LISTA DE EXERCÍCIOS 1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

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1 Universidade Federal de Ouro Preto Instituto de Ciências Exatas e Biológicas Departamento de Matemática MTM 151 Estatística e Probabilidade Turma 76 Professor: Rodrigo Luiz Pereira Lara LISTA DE EXERCÍCIOS 1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Questão 1 Uma variável aleatória X tem a seguinte função de probabilidade: 0,2 0,3 P ( x) 0,1 0 se x 1 ou x 5 ou se x 2; se x 15; para outros valores x 6; Determine: a) A função de distribuição acumulada de X b) P ( X 2) d) P ( 3 X 12) c) P ( X 2) e) P ( X 14) Questão 2 Uma variável aleatória X tem a seguinte função de distribuição acumulada: 0 0,2 F ( x) 0,5 0,9 1 se x 10; se 10 x 12; se 12 x 13; se 13 x 25; se x 25 Determine: a) A função de probabilidade de X b) P ( X 12) d) P ( 12 X 20) c) P ( X 12) e) P ( X 18)

2 Questão 3 Uma moeda viciada tem probabilidade de cara igual a 0,4 Para dois lançamentos consecutivos dessa moeda faça o seguinte estudo da variável aleatória X : número de caras obtidas no experimento Obtenha: a) A distribuição de probabilidade e) O gráfico da FDA b) A função de probabilidade f) E (X ) c) O gráfico da função de probabilidade g) Interprete o valor E (X ) d) A função de distribuição acumulada h) V (X ) Questão 4 Um caminho para chegar a uma festa pode ser dividido em três etapas Sem enganos o trajeto é feito em 1 hora Se enganos acontecem na primeira etapa, acrescente 10 minutos ao tempo do trajeto Para enganos na segunda etapa, o acréscimo é 20 e, para a terceira, 30 minutos Admita que a probabilidade de engano é 0,1; 0,2 e 0,3 para a primeira, segunda e terceira etapas, respectivamente a) É provável haver atraso na chegada à festa? b) Determine a probabilidade de haver atraso c) Determine a probabilidade do atraso não passar de 40 minutos Questão 5 Seja X uma variável segundo o modelo Uniforme Discreto, com valores no conjunto {1, 2, 3,, 10} Pede-se: a) P ( X 7) d) P ( X 5 ou X 8) b) P ( 3 X 7) e) P ( X 3 e X 6) c) P ( X 2 ou X 8) f) P ( X 9 X 6) Questão 6 Um agricultor cultiva laranjas e também produz mudas para vender Após alguns meses a muda pode ser atacada por fungos com probabilidade 0,05 e, nesse caso, ela é escolhida para ser recuperada com probabilidade 0,5 Admita que o processo de recuperação é infalível O custo de cada muda produzida é R$ 1,00; acrescido de R$ 0,50 se precisar ser recuperada Cada muda é vendida a R$ 3,00 e são descartadas as mudas não recuperadas de ataque de fungos Seja X a variável aleatória ganho por muda produzida Obtenha: a) A distribuição de probabilidade e) O gráfico da FDA b) A função de probabilidade f) E (X ) c) O gráfico da função de probabilidade g) Interprete o valor E (X ) d) A função de distribuição acumulada h) V (X )

3 Questão 7 Uma agência de turismo apresenta aos clientes o orçamento de uma certa viagem em duas partes A primeira é o transporte aéreo que têm três opções com preços 3; 3,5 e 4 mil reais e preferências de escolha de 0,5; 0,3 e 0,2 para as companhias TWA, TWB e TWC, respectivamente A segunda parte do orçamento é a escolha de estada Existem quatro opções de hotéis que custam 2; 2,5, 3 e 3,5 mil reais e são escolhidos pelos clientes com a mesma preferência, independentemente da companhia aérea Seja X a variável aleatória orçamento da viagem Calcule a função de probabilidade e função de distribuição acumulada da variável X Questão 8 Um equipamento consiste de duas peças A e B que têm 0,10 e 0,15 de probabilidade de serem de qualidade inferior Um operário escolhe ao acaso uma peça do tipo A e uma do tipo B para construir o equipamento Na passagem pelo controle de qualidade o equipamento vai ser classificado Será considerado como nível I se as peças A e B forem de qualidade inferior Será nível II se apenas uma delas for de qualidade inferior e, nível III, no outro caso O lucro na venda é de R$ 10,00; R$ 20,00 e R$ 30,00 para os níveis I, II e III respectivamente Faça um estudo da variável lucro Seja X a variável aleatória lucro para uma peça produzida E seja W a variável aleatória lucro para duas peças produzidas a) Obtenha a distribuição de probabilidade de X b) Obtenha a distribuição de probabilidade de W c) Para duas peças produzidas, qual a probabilidade de pelo menos R$ 30,00 de lucro? Questão 9 Na verificação de máquinas, observam-se as partes elétrica, mecânica e estrutural A probabilidade de aparecer uma falha em cada uma das partes é 0,01; independente das demais Ocorrendo falha, o tempo de conserto é 10, 20 ou 50 minutos para falha elétrica, mecânica ou estrutural, respectivamente Para uma máquina escolhida ao acaso, qual a probabilidade do tempo de interrupção (se não há falha, esse tempo é zero): a) Durar menos de 25 minutos? b) Ultrapassar 40 minutos? Questão 10 Uma empresa paga a seus estagiários de engenharia de acordo com o ano de curso do estudante Para se obter o salário mensal pago por 30 horas semanais, multiplica-se o salário mínimo pelo ano de curso do estagiário Dessa forma, o estudante do primeiro ano ganha um salário mínimo, o do segundo recebe dois e assim por diante até o quinto ano A empresa vai empregar dois novos estagiários e admitimos que todos os anos têm igual número de estudantes interessados no estágio (considere a população de candidatos muito grande de modo a não haver diferença entre escolher com ou sem reposição) Pergunta-se a probabilidade de: a) Os dois serem do primeiro ano b) A empresa gastar no máximo 3 salários mínimos com os estágios c) Sabendo-se que gastou pelo menos 4, gastar menos de 7 salários mínimos

4 ALGUMAS RESPOSTAS OU AUXÍLIO DE SOLUÇÃO: Questão 1 b) 0 c) 0,2 d) 0,4 e) 0,1 Questão 2 b) 0,5 c) 0,2 d) 0,7 e) 0,1 Questão 3 a) x f) 0,8 p(x) 0,36 0,48 0,16 h) 0,48 Questão 4 Seja A a variável aleatória atraso (minutos) para chegar à festa a p(a) 0,504 0,056 0,126 0,23 0,024 0,054 0,006 a) P ( A 0) 0, 496 b) P ( 0 A 40) 0, 436 Questão 5 a) 0,4 b) 0,4 c) 0,4 d) 0,6 e) 0,2 f) 0,8 Questão 6 a) x 1 1,5 2,0 f) R$ 1,91 p(x) 0,025 0,025 0,95 h) 0,23315 reais 2 Questão 7 Distribuição de probabilidade: x p(x) 0,125 0,2 0,25 0,25 0,125 0,05 Questão 8 a) x p(x) 0,015 0,22 0,765 b) w p(w) 0, ,0066 0, ,3366 0,585225

5 c) P ( W 30) 0, Questão 9 Seja T a variável aleatória tempo de interrupção t p(t) 0, , , , , , , a) P ( T 25) 0, b) P ( T 40) 0, Questão 10 Seja S a variável aleatória quantidade de salários mínimos que a empresa irá gastar 1 a) 25 b) 3 P ( S 3) c) 25 P ( S 7 S 4) 6 11 s p(s)