(a) Se X Poisson(λ) e Y Poisson(µ), então X + Y Poisson(λ + µ). (b) Se X Binomial(n, p) e Y Binomial(m, p), então (X + Y ) Binomial(n + m, p).

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1 Capítulo 0 Revisões Exercício 0.1 Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes. Mostre que: (a) Se X Poisson(λ) e Y Poisson(µ), então X + Y Poisson(λ + µ). (b) Se X Binomial(n, p) e Y Binomial(m, p), então (X + Y ) Binomial(n + m, p). (c) Se X Geométrica(p) e Y Geométrica(p), então (X + Y ) Binomial Negativa(2, p). Exercício 0.2 Sejam X, Y e Z variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição geométrica de parâmetro p, 0 < p < 1. (a) Determine P(X = Y ). (b) Calcule a função de probabilidade condicional de X dado X + Y = n. Identifique a distribuição em causa. (c) Calcule P(X + Y = Z). Exercício 0.3 (Falta de memória e seu uso na caracterização das distribuições geométrica e exponencial). Diz-se que uma variável positiva X, com valores em S, S = IN ou S = IR +, não tem memória se para x, y S: P(X > x + y X > x) = P(X > y). (a) Mostre que se X tem distribuição geométrica, então X não tem memória. (b) Mostre que se X é uma variável aleatória discreta com valores em IN e sem memória, então X tem distribuição geométrica. (c) Mostre que se X tem distribuição exponencial, então X não tem memória. (d) Mostre que se X é uma variável aleatória positiva (absolutamente) contínua e sem memória, então X tem distribuição exponencial. Exercício 0.4 O número de frutos produzidos por uma árvore é uma varável aleatória X. Alguns destes frutos, em número de Y, são atacados por uma larva, o que os torna impróprios para consumo. Supondo que X possui distribuição de Poisson de parâmetro λ e ainda que cada fruto é atacado pela larva com probabilidade p, independentemente dos outros frutos, determine: 3

2 (a) A função de probabilidade de Y condicional a X = n, com n IN. (b) A função de probabilidade de Y. (c) Conclua que o número de frutos da árvore que são atacados por larvas (Y ) é independente do número de frutos que não são atacados por larvas (X Y ) e que estas variáveis aleatórias possuem distribuições de Poisson de parâmetros λp e λ(1 p), respectivamente. (d) Suponha que Z e W são variáveis aleatórias independentes com distribuições de Poisson de parâmetros α e β, respectivamente. Com base nos resultados das alíneas anteriores, adivinhe a distribuição de Z condicional a Z + W = n, n IN, e averigue da validade da proposta de distribuição que tenha sugerido. Exercício 0.5 Suponha que X Exponencial(λ), Y Exponencial(µ) e X e Y são independentes. Devido a censura, é impossível observar X e Y directamente; em sua substituição observam-se Z e W, Z = min(x, Y ) e W = (a) Caracterize a distribuição conjunta de Z e W. (b) Prove que Z e W são independentes. { 1 Z = X 0 Z = Y. Exercício 0.6 Mostre que se (X 1, X 2,...,X n ) é uma amostra aleatória de X Exponencial(λ), então (com X 0:n = 0): (a) X 1:n X 0:n, X 2:n X 1:n,...,X n:n X n 1:n são variáveis aleatórias independentes e (X i:n X i 1:n ) Exponencial((n i + 1)λ). (b) Calcule, para 0 a b, P(X 1:n a, X n:n b). Exercício 0.7 O número de entrevistas marcadas por um vendedor em qualquer dia é uma variável aleatória com distribuição de Poisson de parâmetro µ. A probabilidade de uma entrevista resultar numa venda é de 0.5. Determine (se os seus cálculos levarem a uma série, ela deve ser somada): (a) A probabilidade de o vendedor conseguir exactamente uma venda num dia arbitrário. (b) O valor esperado do número de entrevistas efectuadas em dias em que o vendedor consegue apenas uma venda. Exercício 0.8 Um homem tem n chaves e quer abrir uma porta. O homem experimenta as chaves duma forma aleatória. Seja N o número de tentativas necessárias para abrir a porta. (a) Calcule E(N) e Var(N), se as chaves anteriormente experimentadas e que não abrem a porta: (i) forem eliminadas; e (ii) não forem eliminadas. (b) Comente os resultados obtidos na alínea anterior. Exercício 0.9 Sabendo que Λ Exponencial(µ) e (X Λ = λ) Poisson(λ), para λ > 0, determine a distribuição de X. 4

3 Exercício 0.10 Seja N a variável aleatória que representa o número de clientes diários numa loja. Suponha que as quantias gastas pelos clientes são independentes e têm valor médio µ e variância σ 2. Determine o valor médio e a variância da quantia total gasta diariamente na loja. Exercício 0.11 Suponha que N pessoas vão a uma festa e colocam os seu chapéus no centro de uma sala onde se misturam completamente; no final da festa, cada pessoa retira ao acaso um chapéu. Calcule o valor esperado e a variância do número de pessoas que, no final da festa, retiram o seu chapéu. Exercício 0.12 Uma urna contém n bolas vermelhas e m azuis, com n > m, as quais são removidas uma de cada vez. Mostre que a probabilidade de que haja sempre mais bolas vermelhas na urna que bolas azuis (até a última ser removida) é (n m)/(n + m). Exercício 0.13 A polícia sabe que um perigoso criminoso se encontra na cidade A com probabilidade 0.3, na cidade B com probabilidade 0.6 ou então fugiu do país. Se ele estiver na cidade i e N i (i = A,B) polícias forem destacados para o capturar ele é apanhado com probabilidade 1 p N i (0 < p < 1), se tiver saído do país não é apanhado. Admita que as variáveis aleatórias N i são independentes e com funções de probabilidade: P(N A = n) = 2n e 2, n IN 0 e P(N B = n) = 2 n, n IN. n! (a) Qual é a probabilidade de um total de 3 polícias serem envolvidos na captura? (b) Qual é a probabilidade do criminoso ser capturado? (c) Sabendo que o criminoso foi capturado numa cidade em que k polícias o procuraram, qual é a probabilidade de ele ter sido capturado em B? Exercício 0.14 Componentes electrónicas para exportação são embaladas em caixas que por sua vez são metidas em contentores. O peso, em gramas, de cada componente é uma variável aleatória X com distribuição exponencial de parâmetro λ, o número de componentes por caixa é uma variável aleatória N com distribuição de Poisson de parâmetro µ e o número de caixas por contentor é uma variável aleatória K com distribuição geométrica de parâmetro p. Supondo que X, N e K são mutuamente independentes, determine: (a) A probabilidade de um contentor seleccionado ao acaso conter apenas uma componente. (b) O valor esperado do peso total das componentes contidas num contentor. Exercício 0.15 Sejam X 1, X 2,... variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição uniforme em (0, 1) e definam-se: N x = [min {n IN : X n < X n 1 } X 0 = x] e h(x) = E (N x ), com 0 x 1. (a) Obtenha uma equação integral para h(x) por condicionamento em X 1 e conclua dessa equação que h(x) é decrescente em [0, 1]. (b) Diferencie ambos os membros da equação obtida em (a). (c) Resolva a equação obtida em (b). 5

4 (d) Para uma segunda abordagem de cálculo de h(x) argumente que P(N x k) = (1 x)k 1, 0 x 1. (k 1)! (e) Indique o intervalo em que h(x), 0 x 1, assume valores. Exercício 0.16 Um grande número de pessoas, N = mk, são submetidas a um teste de sangue. O teste pode ser administrado de dois modos: (i) Cada pessoa é testada individualmente. (ii) As amostras de sangue de k pessoas são juntas e testadas simultaneamente. Se o resultado do teste for negativo, não é necessário fazer mais testes para este grupo de pessoas. Se o resultado for positivo, cada uma dessas k pessoas é testada individualmente, em seguida. Assuma que a probabilidade, p, de que o resultado de um teste individual seja positivo é a mesma para todas as pessoas e que os resultados para pessoas diferentes são independentes. (a) Calcule a probabilidade de que o teste para k pessoas em simultâneo dê resultado positivo. (b) Calcule E(X j ), onde X j é o número de testes efectuados segundo o plano (j), para j = i, ii. (c) Se p fôr próximo de zero e se pretender escolher o plano de teste com menor número esperado de testes, que plano que deve ser escolhido? Justifique. Exercício 0.17 Sejam Z 1, Z 2,...,Z N variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com valores em {1, 2,..., k} e seja X N = número de valores distintos em Z 1, Z 2,...,Z N. (a) Calcule E(X N ), com N IN. (b) Calcule E(X N ) no caso em que N Poisson(λ) e Z i Uniforme({1, 2,...,k}). Exercício 0.18 Sejam {X k, k 1} variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição Bernoulli(p) e defina-se n S n = X i, n 1. Mostre que S n tem distribuição binomial usando o seguinte método: (a) Prove que para n 1 e 1 k n + 1, P(S n+1 = k) = p P(S n = k 1) + (1 p)p(s n = k). i=1 (b) Resolva a equação recursiva anterior usando funções geradoras de probabilidades. Exercício 0.19 Sejam {X k, k 1} e N variáveis aleatórias com variância finita e assumindo valores em IN 0, tais que {X k, k 1} são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas e são independentes de N. Use funções geradoras de probabilidades para mostrar que: ( N Var i=1 X i ) = E(N)Var (X 1 ) + E 2 (X 1 )Var(N). 6

5 Exercício 0.20 Suponha que X é uma variável aleatória inteira e não negativa com função massa de probabilidade {p k }. (a) Admita que se observam X componentes e cada uma delas é, independentemente das restantes, defeituosa com probabilidade s(0 < s < 1). Qual é a probabilidade de todas as componentes observadas serem defeituosas? (b) Suponha que T é uma variável aleatória geométrica, independente de X, tal que para n IN 0 : P(T n) = s n, 0 < s < 1. Calcule P(T X) e compare esse valor com o valor obtido em (a). Exercício 0.21 Um mineiro está preso numa mina com três portas. A primeira porta dá acesso a um túnel que o conduz à liberdade ao fim de duas horas. A segunda porta dá acesso a um túnel que o conduz ao mesmo local ao fim de três horas. E a terceira dá acesso a um túnel que o conduz ao mesmo local ao fim de cinco horas. Supondo que o mineiro tem sempre a mesma probabilidade de escolher qualquer uma das portas, calcule a função geradora de momentos da variável aleatória X que representa o tempo necessário para alcançar a liberdade. Qual é o número esperado de horas que o mineiro leva até alcançar a liberdade? Exercício 0.22 Seja X 1, X 2,... uma sucessão de variáveis aleatórias tais que X n possui função de distribuição F n (x) = 0 x < n x+n 2n n x < n 1 x n Será que F n converge para uma função de distribuição? Exercício 0.23 Seja X 1, X 2,... uma sucessão de variáveis aleatórias independentes tais que para k = 1, 2,... P (X k = 1) = 1 P ( X k = k 2) = 1 1 k 2.. Verifique que: [ n ] E X k k=1 k=1 1 k 2 = π2 6 mas n k=1 X k q.c.. Exercício 0.24 Admita que para n = 1, 2,..., X n tem distribuição uniforme em {0, 1,...,n}. Mostre que X n n d Uniforme[0, 1]. Nota: Este resultado é muito importante para a geração de números pseudo-aleatórios da distribuição uniforme em computador, uma vez que estes utilizam matemática discreta. Exercício 0.25 Mostre que se X n Bernoulli(p n ), n = 1, 2,... e X Bernoulli(p), então: X n d X p n p. 7

6 Exercício 0.26 Seja X 1, X 2,... e Y 1, Y 2,... sucessões independentes de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas tais que E(X 1 ) = α, Var(X 1 ) = σ 2, E(Y 1 ) = β( 0) e Var(Y 1 ) = τ 2. Designando, para n IN, determine a distribuição limite de X n = n i=1 X i n n i=1 e Ȳ n = Y i, n Z n = n X n α Ȳ n. Exercício 0.27 Seja X 1, X 2,... uma sucessão de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas não-negativas, com função densidade f satisfazendo λ def = lim x 0 f(x) > 0. Mostre que n min(x 1, X 2,...,X n ) d Exponencial (λ). 8