TESTES DE HIPÓTESES E INTERVALOS DE CONFIANÇA EM MODELOS LINEARES GENERALIZADOS

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1 TESTES DE HIPÓTESES E INTERVALOS DE CONFIANÇA EM MODELOS LINEARES GENERALIZADOS

2 Antes de apresentar alguns dos testes de hipóteses e intervalos de confiança mais usuais em MLG, segue a definição de modelos encaiados. Dizemos que dois modelos são encaiados se um modelo é obtido a partir do outro impondo alguma restrição aos (usualmente igualando a zero alguns dos) parâmetros. Na sequência são apresentados os preditores lineares de diferentes modelos lineares generalizados para avaliarmos se configuram modelos encaiados.

3 o Caso : 4 4 Modelo Modelo µ µ = = - Modelos encaiados! A comparação dois modelos apresentados no par poderia fundamentar o teste da hipótese: : 4 = = H, contra a alternativa que os parâmetros sob teste não são conjuntamente nulos.

4 4 o Caso : Modelo Modelo µ µ = = - Modelos encaiados! A comparação dois modelos apresentados no par poderia fundamentar o teste da seguinte hipótese: ; ; : = = = H.

5 o Caso : Modelo Modelo µ = µ = - Modelos encaiados! A comparação dois modelos apresentados no par poderia fundamentar o teste da seguinte hipótese: H. : = Repare que, mediante este par de hipóteses, estaríamos testando a eistência de interação entre e. 5

6 o Caso 4: Modelo Modelo µ = µ = - Modelos encaiados! A comparação dois modelos apresentados no par 4 poderia fundamentar o teste da seguinte hipótese: H =,. : = Repare que, mediante este par de hipóteses, estaríamos testando a eistência de efeito cúbico ou quadrático de em y. 6

7 7 Nota Note que em qualquer um dos quatro eemplos apresentados, a hipótese nula representa o modelo restrito e a hipótese alternativa o modelo não restrito. Nos testes que vamos realizar, a rejeição de H corresponde à diferença dos dois modelos, sendo que se deve optar, nesses casos, pelo modelo não restrito (com mais parâmetros). o Caso 5: 4 4 Modelo Modelo µ µ = = - Modelos não encaiados! o Caso 6: ( ) ln Modelo Modelo µ µ = = - Modelos não encaiados!

8 Teste da razão de verossimilhanças (TRV) em MLG O teste da razão de verossimilhanças é amplamente utilizado em MLG para testar a nulidade conjunta de q p parâmetros a partir de modelos encaiados. Seja M p um MLG com p parâmetros e M q um modelo encaiado a M p, a partir de uma restrição a p q parâmetros, restando q < p parâmetros não fiados (irrestritos). Considere D p e D q, respectivamente, os desvios de M p e M q. A estatística D D, com p q p q graus de liberdade, é uma medida de variação dos dados eplicada pelos termos que estão em M p mas não em M q. 8

9 A estatística do teste da razão de verossimilhanças para comparação dos dois modelos fica dada por: ( µ ˆ ) p; y ( ) µ ˆ ; y D q Dp L ξ RV = = φ { l( µ ˆ p; y) l( µ ˆ q; y) } = φ ln, φ L q que, sob a hipótese nula de que as restrições são válidas, tem assintoticamente distribuição χ p q. Caso a hipótese nula seja de nulidade de p q parâmetros e o resultado do teste indique a não rejeição de H, isso pode justificar a eliminação do modelo dos termos (variáveis, fatores...) associados aos p q parâmetros nulos. 9

10 Nota O teste da razão de verossimilhanças pode ser aplicado ao teste de um único parâmetro (Eemplo: H : k = vs H : k ), sendo que neste caso, sob H ξ RV tem, assintoticamente, distribuição χ. No R: ajuste=glm(...)### Modelo maior ajuste=glm(...)### Modelo menor anoca(ajuste,ajuste,test= Chisq )

11 Procedimento geral para o teste da razão de verossimilhanças em Modelos Lineares Generalizados. Formular as hipóteses de interesse e estabelecer adequadamente os modelos restrito ( M q) e não restrito ( M p) correspondentes;. Ajustar os dois modelos aos dados e etrair os correspondentes desvios ( D q e D p);. Calcular a estatística do teste da razão de verossimilhanças ( ξ RV ); 4. Com base no valor de ξ RV, testar a hipótese nula de que a restrição imposta é válida. Por eemplo, para um nível de significância α, rejeitamos H se RV pertinente χ p q. ξ eceder o quantil ( α ) da distribuição

12 Teste F para o caso em que φ é desconhecido Para as distribuições em que o parâmetro de dispersão é desconhecido (Normal, Gama e Normal Inversa, por eemplo), pode-se considerar como alternativa o uso do teste F, que independe do parâmetro de dispersão. A estatística do teste F é definida por: ( D D ) ( p q) q ξ RV =, D p p ( n p) que, sob a hipótese nula de que as restrições impostas em H são válidas, tem assintoticamente distribuição Fp q, n p.

13 Nota Pode-se substituir ( n p) φ. D p no denominador da estatística F por alguma estimativa consistente de Assim, no passo 4 do procedimento geral do TRV, adotaríamos distribuição de referência para testar a restrição aos parâmetros. Fp q, n p, e não χ p q como No R: ajuste=glm(...)### Modelo maior ajuste=glm(...)### Modelo menor anoca(ajuste,ajuste,test= F )

14 Análise do desvio (Tabela ANODEV) A análise do desvio configura uma etensão da análise de variância para os modelos lineares generalizados. A análise do desvio baseia-se na comparação dos desvios avaliados para modelos encaiados, permitindo testar o efeito da inclusão (eclusão) de variáveis, fatores e interações a um modelo corrente. A Tabela Anodev é a representação de uma sequência de testes de razão de verossimilhanças para um modelo linear generalizado, em que os termos do preditor linear são acrescentados sucessivamente ao modelo (começando pelo modelo nulo), e a significância de suas inclusões avaliadas via TRV. 4

15 A título de ilustração, considere um MLG qualquer, com quatro variáveis no preditor linear ( X, X, X, X 4 ). Então, na tabela Anodev serão apresentados os desvios, as diferenças de desvios, os correspondentes graus de liberdade e os testes de razão de verossimilhança para: o Inclusão de X ao modelo que contém apenas um termo constante; o Inclusão de X ao modelo que contém X ; o Inclusão de X ao modelo que contém X e X ; o Inclusão de X 4 ao modelo que contém X, X e X. 5

16 Notas-. A ordem de inclusão das variáveis é determinada pelo usuário e, eceto em casos bem específicos, vai alterar a significância das variáveis;. A ordem de inclusão de termos ao modelo, quando na ocorrência de interações, deve obedecer ao principio hierárquico. Ou seja, se temos no modelo X, X e X X, primeiramente inserimos ao modelo X e X (na ordem que bem se entender) para depois inserir o termo correspondente à interação. O mesmo vale para modelos polinomiais, em que os termos de menor ordem são os primeiros a serem inseridos. No R: Comando anova. 6

17 Uma forma alternativa de se fazer a análise do desvio é avaliando a significância de uma variável quando inserida ao modelo que contém todas as demais variáveis, eceto a variável em questão. A título de ilustração, considere um MLG qualquer, com quatro variáveis no preditor linear ( X, X, X, X 4 ). Então, na tabela Anodev serão apresentados os desvios, as diferenças de desvios, os correspondentes graus de liberdade e os testes de razão de verossimilhança para: o Inclusão de X ao modelo que contém X, X e X 4; o Inclusão de X ao modelo que contém X, X e X 4; o Inclusão de X ao modelo que contém X, X e X 4; o Inclusão de X 4 ao modelo que contém X, X e X. No R: Comando Anova, pacote car. 7

18 Teste de Wald O teste de Wald baseia-se na distribuição assintótica normal dos estimadores de máima verossimilhança dos parâmetros do modelo. Seja ˆ j o estimador de máima verossimilhança de j, um particular parâmetro de um MLG. Conforme discutido anteriormente, para n, j (, Var ( ˆ ) ˆ ~ Normal, onde Var ( ˆ j ) é estimada através do correspondente termo da diagonal da matriz de covariâncias ^ Var ( ˆ ) = ( X Wˆ X) φˆ. Vamos denotar por ep( ) Var ( ˆ ) j j ˆ j = j o erro padrão de j ˆ. 8

19 Embora possam ser aplicados ao teste de hipóteses contemplando dois ou mais parâmetros, o uso mais frequente do teste de Wald contempla apenas um parâmetro por vez. Em situações envolvendo mais parâmetros, é mais usual aplicar o teste da razão de verossimilhanças. Considere então o seguinte par de hipóteses: H H : = j : j ( ) j ( ) j, em que ( ) é algum valor postulado para j (é comum tomarmos j ( ) j =, a fim de testarmos a nulidade de j). Então, o teste de Wald baseia-se na seguinte estatística-teste: Z t ˆ ( ) j j =, ep ( ˆ ) j que, sob a hipótese nula, tem assintoticamente distribuição Normal padrão. 9

20 Para um nível de significância α, rejeitaremos H caso Z t > z α /, onde z α / representa o quantil α / da distribuição Normal padrão. Nos casos em que φ é desconhecido, pode-se usar a distribuição t Student com n p graus de liberdade, rejeitando H se Z t > t n p; α /. No R: A estatística e o teste de Wald são apresentados no próprio summary de um MLG. Nota A função waldtest, do pacote lmtest permite aplicar o teste de Wald para hipóteses envolvendo p parâmetros, baseado numa distribuição assintótica χ n p.

21 Intervalos de confiança Dentre os métodos disponíveis para obtenção de intervalos de confiança em Modelos Lineares Generalizados, serão destacados os intervalos baseados na razão de verossimilhanças e na estatística de Wald. Intervalos de confiança baseados na razão de verossimilhanças Um intervalo de confiança (assintótico) α para algum parâmetro j do modelo, baseado na razão de verossimilhanças, contém todos os valores H ( ) = não seria rejeitada pelo TRV, ao nível de significância α. : j j ( ) para os quais a hipótese nula j

22 Para fins de ilustração, considerando um nível de confiança (assintótico) de 95%, o intervalo de ( ) confiança para j conteria todo para o qual a hipótese j H ( ) = produzisse: : j j ξ ( µ ˆ ; y) ( µ ˆ ; y) D D L = = φ ln χ,95; =,84 φ L RV, ( ) sendo D o desvio avaliado considerando = e D o desvio avaliado no modelo sem restrição para j j j. No R: Função confint.

23 Intervalos de confiança baseados na estatística de Wald Uma vez que, assintoticamente: ˆ j j ep ( ˆ ) j ~ Normal (, ), pode-se determinar quantis z α / e z α / tais que: P z ˆ j j < < α = α ˆ /, < α <. ep ( ) j α / z Isolando j no centro da desigualdade, temos: ( ˆ z ep ( ˆ ) < < ˆ z ep ( ˆ )) = α P j α / j j j α / j.

24 Assim, um intervalo de confiança α para j fica dado por: IC ( α ) = ( ˆ ± z ep( ˆ ) j ; j α /. j No R: confint.default(ajuste). 4

25 Intervalo de confiança para a resposta média em = A estimativa pontual da resposta média para um vetor de covariáveis = = (,, ) [ ] µ = E y, baseada no ajuste de um modelo linear generalizado, é dada por:,..., p, ( ˆ ) = ˆ µ g, onde g é a função de ligação do modelo e ˆ a estimativa de máima verossimilhança de. Seja ˆ η = ˆ a estimativa do preditor linear calculada em. A variância assintótica de ˆ η fica dada por: ( ) ( ˆ ) ( ˆ ˆ = Var = Var ) Var η. 5

26 Como, ˆ ˆ η = é uma combinação linear dos ˆ s, temos que, assintoticamente: (, Var( ˆ ) ) η ~ Normal. ˆ Assim, um intervalo de confiança α assintótico para η = fica dado por: ( Vaˆ r( ˆ ) ) IC η ˆ, (, α) = ± zα / sendo z α / o quantil α / da distribuição Normal padrão. Apenas para efeito de notação, vamos representar o intervalo de confiança para η por ( ) η L ;ηu. 6

27 Assim, um intervalo de confiança assintótico αpara µ fica dado por: ( ) ( µ, α ) = g ( η ) g ( η ) IC L ; U, se g for estritamente crescente e ( ) ( µ, α ) = g ( η ) g ( η ) IC U ; L se g for estritamente decrescente. No R: p=predict(ajuste,type= link,newdata=,se.fit=t) ### é um dataframe com os dados para os quais se quer estimar a resposta. ### O argumento se.fit=t é para retornar os erros padrões das estimativas. estimat=p$fit errpad=p$se.fit ic=ep(estimatc(-.96,.96)*errpad) ### Vale se a ligação for logarítmica. Se for outra, basta trocar ep() pela inversa da ligação usada. 7