CE225 Modelos Lineares Generalizados

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1 CE225 Modelos Lineares Generalizados 1

2 "Todos os modelos são errados; alguns modelos são úteis" George Box ( ) 2

3 Objetivo da disciplina Apresentar ao aluno a teoria e aplicações dos Modelos Lineares Generalizados, propostos originalmente em Nelder e Wedderburn (1972), que configuram extensões dos modelos lineares clássicos (com erros normalmente distribuídos) e que permitem analisar a relação funcional entre um conjunto de variáveis independentes e uma variável aleatória dependente com distribuição pertencente à família exponencial de distribuições. A família exponencial contempla, dentre outras, as distribuições normal, exponencial, gama, normal inversa, Poisson, binomial e binomial negativa. Na sequência são descritos alguns dos problemas que serão analisados, ao longo do semestre, usando elementos de Modelos Lineares Generalizados. 3

4 Exemplos de motivação 4

5 Exemplo 1 Análise da resistência de uma nova fibra sintética usada na produção de camisas. Sabendo-se que a resistência da fibra é afetada pela quantidade de algodão utilizada, e que a quantidade de algodão no produto final, de acordo com as características desejadas, deve estar no intervalo de 10 a 40%, um experimento é delineado com cinco réplicas (amostras de tecidos) para cinco diferentes especificações referentes à quantidade de algodão. Variável resposta: Resistência da fibra (em libras/pol 2 ). Variável explicativa: Porcentagem de algodão no tecido, com cinco níveis: 15, 20, 25, 30 e 35%. 5

6 Dados Quadro 1 Dados de resistência (em libras/pol 2 ) para o experimento de fibra sintética. Porcentagem Amostra de tecido de algodão Objetivos: Avaliar o efeito da porcentagem de algodão na resistência da fibra sintética; Identificar a porcentagem ideal de algodão de forma a se obter máxima resistência. 6

7 25 20 Resistência da fibra Porcentagem de algodão Figura 1 Gráfico de dispersão para as resistências das fibras sob cinco porcentagens distintas de algodão. 7

8 Exemplo 2 Amostras de 20 insetos (Heliothis virescens - praga do algodão) foram expostas a doses crescentes do cipermetrina, dois dias depois da emergência da pupa (Collet, 2002). Após 72h, foram contados os insetos mortos. Variável resposta: Número de insetos mortos. Variáveis explicativas Dose de cipermetrina: 1, 2, 4, 8, 16, 32 u.m.: Sexo do inseto (macho ou fêmea). 8

9 Quadro 2 Números de insetos mortos em amostras de 20 insetos machos e fêmeas submetidos a doses crescentes de cipermetrina. Dose Nº insetos mortos Log2(Dose) Machos Fêmeas 1, , , , , ,

10 Objetivos: Propor um modelo que descreva o aumento na mortalidade dos insetos segundo a dose de aplicada de cipermetrina; Comparar as curvas de mortalidade para insetos machos e fêmeas; Estimar doses letais, ou seja, doses efetivas (mortais) para uma determinada proporção p de insetos. 10

11 Machos Fêmeas Proporção de insetos mortos log(dose) Figura 2 Gráfico da proporção de insetos mortos segundo o sexo e a dose de inseticida. 11

12 Exemplo 3 - Uma população de mulheres indígenas vivendo numa região próxima a Phoenix, Arizona, foi testada para diabetes de acordo com o critério estabelecido pela Organização Mundial de Saúde. Os dados foram coletados pelo Instituto Nacional de Diabetes e Doenças Digestivas e Renais dos EUA. São considerados os dados referentes aos 532 registros completos. Variáveis explicativas Gestações - número de gestações; GlicOral - concentração de glicose no plasma no teste de tolerância à glicose oral. Pressão - pressão arterial diastólica (mm Hg). Prega - espessura da prega tricipital (mm). IMC - índice de massa corporal (peso/altura 2 ). Pedigree - função pedigree diabetes. Idade - idade em anos. Variável resposta Diagnóstico diagnóstico de diabetes de acordo com o teste de Glicemia em Jejum. 12

13 Notas: O Teste Oral de Tolerância à Glicose (também conhecido como Curva Glicêmica) é feito da seguinte maneira: a pessoa com suspeita de diabetes ingere 75g de glicose diluída em água. Após duas horas de espera, é feita a coleta de sangue para medir a taxa de glicose. Se o resultado for igual ou superior a 200mg/dl (miligramas por decilitro), o indivíduo é considerado portador de diabetes. Se a glicemia estiver entre 140mg/dl e 199mg/dl, então o diagnóstico é de pré-diabetes. 13

14 Dados - Seis primeiras linhas da base: Indiv Gestações GlicOral Pressão Prega IMC Pedigree Idade Diagnóstico Não Sim Não Não Não Sim 14

15 Objetivos: Identificar fatores associados à incidência de diabetes; Estabelecer um modelo preditivo para o diagnóstico de diabetes. 15

16 Gravidez Glicose Pressão arterial (mmhg) Espessura prega tric Não Sim Não Sim Não Sim Não Sim Diagnóstico Diagnóstico Diagnóstico Diagnóstico IMC (kg/m2) Pedigree Idade (amos) Número de pacientes Não Sim Não Sim Não Sim Não Sim Diagnóstico Diagnóstico Diagnóstico Diagnóstico Figura 3 Distribuição das variáveis explicativas segundo o diagnóstico de diabetes. 16

17 Tabela 1 Médias, desvios padrões e estatística do teste t (comparação de duas médias), para amostras independentes, para as variáveis explicativas segundo o diagnóstico Variável Diagnóstico Estatística Não Sim t Número de gestações 2,9 (2,8) 4,8 (4,0) -3,56 Glicose (oral) 113 (26) 145 (30) -7,38 Pressão diastólica 69 (11) 74 (11) -2,95 Espessura prega tricipital 27 (11) 33 (12) -3,39 Pedigree 0,41 (0,27) 0,55 (0,36) -4,51 Idade 29 (10) 37 (11) -2,70 17

18 npreg glu bp skin bmi ped age Figura 4 Matriz de gráficos de dispersão para as variáveis explicativas. 18

19 Exemplo 4 Estudo prospectivo com 100 indivíduos de pelo menos 65 anos de idade em boas condições físicas. O objetivo do estudo é tentar relacionar o número de quedas num período de seis meses com as seguintes variáveis explicativas, descritas na ordem em que aparecem na base: Variáveis explicativas: Intervenção Fator com níveis Educ : educação somente; Educ+Exerc : educação e exercícios físicos; Sexo Fator com níveis Fem : feminino; Masc : masculino; Balanço escore de equilíbrio do indivíduo, numa escala de 0 a 100 (quanto maior o escore, maior o equilíbrio; Força escore de força do indivíduo, numa escala de 0 a 100 (quanto maior o escore, maior a força). Variável resposta: Quedas número de quedas no período; 19

20 Dados - Seis primeiras linhas da base: Indiv Número Escore de Escore de Intervenção Sexo de quedas equilíbrio força 1 1 Educ+Exerc Fem Educ+Exerc Fem Educ+Exerc Masc Educ+Exerc Masc Educ+Exerc Fem Educ+Exerc Masc

21 Objetivos: Avaliar o efeito da intervenção na prevenção das quedas; Identificar características dos indivíduos associadas a um maior número de quedas. 21

22 Análise descritiva (univariada) > summary(geriatra) quedas intervenção sexo balanço força Min. : 0.00 Educ :50 Fem :47 Min. :13.00 Min. : st Qu.: 1.00 Educ+Exerc:50 Masc:53 1st Qu.: st Qu.:52.00 Median : 3.00 Median :51.50 Median :60.00 Mean : 3.04 Mean :52.83 Mean : rd Qu.: rd Qu.: rd Qu.:70.25 Max. :11.00 Max. :98.00 Max. :

23 Análise descritiva (bivariada): o Número de quedas vs intervenção; > with(geriatra,describeby(quedas, intervenção, mat = TRUE,digits=2)) item group1 vars n mean sd median trimmed mad min max range skew kurtosis se 11 1 Educ Educ+Exerc o Número de quedas vs sexo; > with(geriatra,describeby(quedas, sexo, mat = TRUE,digits=2)) item group1 vars n mean sd median trimmed mad min max range skew kurtosis se 11 1 Fem Masc

24 o Número de quedas vs nível de balanço; > with(geriatra,describeby(quedas, cut(balanço,4), mat = TRUE,digits=2)) item group1 vars n mean sd median trimmed mad min max range skew kurtosis se 11 1 (12.9,34.2] (34.2,55.5] (55.5,76.8] (76.8,98.1] o Número de quedas vs nível de força; > with(geriatra,describeby(quedas, cut(força,4), mat = TRUE,digits=2)) item group1 vars n mean sd median trimmed mad min max range skew kurtosis se 11 1 (17.9,36] (36,54] (54,72] (72,90.1]

25 Residuals vs Fitted Normal Q-Q Residuals Standardized residuals Fitted values Theoretical Quantiles Scale-Location Residuals vs Leverage Standardized residuals Standardized residuals Cook's distance Fitted values Leverage Figura 5 Gráficos para os resíduos de um modelo de regressão linear múltipla ajustado aos dados de quedas de idosos. 25

26 Exemplo 5 Dados de 4624 apólices de seguros de automóveis que registraram sinistros no período de um ano, entre 2004 e Variáveis explicativas: Valor: Valor do veículo (x dólares); Tipo: tipo de veículo, com níveis: o BUS: ônibus; o CONVT: conversível; o COUPE; o HBACK: hathback; o HDTOP: hardtop; o MCARA: trailer motorizado; o MIBUS: mini-ônibus; o RDSTR: roadster; o SEDAN; o STNWG: station wagon; o TRUCK: caminhão; o UTE: utilitário. Idade: idade do veículo, com níveis 1 (veículos mais novos), 2, 3 e 4; Sexo: sexo do motorista, com níveis: M (masculino) e F (Feminino); Area: área de residência do motorista: A, B, C, D, E e F; Idademot: idade do motorista, com níveis: 1 (mais novos), 2, 3, 4, 5 e 6. Variável resposta: Quantia: valor (somado) dos sinistros apresentados no período (variável resposta). 26

27 Objetivos: Identificar fatores associados a sinistros mais caros; Estabelecer um modelo preditivo, que sirva de base para estabelecer a tabela de preços para períodos futuros. 27

28 Dados Dez primeiras linhas da base: > head(dados2,10) Valorcar Quantia Tipo Idade Sexo Area Idademot SEDAN 3 M B SEDAN 3 F F HBACK 3 M C STNWG 3 M F STNWG 2 M F HBACK 3 F A STNWG 1 F F HBACK 4 F A STNWG 4 F B MCARA 3 M F 4 28

29 Análise descritiva (univariada): > summary(dados2) Valorcar Quantia Tipo Idade Sexo Area Idademot Min. : Min. : SEDAN :1476 1: 825 F:2648 A:1085 1: 496 1st Qu.: st Qu.: HBACK :1264 2:1259 M:1976 B: 965 2: 932 Median : Median : STNWG :1173 3:1362 C:1412 3:1113 Mean : Mean : UTE : 260 4:1178 D: 496 4:1104 3rd Qu.: rd Qu.: HDTOP : 130 E: 386 5: 614 Max. : Max. : TRUCK : 120 F: 280 6: 365 (Other): 201 > sum(dados2$quantia>15000) ### Numero de apólices que geraram mais de $ em sinistros. [1] 65 29

30 Todas as apólices com sinistros Apólices com sinistros inferiores a $ Frequência Frequência Valor dos sinistros (x$10.000) Valor dos sinistros (x$10.000) Figura 6 Distribuição dos valores dos sinistros gerados pelos segurados. 30

31 Análise descritiva (bivariada) Valores dos sinistros vs tipo de veículo: > with(dados2,describeby(quantia, Tipo, mat = TRUE,digits=2)) item group1 vars n mean sd median trimmed mad min max range skew kurtosis se 11 1 BUS CONVT COUPE HBACK HDTOP MCARA MIBUS PANVN RDSTR SEDAN STNWG TRUCK UTE

32 Valores dos sinistros vs idade do motorista: > with(dados2,describeby(quantia, Idademot, mat = TRUE,digits=2)) item group1 vars n mean sd median trimmed mad min max range skew kurtosis se

33 BUS CONVT COUPE HBACK HDTOP MCARA MIBUS PANVN RDSTR SEDAN STNWG TRUCK UTE 1 33 Valor dos sinistros x $ F M Valor dos sinistrosx $ Valor dos sinistrosx $ Idade do motorista Sexo A B C D E F Área de residência Idade do motorista Valor dos sinistrosx $ Valor dos sinistrosx $ Valor dos sinistrosx $ Valor do veículo Figura 7 Distribuição dos valores dos sinistros segundo as covariáveis (todas as apólices com sinistro).

34 Exemplo 6 Análise do desempenho de cinco tipos de turbinas de aviões. Foi conduzido um experimento com 10 turbinas de cada tipo Variável explicativa Tipo de turbina, com níveis I, II, III, IV e V. Variável resposta Tempo de vida da turbina, em milhões de ciclos até verificada a perda de velocidade. Objetivos Estimar parâmetros correspondentes às distribuições dos tempos de vida dos cinco tipos de turbinas; Comparar os tempos médios de vida, identificar quais turbinas são mais resistentes. 34

35 Dados: Turbina I II III IV V

36 Análise descritiva: Tempo até perda de velocidade (milhões de ciclos) Turbina 1 Turbina 2 Turbina 3 Turbina 4 Turbina 5 Tipo de turbina Figura 8 Distribuição dos tempos de vida segundo tipo de turbina. 36

37 > medias=with(turbdata,tapply(tempo,turbina,mean)); medias Turbina 1 Turbina 2 Turbina 3 Turbina 4 Turbina > variancias=with(turbdata,tapply(tempo,turbina,var)); variancias Turbina 1 Turbina 2 Turbina 3 Turbina 4 Turbina > cvs=sqrt(variancias)/medias;cvs # Coeficientes de variação. Turbina 1 Turbina 2 Turbina 3 Turbina 4 Turbina