Comparação entre intervalos de confiança calculados com métodos bootstrap e intervalos assintóticos

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1 Comparação entre intervalos de confiança calculados com métodos strap e intervalos assintóticos Selene Loibel Depto. de Estatística, Matemática Aplicada e Computação, IGCE, UNESP, Rio Claro, SP sloibel@rc.unesp.br, Edmar J. Alves Depto. de Matemática, IGCE, UNESP Rio Claro, SP 29 de maio de 2013 Resumo: As técnicas de strap são métodos computacionais intensivos que usam reamostragem para o cálculo de medidas de incerteza dos estimadores, tais como erros-padrões, viés e intervalos de confiança. Este trabalho apresenta os diferentes métodos de cálculo de intervalos de confiança utilizando as técnicas strap. Tais métodos são: o intervalo de confiança strap padrão, o intervalo de confiança strap - t, o intervalo de confiança strap percentil, o intervalo de confiança strap BCPB e o intervalo de confiança BC a. Para o cálculo desses intervalos utilizamos o software Matlab. Os métodos foram comparados entre si e com os métodos tradicionais de estimação da incerteza de estimadores utilizando um conjunto de dados gerados. 1 Introdução Na inferência estatística, em geral calcula-se o desvio-padrão de estimadores para obter-se estimativas por intervalos para os parâmetros, fixando um coeficiente de confiança. Na maioria dos casos há a necessidade de utilizar resultados assintóticos para o cálculo destes intervalos, por exemplo a normalidade assintótica dos estimadores de máxima verossimilhança, [2]. Muitas vezes as amostras utilizadas não são do tamanho suficiente para o uso destes resultados. Como consequência disto podemos obter intervalos muito amplos e, em alguns casos, em que há maior complexidade do modelo, o intervalo pode estar fora do domínio do parâmetro. Uma alternativa para esses casos é utilizar as técnicas de reamostragem da qual se destacam os métodos de strap. A reamostragem é o nome que se dá a um conjunto de técnicas que se baseiam em calcular estimativas a partir de repetidas amostragens dentro da mesma amostra. Entretanto a aplicação de tais técnicas se desenvolveu mais nos últimos anos, com o avanço tecnológico e o desenvolvimento de softwares mais rápidos e mais acessíveis, uma vez que os procedimentos de reamostragem utilizam o computador de forma intensiva. Segundo Davison e Hinkley em [3], repetir um procedimento de análise original com muitas réplicas de dados pode ser denominado método computacional intensivo. Para realizar uma estimação através da utilização dos métodos strap é necessária a realização de um número grande de reamostragens e o cálculo de diversas estatísticas para cada uma destas reamostragens. Dado o custo alto e a escassez consequente de dados em muitas aplicações, combinadas com o custo reduzido e abundância do poder da computação, os métodos de strap se tornam muito atraentes, [4] e [5]. 201

2 2 Os métodos strap Considere uma amostra de tamanho n, x = (x 1,x 2,...,x n, oriunda de uma distribuição F com parämetro θ, que chamaremos de amostra original. Os métodos de strap não paramétricos consistem na geração de um grande número de amostras independentes x 1,x 2,...,x B, denominadas de amostras strap, de tamanho n, igual ao da amostra original, com reposição da mesma. Denotando por θ o parâmetro de interesse, tem-se uma réplica strap θ b, b = 1,2,...,B, que é o valor do estimador de máxima verossimilhança θ avaliado em cada uma das B amostras strap. Em posse destas B amostras, é possível construir uma distribuição strap para θ. Essa distribuição estimada é utilizada para realizar inferências sobre o parâmetro em estudo. Neste trabalho apresentamos inferência para θ utilizando resultados assintóticos e comparamos com os obtidos pelos métodos de strap. Definimos a estimativa strap do desvio-padrão por dp ( θ { } = 1 B [ θ B 1 b θ ( ] 2 (2.1 b=1 com θ ( = 1 B B θ b b=1 sendo a média das réplicas strap. Essa medida de variabilidade para θ é utilizada nos 2 primeiros métodos de cálculo de intervalos de confiança, que apresentamos a seguir. Uma vantagem destes métodos é a facilidade algébrica, o desvio-padrão strap pode ser calculado para qualquer estimador. No intervalo tradicional paramétrico, o cálculo da variância assintótica de θ, definida como menos o valor esperado da inversa da informação de Fisher, em alguns casos pode ser complexo. Mais detalhes em [2]. A estimativa strap do viés é definida pela diferença entre a média das réplicas strap e a estimativa de θ na amostra original. Essa estimativa serve para avaliar qual método strap pode ser mais adequado. viés ( θ = θ ( θ (2.2 O intervalo de confiança strap padrão-z para θ, com coeficiente de confiança 100(1 %, denotando o percentil /2 da distribuição Normal padrão por z ( 2, é dado por: IC Z (θ,100(1 % = [ θ z( 2 dp ( θ, θ + z( 2 dp ( θ ] (2.3 Neste intervalo, é feita a suposição de normalidade da distribuição de θ e a medida de variabilidade de θ é o desvio-padrão strap, dado em (2.1. O intervalo de confiança strap-t para θ, com coeficiente de confiança 100(1 %, denotando o percentil /2 da distribuição t Student por t ( 2, é dado por: IC t (θ,100(1 % = [ θ t( 2 dp ( θ, θ + t( 2 dp ( θ ] (2.4 O intervalo strap-t funciona bem quando a distribuição da estatística é aproximadamente normal e a estatística apresenta viés pequeno. Segundo Borkowski [1] podemos considerar o viés pequeno se é menor que 25% de seu desvio padrão, isto é se viés ( θ < 0,25 dp[ viés ( θ ]. A medida de variabilidade de θ neste intervalo também é o desvio-padrão strap, dado em 2 202

3 (2.1. O intervalo de confiança strap percentil I com coeficiente de confiança 100(1 % é obtido pelos ( ( 2 ésimo e 1 2 ésimo percentis da distribuição empírica de θ, denotada por F: [ ] [ IC perci (θ,100(1 % = F ( 1 2, 1 F = θ (1 2 ( 2, θ ] (2.5 (1 2 O intervalo de confiança strap percentil II com coeficiente de confiança 100(1 % é obtido pelos ( ( 2 ésimo e 1 2 ésimo percentis distribuição empírica de b, sendo b = θ b θ b : IC percii (θ,100(1 % = [L I (x;l S (x] = [ ] ( 2% ; (1 2% (2.6 Para verificar se o intervalo de confiança strap-t calculado é confiável, podemos comparálo com o intervalo de confiança percentil. Se o viés for pequeno e a distribuição strap for aproximadamente normal, os dois intervalos irão apresentar valores muito próximos. Segundo Efron e Tibshirani em [5], se o viés e a assimetria estão presentes de forma muito forte é mais recomendável que se utilize os métodos de strap de correção como o método BCPB e o método BC a. Tais métodos fazem correções substânciais, os extremos serão os percentis da distribuição strap ajustados, para corrigir o viés e a assimetria. Para a construção do intervalo de confiança BCPB calculamos a proporção das réplicas strap menores que θ, ou seja encontramos p 0 = P [ θ θ] b,b = 1,2,...,B. Em seguida calculamos o parâmetro de correção do viés que é definido por z 0 = Φ 1 (p 0, sendo Φ(. a função de distribuição acumulada Normal Padrão. Logo teremos B valores de z 0 e utilizamos a média destes valores, denotada por z 0. Fixando um coeficiente de confiança (1 100% para o intervalo encontramos o percentil /2 da distribuição Normal padrão, denotado por z ( 2. As ( correções propostas neste método são: Para o percentil inferior fazemos P I = Φ 2z 0 z ( e ( 2 para o percentil superior temos P S = Φ 2z 0 + z (. Então o intervalo de confiança strap 2 BCPB é dado por: IC BCPB (θ,100(1 % = ( θ (PI, θ (PS. (2.7 O intervalo de confiança BC a é obtido realizando os mesmos passos do cálculo do BCPB sendo ( que as correções para os percentis são dadas por: Para ( o limite inferior fazemos P I = Φ ẑ 0 + ẑ0+z ( ( 2 1 â ẑ 0 +z ( 2 e para o limite superior temos P S = Φ ẑ 0 + ẑ0+z (1 ( 2 há ainda um ajuste feito por meio da constante de aceleração, dada por â = 3 Aplicação 1 â. Note que ẑ 0 +z (1 2 n ( θ ( θ (i 3 i=1 [ n 6 ( θ ( θ (i 2] 3 2 i=1 Foi gerada uma amostra com tamanho n = 15, da variável aleatória X Exp(1/5, portanto sabemos que E(X = 5 e V (X = 25, com o objetivo de testar os métodos strap de estimação por intervalos. Os dados estão apresentados na Tabela 1 e no histograma da Figura Tabela 1: Dados gerados com modelo Exponencial(1/

4 X Figura 1 - Histograma da amostra gerada Exp(1/5 Com base nesta amostra original, foram geradas 2000 amostras strap do mesmo tamanho e aplicadas as técnicas de strap a fim de calcular os intervalos de confiança para a média e para a variäncia desta variável. Todos os cálculos dos intervalos foram obtidos utilizando o software Matlab e os códigos obtidos em [1]. Os resultados foram comparados com o intervalo de confiança tradicional paramétrico, considerando a normalidade assintótica do estimadores de máxima verossimilhança da média e da variância, [2]. Neste caso, se X Exp(β então o estimador de máxima verossimilhança EMV (β = β segue distribuição assintótica Normal com média E( β = β e variânica V ( β = n/β 2. Se estamos interessados nos intervalos de confiança para os estimadores da média e da variância de X, temos que E(X = g(β = 1/β e V (X = h(β = 1/β 2 e pelo princípio da invariância, EMV [g(β] = g( β = 1/ β e EMV [h(β] = h( β = 1/ β 2. Para estimar a variância do estimador da média g( β temos que V [g( β] = [g ( β] 2 /V ( β e para estimar a variância do estimador da variância temos V [h( β] = [h ( β] 2 /V ( β, [2]. Com isso as distribuições assintóticas para os estimadores da média e da variância de X são, respectivamente: 1/ β N ( 1 β, 1 nβ 2 ( 1/ β 2 N 1 4 β, 2 nβ 4 Na Tabela 2 apresentamos os intervalos de confiança para a média e para variância calculados utilizando normalidade assintótica, strap padrão-z, strap-t, strap percentil, BCPB e BC a. Uma forma de se comparar a qualidade dos intervalos é verificar a amplitude (A destes, sendo a probabilidade de cobertura igual para todos. Neste trabalho, consideramos a probabilidade de cobertura igual a 95%. (3.1 Método IC(E(X, 95% A IC(V (X, 95% A Assintótico (3,3922 ; 9,4910 6,10 (0 ; 56, ,78 Boot-z (2,5875 ; 8,0366 5,45 (2,0020 ; 60, ,64 Boot-t (2,4026 ; 8,2215 5,82 (0,0227 ; 62, ,30 Percentil (3,2326 ; 7,7366 I 4,50 (5,9404 ; 53,2078 II 47,27 BCPB (3,0304 ; 8,6513 5,62 (10,4234 ; 69, ,55 BC a (3,5195 ; 10,2543 6,73 (11,4405 ; 76, ,83 Tabela 2: Comparação entre IC assintótico e os IC 4 204

5 Sabemos que para X Exp(1/5 o verdadeiro valor da média é 5 e da variância é 25. As estimativas pontuais para média e variância, calculadas a partir da amostra original são X = 5,312 e S 2 = 31,17 com V (X = 2,08 e dp(x = 1,44. A estimativa pontual para a média calculada por strap, como esperado, não é muito diferente θ ( = 5,308. O interessante é notar que a estimativa da variabilidade deste estimador é menor, isto é, o desvio padrão strap é dp ( θ = 1, 39. No caso da estimativa pontual para a variância calculada por strap, temos os valores V =28,98 e dp (V = 14,88. A estimativa strap do viés para a média é viés ( θ = 0, 004 considerado pequeno (< 0,25 dp[ viés ( θ ] = 0, Além disso temos que a distribuição strap da média apresenta forma aproximadamente simétrica, como vemos no histograma da Figura 2. Esses resultados indicam que o método strap percentil I é adequado para essa aplicação e apresenta intervalo com a menor amplitude. No caso da variância, temos viés = 2,19 que não é tão pequeno e não há simetria na distribuição do estimador, ver Figura 2. Isso indica que o método percentil do tipo II é mais adequado para o cálculo de intervalos de confiança para a variância. Vemos na Tabela 2 que ao comparar a amplitude do intervalo assintótico para a média com as amplitudes dos intervalos calculados por strap, observamos que apenas o intervalo calculado com o método BC a apresenta amplitude maior que o assintótico, todos os outros apresentam amplitudes menores e essa é uma propriedade interessante do ponto de vista prático. A amplitude dos intervalos para variância não são menores, com exceção do intevalo percentil tipo II média strap S 2 strap Figura 2: Histogramas distribuições strap da média e da variância de X 4 Conclusão O método computacional strap mostra-se eficiente ao estimar os intervalos de confiança. A amplitude dos intervalos strap, em geral são menores em relação aos intervalos assintóticos. A estimativa da variabilidade pode ser calculada facilmente para qualquer estimador, sem restrições. Dentre os intervalos de confiança strap existem intervalos de confiança que apresentam melhores resultados, ou seja é possível estabelecer o intervalo de confiança strap adequado para cada tipo de situação dependendo do tipo de distribuição, da magnitude do viés e da forma da distribuição (simetria ou assimetria do estimador do parâmetro estudado. Referências [1] Borkowski, J. Notas de curso, disponível em [2] Bickel, P. J. and Doksum, K. A. Mathematical Statistics - Basic Ideas and Selected Topics,

6 [3] Davison, A.C. and Hinkley, D.V. strap methods and their application, Cambridge University Press, [4] Diaconis, P. and Efron, B. Computer-intensive methods in statistics. Sci. Amer , [5] Efron, B. and Tibshirani, R. An Introduction to the strap. Chapman and Hall, New York,

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