Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

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Jónatas Macedo Rodrigues
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1 Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 02/14 1 / 1

2 A distribuição F de Snedecor também conhecida como distribuição de Fisher é frequêntemente utilizada na inferência estatística para análise da variância. Definição 16.1: Uma variável aleatória contínua X tem distribuição F de Snedecor com ν 1 e ν 2 graus de liberdade, denotada por F ν1,ν 2, se sua função densidade for dada por: f(x) = Γ ν 1 2 Γ ν 1 +ν 2 2 ν1 ν 2 ν1 /2 x ν 1 /2 1 Γ ν2 ν1 x 2 ν (ν1 +ν 2 )/2, 0 < x <, ν 1,ν 2 = 1,2,3,... Novamente a expressão acima é assustadora???? Boa Notícia: Não precisaremos dela para calcular probabilidades. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 02/14 2 / 1

3 Propriedades da distribuição F de Snedecor Propriedades E(X) = ν 2 ν 2 2 para ν 2 > 2 Var(X) = 2ν 2 2 (ν 1 + ν 2 2) ν 1 (ν 2 4)(ν 2 2) 2, para ν 2 > 4 Não existe função geradora de momentos para a distribuição F de Snedecor. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 02/14 3 / 1

4 Distribuição t de Student Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 02/14 4 / 1

5 Principais Características Cada par de graus de liberdade da origem a uma distribuição F diferente. A distribuição F depende de dois parâmetros. O primeiro (ν 1 ) é o grau de liberdade do numerador e o segundo (ν 2 ) do denominador. A variável aleatória F é não-negativa, e a distribuição é assimétrica à direita. A distribuição F se parece com a distribuição qui-quadrado, no entanto, os parãmetros ν 1 e ν 2 fornecem flexibilidade extra em relação à forma. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 02/14 5 / 1

6 Exemplo de Tabela F de Snedecor Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 02/14 6 / 1

7 Teorema 16.1: Sejam Q 1 e Q 2 variáveis aleatórias independentes, com distribuição qui-quadrado com ν 1 e ν 2 graus de liberdade, respectivamente. Então, a variável aleatória F = Q 1/ν 1 Q 2 /ν 2 tem distribuição F de Snedecor com ν 1 graus de liberdade no numerador e ν 2 graus de liberdade no denominador. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 02/14 7 / 1

8 Observação 16.1: Suponha que temos duas populações independentes tendo distribuições normais com variâncias iguais a σ 2. Considere Y 11,...,Y 1n uma amostra aleatória da primeira população com n observações e Y 21,...,Y 2m uma amostra aleatória da segunda população com m observações. Então, a estatística f = (n 1)S 2 1 (n 1)σ 2 (m 1)S 2 2 (m 1)σ 2 tem distribuição F de Snedecor com (n 1) graus de liberdade no numerador e (m 1) graus de liberdadade no denominador, onde s 1 e s 2 sãos os desvios padrão amostrais da primeira e da segunda amostra, respectivamente. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 02/14 8 / 1

9 Observação 16.2: Em geral, as tabelas contêm apenas os pontos percentuais da cauda superior (valores de F α,ν1,ν2 para α 0.50) Os pontos percentuais da cauda inferior F 1 α,ν1,ν2 podem ser encontrados a partir da seguinte relação: F 1 α,ν1,ν 2 = 1 F α,ν2,ν 1 RELAÇÕES IMPORTANTES: F 1 α,1,ν = t 2 1 α/2,ν F α,ν, = χ 2 α,ν ν Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 02/14 9 / 1

10 Exemplo 1: Determine a) F 0.01,15,9 b) F 0.95,10,15 c) F 0.99,15,9 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 02/14 10 / 1

11 Exemplo 2: Verifique que F 0.95 = t Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 02/14 11 / 1

12 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 02/14 12 / 1

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