23/03/2014. Tratamento de Incertezas TIC Aula 4. Conteúdo Espaços Amostrais e Probabilidade. O princípio da contagem Métodos de contagem

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1 Tratamento de Incertezas TIC Aula 4 Conteúdo Espaços Amostrais e Probabilidade Professor Leandro Augusto Frata Fernandes Material disponível em Tópicos da Aula O princípio da contagem Métodos de contagem - Combinações Partições Probabilidade binomial e probabilidade hipergeométrica Leitura Bertsekas and Tsitsiklis, 2nd ed., 2008, Seções 1.6 TIC Tratamento de Incertezas 2 Espaços Amostrais e Probabilidade Contagem TIC Tratamento de Incertezas 3 1

2 Saber contar é fundamental em casos discretos Se todo evento atômico em ocorre com probabilidade então Se todo evento atômico em Ω possui a mesma probabilidade de ocorrer então Ω Como contar a quantidade de itens nos conjuntos e Ω? TIC Tratamento de Incertezas 4 Princípio Básico da Contagem Considere um processo composto por estágios Suponha que, independente do que que aconteça no estágio 1, existem escolhas no estágio O número total de escolhas é TIC Tratamento de Incertezas 5 Princípio Básico da Contagem Exemplo Quantas placas de carro podemos formar utilizando 3 letras e 4 dígitos? E no mesmo cenário, mas com repetição proibida? Assuma o alfabeto latino básico, com 26 letras, e base decimal para os dígitos. TIC Tratamento de Incertezas 6 2

3 Número de maneiras que podemos ordenar elementos de um conjunto de elementos -! Número de maneiras que podemos ordenar elementos de um conjunto de elementos!! A ordem dos elementos importa. TIC Tratamento de Incertezas 7 Exemplo 1 De quantas maneiras diferentes podemos associar dez threads a dez processadores de tal modo que cada processador fique associado a uma única thread e cada thread fique associada a um único processador? TIC Tratamento de Incertezas 8 Exemplo 2 De quantas maneiras diferentes podemos associar dez threads a quatro processadores de tal modo que cada processador fique associado a uma única thread e nenhuma thread fique associada a múltiplos processadores? TIC Tratamento de Incertezas 9 3

4 Exemplo 3 Suponha que você tem quatro livros de matemática, dez livros sobre ciência da computação e dois sobre física. De quantas maneiras podemos arranjar esses livros em uma prateleira de modo que livros no mesmo assunto fiquem juntos? TIC Tratamento de Incertezas 10 Exemplo 4 Qual a probabilidade de seis lançamentos independentes de dados não viciados retornarem números distintos? Quantidade de resultados que caracterizam o evento: Quantidade de elementos no espaço amostral: Resposta: TIC Tratamento de Incertezas 11 Combinações Número de subconjuntos de tamanho que podemos formar a partir de um conjunto com elementos!!! Coeficiente Binomial A ordem dos elementos não importa. TIC Tratamento de Incertezas 12 4

5 Combinações Intuição a partir de permutações Ω Ω!! Lista Ordenada 1 2 3! TIC Tratamento de Incertezas 13 Combinações Exemplo 1 Sua pizzaria favorita oferece 10 sabores diferentes de pizza. De quantas maneiras diferentes você pode montar uma pizza quando você escolhe 4 sabores? TIC Tratamento de Incertezas 14 Combinações Exemplo 2 Um computador possui dez discos rígidos divididos em pares, onde cada par de discos contém o mesmo dado. Se um dos discos do par falha, então o dado pode ser recuperado. Se ambos os discos do par falham, então o dado não pode ser recuperado. Assuma que os discos possuem a mesma probabilidade de falhar. Se dois discos falharem, qual a probabilidade de perda de dados? Quantidade de combinações que colocam os dois discos no primeiro dos cinco pares: Quantidade total de combinações para o primeiro dos cinco pares: Probabilidade de ambos os discos estar no primeiro par: Resposta: TIC Tratamento de Incertezas 15 5

6 Manipulação Algébrica vs. Intuição O que representa a expressão abaixo e qual o resultado? TIC Tratamento de Incertezas 16 Partições Uma combinação pode ser vista como a partição de um conjunto em dois subconjuntos Um com elementos e outro com elementos Partições generalizam combinações para subconjuntos!!!! TIC Tratamento de Incertezas 17 Partições Exemplo De quantas maneiras é possível distribuir uniformemente as cartas de um baralho de 52 cartas entre 4 jogadores? Qual a probabilidade de cada jogador receber um ás? Número de maneiras que os 4 ases podem ser distribuídos: Número de maneiras que as 48 cartas restantes podem ser distribuídas: Resposta: TIC Tratamento de Incertezas 18 6

7 Probabilidade Binomial Considere lançamentos independentes de moedas, com Calcule Conclusão qq sequência particular com caras 1 caras #sequências com caras 1 TIC Tratamento de Incertezas 19 Probabilidade Binomial 1 Ω amostra probabilidade de sucesso em uma amostragem Amostragem com reposição ou em uma população muito grande A amostragem não reduz a população As amostragens são mutualmente independentes TIC Tratamento de Incertezas 20 Probabilidade Hipergeométrica Considere uma urna com bolas, das quais são vermelhas. Ao retirar bolas, aleatoriamente e sem reposição, qual a probabilidade e serem vermelhas? Tamanho do espaço amostral: Quantidade de maneiras que o evento de interesse pode acontecer: Resposta: TIC Tratamento de Incertezas 21 7

8 Probabilidade Hipergeométrica Ω elementos de interesse amostra elementos de interesse na amostra Amostragem sem reposição em uma população finita As amostragens são mutuamente dependentes TIC Tratamento de Incertezas 22 8

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