A Importância da Estatística na Pesquisa Científica e na Tomada de Decisão

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1 A Importância da Estatística na Pesquisa Científica e na Tomada de Decisão Ricardo Alves de Olinda Universidade Estadual da Paraíba - UEPB Centro de Ciências e Tecnologia - CCT Departamento de Estatística ricardo.estat@yahoo.com.br Novembro de 2015 Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 16

2 Exemplos de motivação Amostras de 20 insetos, Heliothis virescens (praga do algodão), resistentes a cypemethrin, foram expostas a doses crescentes do inseticida, dois dias depois da emergência da pupa (Collet, 2002). Após 72h, foram contados os números de insetos mortos e os resultados obtidos estão na Tabela 2. Tabela 1: Números de insetos mortos em amostras de 20 insetos machos e fêmeas submetidos a doses crescentes de cypemethrin. Dose Log(dose) N insetos mortos Machos Fêmeas Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 16

3 MODELOS LINEARES GENERALIZADOS Carga Horária: 40 horas Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 16

4 Um modelo linear generalizado é definido pelos seguintes três componentes: Componente aleatório; Componente sistemático; Função de ligação; Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 16

5 Componente aleatório: Um conjunto de variáveis aleatórias independentes (Y 1, Y 2,, Y n ) provenientes de uma mesma distribuição da família exponencial de dispersão, com médias: E(Y i ) = µ i, sendo φ o parâmetro de dispersão e θ i os parâmetros canônicos, podendo-se expressar a função (densidade) de probabilidade de Y i por: { } yθ b (θ) f (y; θ, φ) = exp + c (y; φ). φ Observações - Dentre as distribuições pertencentes à família apresentada estão as distribuições de Bernoulli, Binomial, Poisson, Binomial Negativa, Normal, Gama e Normal inversa. Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 16

6 Componente sistemático: corresponde ao preditor linear, que contempla um conjunto de covariáveis (x 1, x 2,..., x p ) por meio de uma combinação linear de parâmetros: η i = β 0 + β 1 x i1 + β 2 x i2 + + β p x ip. Função de ligação: uma função real, monótona e diferenciável que associa o componente aleatório (ou, mais especificamente, a média de sua distribuição) ao componente sistemático do modelo. Então, a função de ligação, denotada por g( ) é definida de tal forma que: g (µ i ) = η i = β 0 + β 1 x i1 + β 2 x i2 + + β p x ip. Observação - Repare que g( ) tem o papel de linearizar a relação entre os componentes aleatório e sistemático do modelo. Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 16

7 1. Especificação do componente aleatório A especificação do componente aleatório requer a definição de uma distribuição de probabilidades apropriada à variável resposta; Essa definição deve ser baseada nas propriedades da variável aleatória em questão (trata-se de uma variável aleatória discreta ou contínua? É razoável assumir que sua distribuição seja simétrica? Em qual conjunto numérico essa variável pode assumir valores?); O conhecimento dos modelos probabilísticos disponíveis e de suas principais propriedades é fundamental para uma escolha adequada; Não se tendo convicção sobre uma particular escolha, pode-se tentar diferentes alternativas, comparando os resultados (ajustes) produzidos. Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 16

8 2. Definição do preditor linear. Quais variáveis explicativas serão consideradas? Como tais variáveis serão incorporadas ao preditor (na forma original? Transformadas? Categorizadas? Centradas? Por meio de um polinômio?...); Serão consideradas interações entre as variáveis? 3. Definição da função de ligação. Algumas propriedades desejadas para uma função de ligação: Ser capaz de linearizar a relação entre µ e η; Produzir valores válidos (pertencentes ao espaço paramétrico) de µ para qualquer conjunto de valores para as variáveis explicativas; Apresentar propriedades estatísticas e computacionais desejáveis (trataremos disso mais adiante); Proporcionar interpretações práticas para os coeficientes (parâmetros) presentes no preditor linear. Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 16

9 Função de ligação canônica - A ligação canônica é determinada pelo parâmetro canônico da distribuição, produzindo: g (µ i ) = θ i = η i = β 0 + β 1 x i1 + β 2 x i2 + + β p x ip. O uso da função de ligação canônica tem convenientes estatísticos, dentre os quais garante a existência de estatísticas suficientes para os β s de mesma dimensão do vetor de coeficientes, além de garantir a concavidade da função de variância. Embora configure uma alternativa conveniente, a escolha da ligação canônica não é obrigatória, sendo que em algumas situações outras ligações podem proporcionar melhor ajuste. Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 16

10 Tabela 2: Algumas funções de ligação usuais e suas inversas. Ligação η = g(µ) µ = g 1 (η) L. canônica identidade µ η normal log ln(µ) e η poisson inverso µ 1 η 1 gamma inverso-quadrado µ 2 η 1/2 c nor. inversa raiz quadrada logito µ η 2 ( ) ln µ 1 µ e η 1+e η logito probito φ 1 (µ) φ(η) log-log ln[ ln(µ)] exp[ exp( η)] Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 16

11 Voltando ao exemplo dos Insetos... Componente aleatório: Variável resposta: Número de insetos mortos (y); Distribuição proposta: y ij Binomial(20, π ij ) Componente sistemático: Preditor linear com efeitos aditivos de sexo e log-dose: η ij = β 0 + β 1 log(dose i ) + β 2 sexo j sendo sexo j = 0, para sexo feminino, e sexo j = 1, para sexo masculino. Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 16

12 Ligação: Função de ligação logito (canônica). Modelo resultante: y ij Dose i ; Sexo j Binomial(20, π ij ); [ ] πij ln = β 0 + β 1 log(dose i ) + β 2 sexo j 1 π ij Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 16

13 Exemplo Na sequência, são apresentadas as cinco primeiras linhas de um banco de dados referente a um estudo prospectivo com 100 indivíduos de pelo menos 65 anos de idade em boas condições físicas. O objetivo do estudo é tentar relacionar o número médio de quedas num período de seis meses com as seguintes variáveis explicativas, descritas na ordem em que aparecem na base: Quedas número de quedas no período; Intervenção 0: educação somente; 1: educação e exercícios físicos; Sexo 0: feminino; 1: masculino; Balanço escore; Força escore. Indivíduo Quedas Intervenção Sexo Balanço Força Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 16

14 Componente aleatório: Variável resposta: Número de quedas (y); Distribuição proposta: y i Poisson(µ i ). Componente aleatório: Preditor linear com efeitos aditivos: η ij = β 0 + β 1 interv i + β 2 sexo i + β 3 balanco i + β 4 forca i, sendo interv e sexo variáveis indicadoras do tipo de intervenção e sexo. Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 16

15 Ligação: Função de ligação logarítmica (canônica). Modelo resultante: y i x Poisson(µ i ) ln(µ i ) = β 0 + β 1 Interv i + β 2 Sexo i + β 3 balano i + β 4 fora i. Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 16

16 Observação Apresentamos em cada exemplo apenas uma possibilidade de modelo para o problema abordado. Diversas outras especificações seriam possíveis (quanto ao componente aleatório, sistemático ou à ligação) produzindo modelos alternativos, eventualmente com melhor ajuste aos dados. No R: função glm (vamos a ela!). Departamento de Estatística - CCT Olinda, R. A. (2015) - UEPB Novembro de / 16