Atenção: o conjunto vazio é representado por { } 1.2 Pertinência e Inclusão

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1 Módulo 1 Conjuntos A Teoria dos Conjuntos foi estabelecida por Georg Ferdinand Ludwig Cantor ( ). Em meados do século XX, a Teoria dos Conjuntos exerceu profundos efeitos sobre o ensino da Matemática. 1.1 Definição Define se por conjunto a uma coleção de objetos cuja representação pode ser feita de três modos: 1. Representação Ordinária: Na representação ordinária os elementos do conjunto são explicitamente listados. Exemplos incluem o conjunto das faces de um dado A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, o conjunto de regiões do Brasil A = { SU, SE, CO, NE, NO }, o conjunto das notas musicais A = { dó, ré, mi, fá, sol, lá, si }. 2. Representação Abstrata: Na representação abstrata os elementos do conjunto são representados através de uma caracterização que é previamente definida. Em termos gerais se os elementos de um conjunto A são caracterizados por uma propriedade P então o conjunto A pode ser assim enunciado A = { x tal que x satisfaz a propriedad e P } ou ainda utilizando símbolos A = { x / x satisfaz P }(o símbolo / representa tal que, ás vezes a barra é substituída por ponto e vírgula). A representação abstrata é amplamente utilizada em matemática por que permite que se possa expressar quaisquer tipos de conjuntos, bastando definir a propriedade que caracteriza os elementos do conjunto. Por exemplo, se definirmos a propriedade P como P: regiões do Brasil, então o conjunto das regiões do Brasil pode ser reescrito como A = { x / x satisfaz P }. 3. Representação por Diagramas de Venn: A vantagem na utilização dos diagramas de Venn como representação de conjuntos é seu apelo visual, muito útil para visualizar operações entre conjuntos, entretanto é importante salientar que o poder analítico desse tipo de dispositivo é extremamente limitado. O conjunto das faces de um dado pode ser posto como: 1

2 A Atenção: o conjunto vazio é representado por { } 1.2 Pertinência e Inclusão Quando um elemento a está num conjunto A, dizemos que este pertence ao conjunto A e representamos este fato simbolicamente como: a A Se ao contrário, o elemento não está no conjunto A então dizemos que o mesmo não pertence ao conjunto A e representamos este fato como: a A Essas são as chamadas relações de pertinência que conectam os conjuntos aos seus elementos. Quando o conjunto A não possui elemento algum dizemos que o conjunto A é o conjunto vazio e neste caso representamos esse conjunto pelo símbolo. Dados dois conjuntos A e B, quando todo elemento de A é também elemento de B, dizemos que o conjunto A está incluído em B ou que o conjunto A é um subconjunto do conjunto B, este fato é simbolicamente representado como: A B Quando por outro lado, existe ao menos um elemento que pertence ao conjunto A e não pertence ao conjunto B então A não está incluído em B ou o conjunto A não é subconjunto do conjunto B. Este fato é simbolicamente representado como: A B Essas são as chamadas relações de inclusão e conectam conjuntos a outros conjuntos. É importante ter em mente a distinção entre pertinência e inclusão. No primeiro caso a relação é entre elemento e conjunto e no segundo entre dois conjuntos quaisquer. Por 2

3 exemplo, as sentenças a seguir possuem significados totalmente diferentes, embora pareçam dizer a mesma coisa: a A e { a } A A primeira sentença diz que o elemento a pertence ao conjunto A e a segunda sentença diz que o conjunto unitário {a} está incluído ou é subconjunto do conjunto A. A relação de inclusão é freqüentemente utilizada para determinar a igualdade entre conjuntos. Dois conjuntos A e B são iguais se possuem exatamente os mesmos elementos, fato que pode ser estabelecido mostrando se que: A B e B A 1.3 Operações Entre Conjuntos Interseção Dados dois conjuntos A e B, a interseção entre A e B é o conjunto definido como: A B = { x / x A e x B } Pelos conjuntos dados acima se vê que A B = { 1, 2 }. O diagrama de Venn abaixo ilustra a operação de interseção. A B A B 1 Quando a interseção entre os conjuntos A e B resultar no conjuntos vazio, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. 3

4 1.3.2 União Dados dois conjuntos A e B, a união entre A e B é o conjunto definido como: A B = { x / x A ou x B } Sejam A = { 1, 2, 3, 4 } e B = { 1, 2, 5, 6 } então A B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. O diagrama de Venn abaixo ilustra a operação de união. A B A B Observe que o número de elementos da união é calculado por: n ( A B ) = n ( A ) + n ( B ) n ( A B ) Diferença ou Complemento Relativo Dados dois conjuntos A e B, a diferença ou complemento relativo de A e B é o conjunto definido como: A B = { x / x A e x B } No exemplo dado acima se vê que A B = { 3, 4 }. O diagrama de Venn abaixo ilustra a operação de diferença. 4

5 A B A B 1.4 Alguns conjuntos numéricos importantes: 1 Conjunto dos Números Naturais: N = {1, 2,3,4,5,6,...} 2 Conjunto dos Números Inteiros: Z = {..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...} 3 Conjunto dos Números Racionais: Q = {m/n; m Z,n Z,n 0} 4 Conjuntos dos Números Reais: R = o conjunto dos números reais incluem os números racionais e outros números que não são racionais como, por exemplo, os números dízimas não periódicas. 2 e as 5 Produto Cartesiano Entre Conjuntos Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano entre A e B é o conjunto definido como: A B = {( x, y ) / x A e y B } Exemplo: Sejam A = { 1, 2, 3, 4 } e B = { 1, 2, 5, 6 } então: ( 1, 1 ),( 1, 2 ),( 1, 5 ),( 1, 6 ) ( 2, 1 ),( 2, 2 ),( 2, 5 ),( 2, 6 ) A B = ( 3, 1 ),( 3, 2 ),( 3, 5 ),( 3, 6 ) ( 4, 1 ),( 4, 2 ),( 4, 5 ),( 4, 6 ) O diagrama abaixo, conhecido como plano cartesiano ilustra o produto cartesiano entre números reais. 5

6 R y (x,y) x (y,x) 0 x y R O plano cartesiano é formado pelo conjunto R R = {(x, y); x R, y R }. É importante observar, que o conjunto resultante do produto cartesiano entre dois conjuntos corresponde a uma coleção de pares ordenados, ou seja, cada elemento do produto cartesiano toma a forma (x, y). Assim as sentenças {x, y} e (x, y) correspondem a objetos inteiramente distintos. O primeiro é o conjunto formado pelos elementos x e y e o segundo ao par ordenado (x, y). Assim sendo é imediato concluir que {x, y} = {y, x}, mas (x, y) (y, x). 1.5 Aplicações 1 Uma empresa colocou no mercado um produto em duas embalagens diferentes, A e B. Depois de algum tempo, entrevistou 200 pessoas num supermercado sobre a preferência pelas embalagens. Dos entrevistados, 120 declararam preferir o tipo A, 142 o tipo B e 30 declararam desconhecer o produto. Quantas pessoas gostariam de encontrar o produto nas duas embalagens. 6

7 Solução: Designando por A e B respectivamente o conjunto das embalagens A e B, podemos escrever: n(a) = 120 pessoas n(b) = 142 pessoas n(aub) = = 170 pessoas O número de pessoas que gostariam de encontrar o produto nas duas embalagens é dado pela intersecção entre os conjuntos A e B, isto é, n ( A B ) Representando a situação no diagrama de Venn, temos: A B Aplicando a fórmula da união de conjuntos n ( A B ) = n ( A ) + n ( B ) n ( A B ), temos: 170 = n ( A B ) n ( A B ) = = 92 Logo, 92 pessoas gostariam de encontrar o produto nas duas embalagens. 2 Em uma pesquisa de mercado 1000 pessoas foram entrevistadas em todo o território nacional sobre a preferência por marcas de refrigerante de laranja. O gráfico abaixo mostra como a pesquisa foi distribuída entre as regiões brasileiras. 7

8 Centro Oeste 10% Norte 15% Sudeste 30% Sul 20% Nordeste 25% Três marcas de refrigerante foram pesquisadas, as marcas A, B e C. Na pesquisa verificouse que 40% dos entrevistados preferem a marca A, 25% a marca B e 35% a marca C. Também foi constatado que dos que preferem a marca B, 70% são da região Nordeste, 8% da região Sul, 2%da região Centro Oeste, 10% da região Norte e 10% da região Sudeste. A empresa que encomendou a pesquisa deseja saber o seguinte: a) Quantas pessoas pertencem ao conjunto dos Sulistas que preferem a marca B? b) Dentro do conjunto de pessoas que preferem a marca B, quantas são da região Norte ou da região Nordeste? Solução: a) Pelos dados do gráfico o número de pessoas que consomem a marca B é 25% de 1000 pessoas = 250 pessoas. Destas 250 pessoas, 8% são sulistas, portanto 8% de 250 = 20 sulistas. b) Do enunciado, dos que preferem a marca B, 10% são da região Norte, logo 10% de 250 = 25 pessoas e 70% são da região Nordeste, logo 70% de 250 = 175 pessoas. Representando pelo conjunto A as pessoas da região Norte e o conjunto B as pessoas da região Nordeste, o número de pessoas que são da região Norte ou Nordeste é dado por n ( A B ), com n ( A B ) = 0, pois não há pessoas em comum das regiões Norte e Nordeste, que preferem a marca B, portanto, 8

9 n ( A B ) = n ( A ) + n ( B ) n ( A B ) n ( A B ) = n ( A B ) = 200 pessoas Logo, 200 pessoas da região Norte ou Nordeste preferem a marca B. 3 Uma fabricante de medicamentos realizou uma pesquisa para testar a eficiência de uma nova loção contra calvície. A empresa utilizou 100 pacientes homens para testar quatro fórmulas experimentais. Os resultados do experimento são dados na tabela a seguir: F1 F2 F3 F4 MB B RE RU Onde F1 = Fórmula 1, F2 = Fórmula 2, F3 = Fórmula 3, F4 = Fórmula 4, MB = Muito Bom, B = Bom, RE = Regular e RU = Ruim. Os números dentro das células correspondem às quantidades de pacientes que tiveram determinado resultado para a fórmula correspondente. Considere os seguintes conjuntos: Encontre A = { MB, B, RE, RU } B = { F 1, F 2, F 3, F 4 } A B e substitua os pares ordenados encontrados pelos respectivos números que aparecem na tabela e em seguida reescreva A B com esses resultados. Solução: Sejam A = { MB, B, RE, RU } e B = { F 1, F 2, F 3, F 4 } O produto cartesiano de A por B, A X B é dado por: A X B = {(MB, F1), (MB, F2), (MB, F3), (MB, F4), (B, F1), (B, F2), (B, F3), (B, F4), (RE, F1), (RE, F2), (RE, F3), (RE, F4), (RU, F1), (RU, F2), (RU, F3), (RU, F4)} 9

10 Substituindo cada par ordenado pelos números da tabela, obtemos: A X B = { 3, 4, 6, 4, 5, 6, 12, 14, 12, 11, 4, 3, 4, 5, 4, 5 } que representa de forma simplificada o resultado da pesquisa. Observe que o número de elementos do conjunto A X B = 16 elementos, calculado pelo produto do número de elementos do conjunto A e do conjunto B, isto é: n(axb) = n(a) n(b) 10