comite com 7 professores MAP

4 exemplo 8: Comite com 4 professores MAP e 3 Estatistica E se Ronaldo e Nancy não querem participar juntos? nem Ronaldo e nem Nancy Ronaldo, mas não Nancy ou Nancy e não Ronaldo 1) Exemplo Antenas funcionais: n antenas sendo m defeituosas ( = 0) e n m não defeituosas (= n m + 1 locações : possíveis locações para as m defeituosas. n m + 1 m Identidade: n r = n 1 r 1 + n 1 r (Fixe um dos objetos, no lado direito da equação temos o número de subconjuntos de tamanho r que contém o objeto fixado mais o número de subconjuntos de tamanho r que não contém o objeto fixado. Teorema binomial: (x + y) n = n n k x k y n k k=0 Prova: Por indução. 4

5 2.4 Coeficientes multinomiais Conjunto: n objetos Subconjuntos: k 1 objetos, k 2 objetos,..., k r objetos n n k 1 n k 1 k 2... n k 1... k r 1 = k 1 k 2 k 3 k r n! k 1!k 2!... k r! Notação : n k 1,..., k r Exemplo: O time de basktball do IMECC tem 10 jogadores, entretanto precisamos dividi-los em dois times A e B pois time A vai jogar em SP e time B vai jogar em Limeira. Quantas divisões são possíveis? 10! 5!5! Exemplo: O time de basktball do IMECC tem 10 jogadores, entretanto precisamos dividi-los em dois times A e B para jogarem entre si. Quantas divisões são possíveis? Teorema multinomial: (x 1 + x x r ) n = 10! 5!5!2! (k 1,...,k r);k k r=n 2.5 Distribuição de bolas em urnas n k 1,..., k r x k 1 1 x k x kr r Proposição: O número de soluções inteiras positivas para a equação x 1 + x x r = n: n 1 r Temos n objetos simbolizados por 0 e temos que escolher r 1 dos espaços. 5

6 Suponha n = 8 e r = 3, temos que escolher dois divisores como abaixo: Proposição: O número de soluções inteiras não negativas para a equação x 1 + x x r = n: n + r 1 r 1 Seja y i = x i + 1, i = 1,..., r. Exemplo: Um investidor tem 20 mil reais para distribuir entre 4 possíveis investimentos. Cada investimento deve ser feito em cotas de mil reais. Quantas estratégias posíveis? 23 = 1771 se ele investir todo o dinheiro 3 24 = se ele puder manter algum dinheiro para reserva 4 Exemplo: Quantos coeficientes há na expansão multinomail de (x x r ) n? Exemplo: Antenas funcionais: n antenas sendo m defeituosas ( = 0) e n m não defeituosas (= 1) n m + 1 locações : possíveis locações para as m defeituosas. n m + 1 m Objetivo: Determinar quantos destes arranjos lineares não contém antenas defeituosas consecutivas. Imagine primeiramente que as antenas defeituosas foram alinhadas sequencialmente e que depois disso as antenas funcionais vão ser alocadas. 6

7 x 1 : no. de antenas não defeituosas antes da primeira defeituosa, etc. Seja y 1 = x 1 + 1, etc... x x m = n m, x 1 0, x m+1 0, x i > 0 y y m+1 = n m + 2 n m + 1 m 7