Quantis residuais. Luziane Franciscon Acadêmica de Estatística Universidade Federal do Paraná

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1 Quantis residuais Luziane Franciscon Acadêmica de Estatística Universidade Federal do Paraná Orientador: Fernando Lucambio Departamento de Estatística Universidade Federal do Paraná Resumo Uma etapa importante de qualquer análise de regressão é a chamada análise de resíduos. O objetivo deste trabalho é apresentar um novo conceito de resíduo, os resíduos quantis e mostrar, através de simulações, que eles se comportam como verdadeiros resíduos contínuos no caso de modelos de regressão com resposta discreta. Além disso, mostraremos a diferença dos resíduos quantis com o resíduos deviance em dados simulados e em um exemplo real.

2 1 Modelo de Regressão Linear Este modelo estatístico descreve a relação entre duas variáveis, a variável Y, chamada variável resposta, que pode ser explicada pela variável X, chamada variável auxiliar ou covariável. Neste trabalho consideramos os modelos de regressão linear em um contexto mais amplo, no qual a distribuição de probabilidade associada à variável resposta pode ser discreta ou contínua, estes são os chamados modelos de regressão generalizados. Uma etapa importante de qualquer análise de regressão é a verificação das suposições do modelo proposto e a anaálise dos resíduos é uma ferramenta muito útil neste sentido. O resíduo para a i-ésima observação pode ser definido como uma função do tipo r i = r(y i, µ i ), onde µ i é o valor esperado ou valor ajustado pelo modelo. O que se procura medir com os resíduos é a possível discrepância entre o valor observado e o valor ajustado da i-ésima observação. A definição mais usual de resíduo é dada por r i = y i µ i, conhecido como resíduo ordinário, há outras formas de definir resíduo, em particular trabalharemos com os chamados resíduos deviance, os quais definiremos adiante. 1.1 Modelos lineares generalizados Existe uma vasta literatura no assunto e a referência mais completa é o livro de McCullagh & Nelder (1989), no qual baseamos nosso estudo. Sejam Y 1,, Y n variáveis aleatórias independentes, cada uma com função de densidade ou de probabilidade na família exponencial escrita como f(y i ; θ i, φ) = exp[φ{y i θ i b(θ i ) + c(y i )} + a(y i, φ)], (1) onde E{Y i } = db(θ i )/dθ i, que denotaremos por µ i, var{y i } = φ 1 V i, V i = dµ i /dθ i é a função de variância, θ = θ(β) é o parâmetro canônico e φ é o parâmetro de dispersão (φ > 0) que, em geral, é desconhecido (i = 1, 2,, n). Os modelos lineares generalizados são definidos por (1) e pelo componente sistemático g(µ i ) = η i, (2) onde η i = x i β é o preditor linear, β = (β 1,, β p ), p < n, é o vetor dos parâmetros da regressão a serem estimados, x i = (x i1,, x ip ) representa os valores de p variáveis 1

3 explicativas e g( ) uma função monótona e diferenciável, denominada função de ligação. Como exemplos ou casos particulares de distribuições que pertencem à família exponencial (1) podemos mencionar a distribuição normal, normal inversa, Poisson e binomial, dentre outras, obtendo-se os modelos de regressão linear múltipla, regressão normal inversa, regressão Poisson, regressão logística e outros. As funções de ligação mais utilizadas são obtidas quando o parâmetro canônico coincide com o preditor linear, isto é, quando θ = η e a função de ligação nestas situações é chamada de ligação canônica. As ligações canônicas para os modelos mencionados são, respectivamente, dadas por µ = η, µ = 1 { } µ η, log µ = η e log = η 2 1 µ No contexto de modelos lineares generalizados, diversas definições de resíduos são usadas. Aqui consideraremos os resíduos deviance que, para a i-ésima observação é dado por r d,i = d(y i, µ i ) 1/2 sign(y i µ i ), onde d(y, µ) é a função deviance, definida como sendo t(y, y) = yθ b(θ). d(y, µ) = 2{t(y, y) t(y, µ)}, O resíduo deviance tem distribuição exata normal no caso da regressão normal e na regressão normal inversa (Williams, 1987). 2 Quantis Residuais Na Seção 1.1 definimos os resíduos deviance que, como mencionado anteriormente, é um dos possíveis a serem considerados. Nesta seção introduzimos um novo conceito de resíduo, proposto por Dunn & Smyth (1996). São baseados na idéia de inverter a função de distribuição estimada para cada observação e assim obter resíduos cuja função de densidade é exatamente a normal. 2

4 Quantis residuais são resíduos usados em modelos lineares generalizados em situações de grande dispersão quando os resíduos deviance podem não ser normais. No caso de distribuições discretas, como a binomial e a Poisson, os resíduos quantis podem não ser contínuos e, então, algum procedimento de aleatorização é introduzido para produzir resíduos normais contínuos. Os resíduos quantis são os únicos resíduos úteis para dados binomiais e Poisson se a variável resposta assume um número pequeno de valores distintos. Definição 2.1 Seja F (y; µ, φ) a função de distribuição acumulada de Y, com função de densidade f(y; µ, φ). Dado que F é contínua, então F (Y ; µ, φ) está uniformemente distribuída no intervalo (0,1). Neste caso os quantis residuais são definidos como: r q,i = Φ 1 {F (Y i ; µ i, φ i )} (3) Nesta definição, Φ é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Devemos lembrar aqui que se F U(0, 1) e se r = Φ 1 (F ), então Φ é a função de distribuição da variável aleatória r (Rohatgi, 1976). Utilizando este resultado provamos que r q,i tem, assintoticamente, distribuição normal padrão se β e φ são estimadores consistentes de β e φ, respectivamente. Se F não for contínua, uma definição mais geral dos quantis residuais é necessária. Seja a i = lim y yi F (y; µ i, φ i ) e b i = F (y i ; µ i, φ i ). A definição de quantil residual para y i é r q,i = Φ 1 (u i ) onde u i é uma variável uniforme no intervalo (a i, b i ). Tanto para F contínua quanto para F discreta observamos que E{r q,i } = 0 e que var{r q,i } = 1, portanto, se β e φ forem estimados utilizando estimadores consistentes então r q,i N(0, 1), em probabilidade. 2.1 Exemplo Mostraremos a seguir que, em em determinadas situações, podemos não perceber comportamentos anômalos nos resíduos se utilizamos o resíduo deviance, em compensação, os resíduos quantis nos permitem realizar análises minusiosas. Utilizaremos para mostrar isso dados simulados. 3

5 Figura 1: Gráficos comprativos dos resíduos deviance e quantis residuais em dados simulados Resíduo deviance Quantil residual Covariável Covariável Resíduo deviance Quantil residual Covariável Covariável Simulamos de dados binomiais, utilizando regressão logística, considerando 60 observações, nas quais a variável resposta são independentes com n = 3 e log{p i /(1 p i )} = β 0 + β 1 x i, onde x i é a covariável. Na Figura 1, nos dois primeiros gráficos, temos os resíduos deviance e os resíduos quantis supondo que no preditor linear a covariável aparece de maneira linear. Observemos que no primeiro destes gráficos os pontos estendem-se em quatro curvas paralelas, correspondendo aos quatro possíveis valores da variável resposta. As curvas formadas dificultam a visualização de algum outro padrão nos dados. O segundo gráfico exibe os quantis residuais e nele nota-se que os resíduos apresentam um padrão quadrático. Os dados deste exemplo foram, de fato, simulados com log{p i /(1 p i )} dependendo quadraticamente de x i. 4

6 A segunda linha de gráficos, também na Figura 1, apresenta os resíduos deviance e os quantis residuais quando o ajuste do modelo logístico foi realizado com termo quadrático em x no preditor linear. Observemos que os resíduos deviance mostra curvas em quanto que os quantis residuais mostram dispersão aleatória. 3 Diabetes mellitus nas índias de Pima A base de dados do diabetes nas índias de Pima, população residente perto de Phoenix, Arizona, nos Estados Unidos é datada de maio de 1990, sendo estes dados provenientes de um levantemento amostral no qual os indivíduos foram aleatoriamente escolhidos e de forma representativa National Institutes of Health (1990). Figura 2: Gráficos dos resíduos deviance no estudo do diabetes nas índias de Pima Deviance Residual Índice Diversas informações foram coletadas das 768 índias, tendo por objetivo investigar quais são significativas para explicar a presença ou ausência do diabetes mellitus. Um modelo de regressão logística foi proposto e ajustado, obténdo-se que o modelo selecionado depende índice de massa corporal, da concentração de glicose, da heredi- 5

7 tariedade e do número de vezes grávida. Na Figura 2 podemos observar os resíduos deviance deste modelo, os quais mostram-se satisfatórios quanto à normalidade. Figura 3: Gráficos dos quantis residuais no estudo do diabetes nas índias de Pima Quantis Residuais Índice Comparativamente, observemos a Figura 2, nela apresentamos os resíduos quantis para o mesmo modelo selecionado. Observemos que nesta figura o padrão aleatório dos resíduos é mais evidente daquele mostrado pelos resíduos deviance. 4 Conclusões No trabalho apresentamos um novo resíduo nos modelos lineares generalizados, particularmente útil nos modelos de regressão discretos. Este resíduo, também com distribuição limite normal padrão, nos permite detectar possíveis padrões anômalos de comportamento nos resíduos e, desta forma, poder melhorar o ajuste do modelo de regressão proposto. Os quantis residuais apresentam-se como a única opção de resíduos quando a resposta é discreta e assume poucos valores distintos. 6

8 Devemos resaltar que utilizamos procedimentos de aleatorização para obter resíduos contínuos quando a resposta é discreta. Isto significa que os quantis residuais podem variar de uma realização a outra, nos exemplos apresentados somente foi utilizada uma realização. Em situações práticas é aconselhado fazer quatro realizações dos quantis residuais para detectar padrões nos resíduos. Para finalizar, prestemos atenção no detalhe de ter utilizado a função de distribuição acumulada normal padrão para definir os resíduos quantis, a princípio qualquer outra função de distribuição acumuada pode ser utilizada com esse objetivo, porém estamos acostumados a utilizar como referência nas análises de resíduos a distribuição normal padrão, é por isso que a recomendamos. Referências Dunn, P.K. & Smyth, G.K. (1996). Randomized quantile residuals. Journal of Computational and Graphical, 5, McCullagh, P. & Nelder, J.A. (1989). Generalized Linear Models. Chapman and Hall, Oxford. National Institutes of Health (1990). The Pima indians pathfinder for health. Disponível em Rohatgi, V.K. (1976). An Introduction to Probability Theory and Mathematical Statistics. New York: John Wiley & Sons. Williams, D.A. (1987). Generalized linear model diagnostics using the deviance and single case deletions. Applied Statistics, 36(2),