Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Variância 07/14 1 / 14

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Maria dos Santos Caldas
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4 PERGUNTA: Suponha que X represente a duração de vida de lâmpadas. Qual o significado de termos E(X) = 1000 horas. Poderia significar que a maioria das lâmpadas deveria durar um período compreendido entre 900 horas e 1100 horas. Poderia significar também que as lâmpadas fornecidas são formadas de dois tipos de lâmpadas: cerca da metade são de muita boa qualidade e durarão aproximadamente horas, enquanto que a outra metade são de má qualidade e durarão aproximadamente 700 horas. Existe então uma necessidade de introduzir uma medida quantitativa que venha a distinguir entre essas duas situações. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 07/14 4 / 14

5 Definição 11.1: Seja X uma variável aleatória definida no espaço de probabilidade (Ω,,P). Então a variância da variável aleatória X, denotada por Var(X) ou σ 2, Var(X) = E[X E(X)] 2 = E(X 2 ) [E(X)] 2 A variância é sem dúvida a medida de variabilidade mais importante. Ela é o parâmetro de algumas distribuições. A raiz quadrada positiva de Var(X) é denominada de desvio-padrão e denotada por σ. O desvio padrão tem a mesma unidade de medida da variável. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 07/14 5 / 14

6 Exemplo 11.1 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 07/14 6 / 14

7 PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA: P1 Se X = c, em que c é uma constante, então Var(c) = 0. P2 Multiplicando-se uma variável aleatória por uma constante, sua variância fica multiplicada pelo quadrado dessa constante: Var(cX) = c 2 Var(X). P3 Se somarmos ou subtraírmos uma constante a variável aleatória, sua variância não se altera: Var(X + c) = Var(X c) = Var(X). P4 Sejam X 1 e X 2 variáveis aleatórias, assim Var(X 1 + X 2 ) = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) + 2Cov(X 1,X 2 ) Var(X 1 X 2 ) = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) 2Cov(X 1,X 2 ), em que Cov(X 1,X 2 ) = E[(X 1 E(X 1 ))(X 2 E(X 2 ))] = E(X 1 X 2 ) E(X 1 )E(X 2 ) é a covariância entre as variáveis X 1 e X 2. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 07/14 7 / 14

8 PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA: P5 Sejam X 1,...,X n variáveis aleatórias, assim Var( n i=1 X i) = n i=1 Var(X i) + 2 n 1 n j=1 i=j+1 Cov(X i,x j ) em que Cov(X i,x j ) = E[(X i E(X i ))(X j E(X j ))] = E(X i X j ) E(X i )E(X j ). Observação 11.1: A covariância é uma medida de dependência linear entre as variáveis e pode assumir valores de qualquer sinal. Observação 11.2: Se X 1,...,X n forem independentes temos que E(X i X j ) = E(X i )E(X j ) e assim, Cov(X i,x j ) = 0. Consequentemente, temos que Var( n i=1 X i) = n i=1 Var(X i). Observação 11.3: Se a covariãncia for zero não há dependência linear entre as variáveis, mas pode haver outro tipo de relação entre elas e, portanto, não podemos dizer que são independentes. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 07/14 8 / 14

9 Exercício 11.1: Uma turma de Estatística contém 3 alunos canhotos e 24 destros. Selecionam-se aleatoriamente dois estudantes diferentes para um projeto de coleta de dados, representando-se por X o número de estudantes canhotos escolhidos, calcule a média, a variância e o desvio padrão da variável aleatória X. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 07/14 9 / 14

10 Exercício 11.1: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 07/14 10 / 14

11 Exercício 11.2: Uma indústria pretende comprar três lotes de peças que são produzidas por dois fornecedores, A e B. Ela inicia, comprando de um dos fornecedores escolhido ao acaso e, se ficar satisfeita com o material entregue, compra o próximo lote do mesmo fornecedor. Se não ficar satisfeita, troca o fornecedor. Admita que para cada lote o índice de satisfação é de 80% para A e 70% para B. Calcule a média e a variância do número de lotes fornecidos por A. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 07/14 11 / 14

12 Exercício 11.2: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 07/14 12 / 14

13 Exercício 11.3: A experiência de diversas companhias de resgate de navios naufragados indica que a probabilidade de um resgate ser bem sucedido na primeira tentativa é de 0.6; caindo para a metade a cada nova tentativa. Uma empresa de resgate tem como norma não realizar mais de três tentativas e cobra 50 mil reais para iniciar os trabalhos e mais x(k 1) reais, com k sendo o número de tentativas. a) Qual o custo médio dos serviços dessa empresa? b) Se um navio resgatado pode render ao proprietário 65 mil reais, é interessante para ele contratar essa empresa? Justifique. a) Qual a variância do número de tentativas? E do custo dos serviços? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 07/14 13 / 14

14 Exercício 11.3: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 07/14 14 / 14

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