Nome: N o : Espaço reservado a classificações

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Pedro da Fonseca Abreu
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1 ESTATÍSTICA I 2 o Ano/Gestão 1 o Semestre Época Normal Duração: 2 horas 1 a Parte Teórica N o de Exame: abcde 03.Jan.11 Este exame é composto por duas partes. Esta é a 1 a Parte Teórica (Cotação: 8 valores). As respostas às questões de escolha múltipla são efectuadas na correspondente folha de resposta anexa, que será recolhida 40 minutos após o início da prova. As outras questões devem ser respondidas no próprio enunciado, no espaço disponibilizado para o efeito. No decorrer da prova não serão prestados quaisquer esclarecimentos. BOA SORTE! Nome: N o : Espaço reservado a classificações Cada um dos cinco grupos de perguntas de escolha múltipla vale 10 pontos (1 valor). Cada resposta certa vale 2,5; cada resposta errada vale -2,5. A classificação de cada grupo variará entre um mínimo de zero e um máximo de 10 pontos. 1. Sejam A, B acontecimentos de um espaço de resultados Ω. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras (V) ou falsas (F). a) Suponha que A B se realiza. Então, podemos afirmar que A se realizou b) Se A B então A e B não são independentes c) Se A e B formam uma partição de Ω, com P (B) > 0, então P (A B) = 0 d) P (A B) P (A) 2. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras (V) ou falsas (F). a) Seja X uma v.a. discreta. Então é finito o conjunto {x R : P (X = x) > 0} b) Seja F a função de distribuição de uma v.a. X e x < y. Então P (x < X < y) = F (y) F (x) c) Seja f(x, y) a função probabilidade conjunta da v.a. bidimensional (X, Y ), e f X (x) a função probabilidade marginal de X. Tem-se f X (x) f(x, y) quaisquer que sejam x e y d) Seja f(x) a função densidade de probabilidade da v.a. X. Tem-se f(x) 0 para todo o x 3. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras (V) ou falsas (F). a) Seja ξ α o quantil de ordem α de uma v.a. contínua X. Tem-se que P (X > ξ α ) = 1 α b) Seja (X, Y ) uma v.a. bidimensional tal que Cov(X, Y ) = 3. Então, X e Y não podem ser independentes c) A amplitude inter-quartis é uma medida de localização de uma distribuição de probabilidades d) Seja M X (s) a função geradora dos momentos da v.a. X e seja Y = cx, onde c R. Tem-se que M Y (s) = M X (cs) 4. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras (V) ou falsas (F). a) Se X N(0, σ 2 ), então P (X > σ) > 1/2 b) Seja T o tempo de espera até à quarta ocorrência de um processo de Poisson. Então, T tem distribuição gama c) Seja X uma v.a. com distribuição t(n) para algum n > 3. Tem-se que o coeficiente de assimetria de X é nulo d) Suponha que X Po(3). Então P (2 < X < 3) = 0

2 5. Seja X 1,..., X n uma amostra casual de tamanho n > 1 proveniente de uma população X. Assuma que E[X] = µ e Var(X) = σ 2 < +. Classifique as seguintes afirmações como verdadeiras (V) ou falsas (F). a) Var( X) + quando n + b) Se X B(1, θ) então n X B(n, θ) c) Seja F X (x) a função de distribuição de X. Então, P (X 1 > x, X n > x) = (1 F X (x)) 2 d) Sejam X (1) e X (n), respectivamente, o mínimo e o máximo da amostra casual. Qualquer que seja x, tem-se que P (X (1) > x) P (X (n) > x) Nas perguntas seguintes responda no espaço disponibilizado para o efeito. Justifique cuidadosamente todos os passos. Cotação de cada pergunta: 15 pontos. 6. Mostre que dois acontecimentos mutuamente exclusivos A e B são independentes se e só se pelo menos um deles tem probabilidade nula. 7. Mostre que se X U(0, a) onde a > 0, então Y = X/a é tal que Y U(0, 1). FIM DA 1 a PARTE

3 2 a Parte Prática N o de Exame: abcde 03.Jan.11 Este exame é composto por duas partes. Esta é a 2 a Parte Prática (Cotação: 12 valores). Esta parte é composta por 4 questões, cada uma na sua folha. As questões devem ser respondidas no espaço disponibilizado para o efeito. No decorrer da prova não serão prestados quaisquer esclarecimentos. BOA SORTE! Atenção: Nas perguntas com alternativas, uma resposta certa vale 10 pontos, uma resposta errada vale -2.5 pontos. Cotação: 1.a) b) 2.a) b) 3.a) b) 4.a) b) A percentagem de repetentes a frequentar determinada cadeira é 30%. Os alunos que frequentam a cadeira estão divididos em 3 turmas: turma A com 25% dos estudantes, turma B com 40% e turma C com os restantes. Sabe-se, ainda, que 40% dos alunos da turma A são repetentes, e que na turma B essa percentagem é de 37.5%. a) Se forem seleccionados 10 alunos ao acaso e com reposição entre os matriculados nesta disciplina, qual é a probabilidade de 6 serem repetentes? (Assinale com uma cruz no quadrado adequado.) i) ii) iii) iv) b) Seleccionado um aluno ao acaso entre os inscritos na turma C, qual é a probabilidade de este ser repetente? RESPOSTA 1.b)

4 2. Assuma que o tempo (em horas) que um estudante gasta na deslocação de sua casa para o Instituto é uma variável aleatória com distribuição exponencial de média igual a uma hora. a) Qual é a probabilidade de, em cinco viagens independentes, o tempo máximo de deslocação ser superior a uma hora? (Assinale com uma cruz no quadrado adequado.) i) 0.84 ii) 0.94 iii) 0.90 iv) 0.75 b) Determine a probabilidade de o estudante ter dispendido pelo menos 100 horas em deslocações de casa para o Instituto ao longo de um trimestre (81 dias). RESPOSTA 2.b)

5 3. Admita que o número de pontos que uma equipa de futebol faz em dois jogos seguidos, em casa (X) e fora (Y ), é uma variável aleatória com a seguinte função probabilidade conjunta: x\y a) Determine E[Y X = 1]. (Assinale com uma cruz no quadrado adequado.) i) 1.80 ii) 0.40 iii) 1.15 iv) 0.85 b) Determine se há acontecimentos independentes e se as variáveis aleatórias são ou não independentes. RESPOSTA 3.b)

6 4. No grupo etário dos homens com idade compreendida entre os 40 e os 50 anos, o tempo (em horas) passado a ver televisão diariamente segue uma distribuição normal de média 2.5 e desvio padrão 1.5. Para o mesmo grupo etário de mulheres, esse tempo segue também uma distribuição normal mas de média 3.0 e desvio padrão 1.0. Vão retirar-se duas amostras casuais independentes, uma de 15 homens e outra de 20 mulheres. a) Qual a probabilidade de, nas amostras, se obter um tempo médio passado em frente ao televisor nos homens superior ao das mulheres? (Assinale com uma cruz no quadrado adequado.) i) 0.25 ii) 0.13 iii) 0.33 iv) 0.19 b) Determine o tamanho mínimo da amostra a retirar da população das mulheres desse grupo etário se se pretender que, com probabilidade pelo menos 0.95, a diferença em valor absoluto entre a média amostral e a média populacional não exceda 0.1. RESPOSTA 4.b) FIM

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