Algumas distribuições de probabilidade úteis

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Sara Dias Natal
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1 SME0812 Modelos Lineares Algumas distribuições de probabilidade úteis Prof. Cibele Russo 23 de abril de / 21

2 Distribuições de probabilidade centrais 23 de abril de / 21

3 Distribuição qui-quadrado A variável aleatória U tem distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade (n 1 inteiro) se sua função densidade de probabilidades é dada por com Γ(a) = f (u) = 1 0 Para n inteiro, Γ(n + 1) = n! Notação: U 2 n. 1 Γ( n 2 )2n=2 u(n 2)=2 e u=2 ; 0 < u < 1; x a 1 e x dx, a > 0 e Γ(a + 1) = aγ(a). 23 de abril de / 21

4 Distribuição qui-quadrado Função geradora de momentos: m u (t) = E(e tu ) = (1 2t) n=2. Momentos: E(U) = n E(U 2 ) = n(n + 2) E(U 1=2 ) = Γ( n+1 2 )Γ( n 2 ) E ( 1 U 2 ) = E(U 1=2 ) = Γ( n 1 2 ) p 2Γ( n 2 ) Var(U) ( ) = 2n 1 E = 1 U n 2 ; n > 2 1 (n 2)(n 4) ; n > 4 23 de abril de / 21

5 Distribuição qui-quadrado Exemplo: Função densidade de probabilidade de U 2 3 : >curve(dchisq(x, df = 3),0,20) dchisq(x, df = 3) x 23 de abril de / 21

6 Distribuição t-student Se Z N(0; 1) e U 2 n são variáveis aleatórias independentes, então T = Z U tem distribuição t-student com n graus de liberdade. A função densidade de probabilidades de T é dada por f (t) = Notação: T t n. n n+1 Γ( 2 ) ( ) Γ( n 2 )p 1 + t2 ( n+1 2 ) ; 1 < t < 1: n n 23 de abril de / 21

7 Distribuição t-student Função geradora de momentos: não existe. Momentos: E(T ) = 0 para n > 1 Var(T ) = n n 2 para n > 2 23 de abril de / 21

8 Distribuição t-student Exemplo: Função densidade de probabilidade de T t 4 : >curve(dt(x, df=4),-4,4) dt(x, df = 4) x 23 de abril de / 21

9 Distribuição F de Fisher-Snedecor Sejam U 1 e U 2 variáveis aleatórias independentes tais que U 1 2 n 1 e U 2 2 n 2. Então W = U 1 n 1 U 2 n 2 tem distribuição F de Snedecor, com n 1 graus de liberdade no numerador e n 2 graus de liberdade no denominador. A função densidade de probabilidades de W é dada por f (w) = Γ( n 1+n 2 ) 2 Γ( n 1 2 )Γ( n 2 Notação: W F n1 ;n 2. 2 ) n n 1 =2 1 n n 2 =2 2 w (n 1 2)=2 (n 2 + wn 1 ) (n 1+n 2 )=2 ; w > 0: 23 de abril de / 21

10 Distribuição F de Fisher-Snedecor Função geradora de momentos: não existe. Momentos: E(W ) = n 2 n 2 2 para n 2 > 2. Var(W ) = 2n2 2 (n 1 + n 2 2) n 1 (n 2 2) 2 (n 2 4) para n 2 > 4. E(W 2 n2 2 ) = (n 1 + 2) n 1 (n 2 2)(n 2 4) para n 2 > de abril de / 21

11 Distribuição F de Fisher-Snedecor Exemplo: Função densidade de probabilidade de W F 3;4: >curve(df(x, 3, 4),0,10) df(x, 3, 4) x 23 de abril de / 21

12 Distribuições de probabilidade não centrais 23 de abril de / 21

13 Distribuição qui-quadrado não central A variável aleatória U tem distribuição qui-quadrado não central com n graus de liberdade (n 1 inteiro) e parâmetro de não centralidade se sua função densidade de probabilidades é dada por f (u) = e Notação: U 2 n;. 1 k k=0 u (n+2k 2)=2 e u=2 k! Γ( n+2k )2 2 (n+2k)=2 ; 0 < u < 1 Obs: Define-se k = 1 para = 0; k = 0. Para = 0, esta densidade se reduz à da variável aleatória com distribuição 2 n. 23 de abril de / 21

14 Distribuição qui-quadrado não central Função geradora de momentos: m u (t) = E(e tu ) = (1 2t) n=2 e [1 (1 2t) 1]. Momentos: E(U) = n + 2. Var(U) = 2(n + 4). Resultado: Se U 1 e U 2 são variáveis aleatórias independentes, com U 1 2 n 1 ; 1 e U 2 2 n 2 ; 2 então U 1 + U 2 2 n 1 +n 2 ; de abril de / 21

15 Distribuição qui-quadrado não central Função geradora de momentos: m u (t) = E(e tu ) = (1 2t) n=2 e [1 (1 2t) 1]. Momentos: E(U) = n + 2. Var(U) = 2(n + 4). Resultado: Se U 1 e U 2 são variáveis aleatórias independentes, com U 1 2 n 1 ; 1 e U 2 2 n 2 ; 2 então U 1 + U 2 2 n 1 +n 2 ; de abril de / 21

16 Distribuição qui-quadrado não central Exemplo: Função densidade de probabilidade de U 2 3;2 : >curve(dchisq(x, df=3, ncp = 2),0,20) dchisq(x, df = 3, ncp = 2) x 23 de abril de / 21

17 Distribuição F não central Sejam U 1 e U 2 variáveis aleatórias independentes tais que U 1 2 n 1 ; e U 2 2 n 2. Então W = U 1 n 1 U 2 n 2 tem distribuição F não central, com n 1 graus de liberdade no numerador, n 2 graus de liberdade no denominador e parâmetro de não centralidade. A função densidade de probabilidades de W é dada por f (w) = 1 e k k=0 k! Γ( n 1+n 2 +2k ) 2 Γ( n 1+2k )Γ( n ) n (n 1+2k)=2 n n 2 =2 1 (n 2 + wn 1 ) (n 1+n 2 +2k)=2 w 2 (n 1+2k 2)=2 ; w > 0: 23 de abril de / 21

18 Distribuição F não central Obs: Para = 0, esta densidade se reduz à da variável aleatória com distribuição F n1 ;n 2. Momentos: E(W ) = n 2 Var(W ) = ( ) n 2 2 2n2 2 n1 2(n 2 2) n 1 [ para n 2 > 2. (n 1 + 2) 2 (n 2 2)(n 2 4) + (n ] 1 + 4) (n 2 4) para n 2 > de abril de / 21

19 Distribuição F não-central Exemplo: Função densidade de probabilidade de W F 3;4;2: >curve(df(x, 3, 4, ncp=2),0,10) df(x, 3, 4, ncp = 2) x 23 de abril de / 21

20 Distribuição t-student não central Se X N(; 1) e U 2 n são variáveis aleatórias independentes, então T = X U tem distribuição t de Student não central, com n graus de liberdade e parâmetro de não centralidade. A função densidade de probabilidades de T é dada por n f (t) = n n=2 e 2 =2 Γ( n 2 )(n + t2 ) (n+1)=2 1 k=0 Γ( n+k+1 2 ) k 2 k =2 t k k!(n + t 2 ) k =2 : Notação: T t n;. 23 de abril de / 21

21 Distribuição t-student não-central Exemplo: Função densidade de probabilidade de T t 4;2: >curve(dt(x, df=1, ncp=2),-4,4) dt(x, df = 1, ncp = 2) x 23 de abril de / 21

22 Distribuição F não central dupla Sejam U 1 e U 2 variáveis aleatórias independentes tais que U 1 2 n 1 ; 1 e U 2 2 n 2 ; 2. Então W = U 1 n 1 U 2 n 2 tem distribuição F não central dupla, com n 1 graus de liberdade no numerador, n 2 graus de liberdade no denominador e parâmetros de não centralidade 1 e 2. A função densidade de probabilidades de W pode ser consultada em [?]. Notação: W F n1 ;n 2 ; 1 ; de abril de / 21

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