MODELOS DE REGRESSÃO PARA DADOS CONTÍNUOS ASSIMÉTRICOS

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1 MODELOS DE REGRESSÃO PARA DADOS CONTÍNUOS ASSIMÉTRICOS 1

2 Diversas distribuições podem ser consideradas para a modelagem de dados positivos com distribuição contínua e assimétrica, como, por exemplo, as distribuições gama, normal inversa, Weibul, Pareto e log-normal; Aplicações frequentes em estudos de confiabilidade, na Engenharia; análise de sobrevida, na Medicina; estudos ambientais e financeiros, dentre outros. Alternativa ao uso de transformação de dados como artifício para induzir simetria na distribuição da resposta ou estabilizar sua variância.

3 Distribuição Gama Uma das parametrizações da distribuição gama é a seguinte: Uma variável aleatória Y tem distribuição de Gama se sua função densidade de probabilidades for dada por: f y ν 1 β Y ( y; ν, β ) = y e, y > 0 ; ν > 0, β > 0, ν 1 β Γ ( ν ) de tal forma que: E ( ) νβ ; ( Y ) =νβ µ = Y = Var. 3

4 Uma parametrização alternativa, em que um dos parâmetros fica definido pela média da distribuição, é dada por: f ν ν y ( ;, ) µ ν 1 µ Y y µ ν = y e, y > 0 ; µ > 0, ν > 0, Γ ν ( ν ) sendo Γ( ) x 0 ν 1 ν = x e dx a função gama. As seguintes propriedades são facilmente verificadas: µ E ( Y ) = µ ; Var ( Y ) = ; ( µ ) = µ ν V ; 1 φ =ν, onde V ( ) e φ representam, respectivamente, a função de variância e o parâmetro de dispersão. 4

5 Repare que a variância da distribuição está relacionada à média de forma quadrática. Como consequência, o coeficiente de variação da distribuição gama: ( Y ) µ ν 1 = = ( Y ) µ ν Var CV ( Y ) =, E é constante com relação à média da distribuição. Outra propriedade importante da distribuição gama é o fato de que à medida que φ aumenta, essa distribuição se aproxima de uma Normal com média µ e variância φµ = µ ν. Essa propriedade viabiliza o uso da distribuição gama para a modelagem de dados simétricos em que a variância está relacionada de forma quadrática com a média. 5

6 ν=0.5 ν=1 ν= f(x) f(x) f(x) x x x ν=4 ν=8 ν= f(x) f(x) f(x) x x x Figura 1 Gráficos das funções densidade de probabilidades gama para valores crescentes de ν (mantendo fixo µ = 1). 6

7 Modelo linear generalizado com resposta Gama Um modelo linear generalizado para uma variável com distribuição Gama fica especificado da seguinte forma: Y i x i ~ Gama i ( ) µ,ν g ( µ i ) = ηi = iβ = β0 + β1xi1 + βxi β pxip x, sendo g uma função de ligação. As funções de ligação mais usadas para a distribuição Gama são a identidade ( µ = η ), a logarítmica ( ( µ ) = η log ) e a inversa ( 1 µ = η ), sendo esta última a ligação canônica. 7

8 Cuidado! As funções de ligação identidade e inversa podem produzir valores negativos para µ. O Desvio para o modelo de regressão Gama fica dado por: D n ˆ µ y ; + ˆ µ i, i= 1 yi 1 i ( µ ˆ ) = φ D( y ; µ ˆ ) = ν log ( yi ˆ µ i ) i = g η i e ˆ η = x i βˆ i. 1 sendo ˆ µ ( ˆ ) Repare que, diferentemente das distribuições binomial e de Poisson, para a distribuição Gama φ é desconhecido, devendo, portanto, ser estimado por algum dos métodos discutidos anteriormente. 8

9 Inferência para os parâmetros do modelo Caso φ seja conhecido: Z j ˆ β j β j = ~ N(0,1), se( ˆ β ) j assintoticamente, e as inferências (intervalos de confiança e testes de hipóteses podem ser obtidos conforme descrito anteriormente. Caso φ seja desconhecido, deve ser estimado e as inferências baseadas na distribuição t Student com n p graus de liberdade. 9

10 Para testar a nulidade conjunta de q parâmetros do modelos (ou alguma outra restrição imposta a q parâmetros), baseado na comparação dos desvios de modelos encaixados, podemos utilizar o teste F, com base na estatística: F = ( D D ) p q D p p ( n p) q, sendo D p e D os desvios dos modelo não restrito e restrito, respectivamente, p o número de p q parâmetros livres no modelo não restrito e restrito. p q o número de parâmetros livres no modelo Sob a hipótese nula de que as restrições aplicadas são corretas (variáveis removidas são conjuntamente não significativas), temos que, assintoticamente ( distribuição F Snedecor, com q e n p graus de liberdade. n ), F segue uma 10

11 Nota No denominador da estatística F, pode-se substituir ( n p) D p por φˆ, alguma estimativa consistente do parâmetro de dispersão extraída, por exemplo, de um modelo com maior número de parâmetros. Nota Paula (013) apresenta a extensão do teste da razão de verossimilhanças (dentre outros) para o caso em que φ é desconhecido (com códigos disponíveis na página do autor). Para avaliar a qualidade do ajuste, usamos a deviance escalonada: ( ; ˆ µ ) * D D ( y; ˆ µ ) = y, ˆ φ que, para um modelo corretamente especificado, segue, aproximadamente, distribuição χ com n p graus de liberdade quando φ 0 (dispersão pequena). 11

12 Distribuição Normal Inversa Uma variável aleatória Y tem distribuição Normal Inversa de média µ e parâmetro de forma λ, denotada por Y ~ NI ( µ, λ ), se sua função densidade de probabilidade for dada por: f Y ( y, φ) ( y µ ) 1 µ = exp, y > 0, µ > 0. 3 πλy λµ y ; de tal forma que: µ 3 3 E ( Y ) = µ ; Var ( Y ) = ; ( µ ) = µ λ V ; φ = λ. Assim como a distribuição gama, a distribuição normal inversa pode ser considerada como alternativa na modelagem de variáveis aleatórias positivas com distribuição assimétrica; 1

13 Repare que, diferentemente da distribuição gama, em que a variância se relaciona de forma quadrática com a média ( ( ) 3 forma cúbica ( V ( µ ) = µ ). V µ = µ ), para a distribuição normal inversa esta relação se dá de 13

14 Modelo linear generalizado com resposta Normal Inversa Um modelo linear generalizado ficaria especificado da seguinte forma: y i x i ~ Normal Inversa i ( ) µ,λ g ( µ i ) = ηi = iβ = β0 + β1xi1 + βxi β pxip x, sendo g uma função de ligação. As funções de ligação mais usadas para a distribuição Normal Inversa são a identidade ( µ = η, efeitos aditivos) e logarítmica ( log ( µ ) = η inversa quadrática ( 1 µ = η )., efeitos multiplicativos). A função de ligação canônica é a 14

15 O desvio para o modelo de regressão Normal Inversa fica dado por: D n { y i i yi ˆi } 1 ( µ ˆ ) = φ D( y ; µ ˆ ) = φ ( ˆ µ ) y ; µ, i= 1 i = g η i e ˆ η = x i βˆ i. 1 sendo ˆ µ ( ˆ ) As inferências para o modelo com resposta normal inversa devem ser realizadas de forma semelhante às apresentadas para a distribuição gama, uma vez que, também neste caso, o parâmetro de dispersão (φ ) é desconhecido e deve ser estimado. 15