Markov Switching Models. Profa. Airlane Alencar. Depto de Estatística - IME-USP. lane. Ref: Kim e Nelson (1999) e Hamilton (1990)

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1 Markov Switching Models Profa. Airlane Alencar Depto de Estatística - IME-USP lane Ref: Kim e Nelson (1999) e Hamilton (1990) 1

2 Objetivo Mudança nos parâmetros de um modelo de regressão definindo diferentes regimes. Datas conhecidas - Teste de Chow (1960); Quandt (1972): Regimes independentes; Goldfeld e Quandt (1973) - Regimes Markovianos; Hamilton (1989) - Mudança Markoviana no modelo AR(p). 2

3 Modelo com mudança de regime y t = x t β St + e t, (1) em que: 1. x t é um vetor de variáveis exógenas 1 k; 2. S t define o regime; 3. e t iid N(0, σs 2 t ). Consideremos dois regimes S t = 0, β St = β 0 (1 S t ) + β 1 S t ; 2. σs 2 t = σ0(1 2 S t ) + σ1s 2 t. A função log-verossimilhança é 3

4 ln L = = T lnf(y t ỹ t 1 ) t=1 [ T 1 ln t=1 S t =0 ] f(y t S t, ỹ t 1 )P (S t ỹ t 1 ) 4

5 Regimes independentes Probabilidades de cada regime dependentes de Z usando a função de ligação logística: P (S t = 1 ỹ t 1 ) = p t = exp(γ 0 + Z t γ 1 ) 1 + exp(γ 0 + Z t γ 1 ) 1 P (S t = 0 ỹ t 1 ) = 1 p t = 1 + exp(γ 0 + Z t γ 1 ) ou usando alguma outra função de ligação, como por exemplo a probit, que facilita a obtenção da posteriori usando inferência bayesiana. 5

6 Transição Markoviana P (S t = 1 S t 1 = 1, ỹ t 1 ) = p t = exp(γ 0 + Z t γ 1 ) 1 + exp(γ 0 + Z t γ 1 ) P (S t = 1 S t 1 = 0, ỹ t 1 ) = q t = exp(δ 0 + Z t δ 1 ) 1 + exp(δ 0 + Z t δ 1 ) 6

7 Filtro de Probabilidades Passo 1 P (S t = j ỹ t 1 ) = 1 P (S t = j S t 1 = i)p (S t 1 = i ỹ t 1 ) i=0 Passo 2 - Atualização P (S t = j ỹ t ) = f(s t = j, y t ỹ t 1 ) f(y t ỹ t 1 ) = = f(y t S t = j, ỹ t 1 )P (S t = j ỹ t 1 ) 1 j=0 f(y t S t = j, ỹ t 1 )P (S t = j ỹ t 1 ) Para iniciar o filtro tem que inicializar P (S 0 ỹ 0 ), por exemplo usando a probabilidade invariante no caso de cadeia estacionária. 7

8 Exemplo - AR(1) y t µ St = φ(y t 1 µ St 1 ) + e t, t = 1,..., T e t N(0, σ 2 S t ) S t = 1,..., M. Agora a densidade de y t depende de S t e S t 1 1 f(y t ỹ t 1, S t, S t 1 ) = exp [ 2πσ (y t µ St φ(y t 1 µ St 1 )) 2 ] 2 2σS 2 t St 8

9 e ln L = = T lnf(y t ỹ t 1 ) t=1 T ln M M f(y t S t, S t 1, ỹ t 1 )P (S t, S t 1 ỹ t 1 ) t=1 S t =1 S t 1 =1 9

10 Filtro de Probabilidades Passo 1 P (S t = j, S t 1 = i ỹ t 1 ) = P (S t = j S t 1 = i)p (S t 1 = i ỹ t 1 ) Passo 2 - Atualização P (S t = j, S t 1 = i ỹ t ) = = f(s t=j,s t 1 =i,y t ỹ t 1 ) f(y t ỹ t 1 ) = f(y = t S t =j,s t 1 =i,ỹ t 1 )P (S t =j,s t 1 =i ỹ t 1 ) M j=1 f(y t S t =j,s t 1 =i,ỹ t 1 )P (S t =j,s t 1 =i ỹ t 1 ) M i=1 Para iniciar o filtro tem que inicializar P (S 0 ỹ 0 ). 10

11 Suavização e EM A variância assintótica dos estimadores de máxima verossimilhança podem ser obtidos utilizando-se o inverso da matriz informação de Fisher (estimada usando a matriz hessiana no ponto de máximo). O algoritmo de suavização proposto por Kim permite obter uma aproximação para P (S t = j ỹ T ). Pode ser utilizado o algoritmo EM para realizar a estimação, escrevendo-se a log-verossimilhança completa, ou seja, usando a densidade das observações e as variáveis não observadas que nesse caso são os regimes. 11

12 Hamilton - GDP Hamilton (1989) modelou o crescimento do PIB real como um modelo AR(4) com dois regimes para a média. A seguir, y t é o log do PIB real. 12

13 Log do PIB real mar/52 mar/54 mar/56 mar/58 mar/60 mar/62 mar/64 mar/66 mar/68 mar/70 mar/72 mar/74 mar/76 mar/78 mar/80 mar/82 mar/84 mar/86 mar/88 mar/90 mar/92 mar/

14 Modelo ( y t µ St ) = φ 1 ( y t 1 µ St 1 ) φ 4 ( y t 4 µ St 4 ) + e t e t N(0, σ 2 ) µ St = µ 0 (1 S t ) + µ 1 S t P (S t = 1 S t 1 = 1) = p, P (S t = 0 S t 1 = 0) = q Modelo estacionário, sujeito a φ(b) = (1 φ 1 B... φl 4 ) = 0 com raízes fora do círculo unitário. É possível distinguir dois regimes: recessão e expansão (média negativa e positiva para o crescimento do PIB real) 14

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17 Quando Kim e Nelson incluíram os dados de 1985 a 1995, o modelo não consegue detectar dois regimes. Por isso, foi proposto o modelo para as médias: µ St = (µ 0 + µ 0S t )(1 D t ) + (µ 1 + µ 1D t )S t, com D t igual a 1 no período 1983:I-1995:III e zero no período anterior. 17

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19 Modelo Threshold Auto-regressivo TAR y t = µ 1 + φ 1 y t 1 + u 1t, se s t k < r µ 2 + φ 2 y t 1 + u 2t, se s t k r SETAR = Self-exciting TAR µ 1 + φ 1 y t 1 + u 1t, se y t k < r y t = µ 2 + φ 2 y t 1 + u 2t, se y t k r Tem que estimar µ 1, µ 2, φ 1, φ 2, k, r e as variâncias de u it. 19

20 Estimação: máxima verossinilhança e r, k estimados por grid search. Pode ter mais que dois regimes e diferentes variáveis para definir os regimes. Pode ser usado algum critério tipo AIC para escolher o melhor modelo. 20

21 Dados simulados de 0, 2y t 1 + 0, 5e t, se y t 1 > 0, 5 y t = 0, 8y t 1 + e t, se y t 1 0, 5 21

22 y = 0.787x R² = y t 3 2 y = 0.479x R² = y t regime 1 regime

23 Valores verdadeiros e estimativas obtidas pelo método de Máxima Verossimilhança parâmetros verdadeiro estimativa φ φ q σ σ r

24 reg1 série 24

25 Referências [1] Kim, C. J. e Nelson, C. R. (1999). State-space models with regime switching. MIT Press. [2] Hamilton, J. D. (1994). Time series analysis. Princeton, N.J.: Princeton University Press. [3] Tong, H. (1990). Non-Linear Time Series: A Dynamical System Approach. New York: Oxford University Press. 25