Séries de Tempo. José Fajardo. Agosto Fundação Getulio Vargas-EBAPE. José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

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1 Séries de Tempo José Fajardo Fundação Getulio Vargas-EBAPE Agosto 2011 José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

2 Definição de esperança não condicional ou incondicional Considere o espaço amostral Ω e a a variável aleatória Y. A esperança não condicional será. Lei das expectativas totais: E (y Ω) = E (y). E [E (y Ω)] = E (y Ω) = E (y). Exemplo: Considere X a matriz de variáveis explicativas e ε i uma perturbação aleatória. Assuma que E (ε i X ) = 0. Então, da lei das expectativas totais resulta que: E E (ε i X ) = E (ε i ) = 0. }{{} =0 José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

3 Definição de esperança não condicional ou incondicional: continuação Seja I todos os subconjuntos de Ω, sobre o qual y está definido. Considere os conjuntos A, B I, então pela lei das expectativas iteradas: E [E (y A B) A] = E (y A). Conseqüência: Se x X, qual a esperança incondicional do produto xε i? E (xε i ) = E [E (xε i X )] = E [xe (ε i X )] = 0. José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

4 Aplicação a séries temporais Cronologia das observações é fundamental e não pode ser quebrada. Logo, o conjunto de informação de um agente no período t é maior que no período t 1: Exemplo com AR (1) : I I t I t 1 I 0 Ω. y t = c + φy t 1 + ε t, em que E (ε t I t 1 ) = 0. A esperança de y t+2 condicional à informação I t+1 é: E (y t+2 I t+1 ) = c + φe (y t+1 I t+1 ) = c + φy t+1. (1) A esperança não condicional é: E (y t+2 ) = c + φe (y t+1 ). Nada garante que E (y t+2 ) = E (y t+1 ). José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

5 Exemplo com números Considere a Figura 1, em que se desenha a evolução de y t ao longo de três datas. Figura: Exemplo José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

6 Exemplo com números Considere a Figura 1, em que se desenha a evolução de y t ao longo de três datas. Figura: Exemplo José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

7 Exemplo com números Considere a Figura 1, em que se desenha a evolução de y t ao longo de três datas. Figura: Exemplo José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

8 Exemplo com números: continuação No ponto t = 1, a esperança condicional se diferencia claramente da incondicional, pois dependerá de onde se encontra y, ou em y1 a ou em y1 b: E (y 2 I 1 = y1 a = 2 0, , 4 = 2, 8; ( ) E y 2 I 1 = y1 b = 3 0, , 5 = 4; E [E (y 2 I 1 )] = 2, 8 0, , 3 = 3, 16 = E (y 2 ). A última linha mostra que a esperança da esperança condicional é igual à esperança incondicional. Sabendo-se que prevalece a esperança condicional tomada sob o conjunto com informação mais limitada, então o conjunto de informação da média incondicional é mais limitado que o da média condicional. José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

9 Consolidando a conclusão anterior Veja que: E (y t+2 I t ) = c + φe (y t+1 I t ). O que acontece quando se toma a esperança de E (y t+2 I t+1 ) condicional a um conjunto de informação contido em I t? E [E (y t+2 I t+1 ) I t ] = c + φe [E (y t+1 I t+1 ) I t ] = c + φe (y t+1 I t ). Logo: Portanto: E [E (y t+2 I t+1 ) I t ] = E (y t+2 I t ). E [E (y t+2 I t+1 )] = E (y t+2 ). José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

10 Motivação Seja um processo auto-regressivo simples: y t = φy t 1 + ε t, ε t i.i.d. ( 0, σ 2), em que i.i.d. significa idêntica e independentemente distribuído. Suponha que y t represente a inflação. Inflação inercial: φ = 1. Teste por MQO: H 0 : φ = 1 H 1 : φ < 1. Em séries temporais, esse tipo de estimação pode gerar sérios problemas. Problema principal: calcular os momentos incondicionais E (y t ) = φe (y t 1 ) + E (ε t ). Assuma que E (y t ) = E (y t 1 ). Do contrário, E (y t ) = E (y t 1 ) e não se poderiam estimar os momentos da série por falta de dados. Nessas condições: E (y t ) = 0. José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

11 Motivação: continuação Outro problema fundamental surge no cálculo da variância: var (y t ) = φ 2 var (y t 1 ) + var (ε t ) + 2φcov (y t 1, ε t ). Como ε t i.i.d., então cov (y t 1, ε t ) = 0. Admitindo que a série é gerada pelo mesmo processo, var (y t ) = var (y t 1 ), conclui-se que: var (y t ) = σ2 1 φ 2. Se φ > 1, a variância de y t seria negativa, o que é um absurdo. Se φ = 1, a variância de y t é infinita, o que impossibilita a inferência estatística. Conclusão: é necessário estabelecer restrições sobre a série temporal para que se possa estimá-la. Em particular, uma condição necessária para estimar a série é que φ < 1. José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

12 PROCESSOS ESTOCÁSTICOS Observa-se {y 1, y 2,..., y T }, decorrente de uma variável aleatória Y. A série observada é uma possível realização do processo estocástico gerador dos dados. Na Figura 2 há duas possibilidades de seqüências. Figura: Real vs. Virtual José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

13 PROCESSOS ESTOCÁSTICOS: Continuação É possível gerar artificialmente as várias seqüências de realizações de um processo estocástico por meios computacionais. Suponha que se queiram gerar S seqüências, cada uma com infinitas observações, como se houvesse S diferentes regiões geográficas. Então, ter-se-ía um conjunto com as seguintes seqüências: ( { } y (1) { t, t= } y (2) t t=,..., { } y (S) t t= Em cada instante de tempo t, há S estados da natureza. Se fosse possível selecionar as{ S observações associadas } à data t, ter-se-ia o conjunto de dados y (1) t, y (2) t,..., y (S) t, cuja distribuição, por construção, é normal. E, poder-se-iam estimar os vários momentos da série. ). José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

14 PROCESSOS ESTOCÁSTICOS: Continuação Formalmente, a esperança não condicional da variável aleatória y t é: E (y t ) em que plim é o limite de probabilidade. S 1 y t f yt (y t ) dy t = p lim S S y (s) t, s=1 Exemplo: Calcule a esperança incondicional de Y, sendo ε t N ( 0, σ 2) e y t = µ + ε t, µ R: E (y t ) = µ + E (ε t ) = µ. Se, por outro lado, fosse especificado que y t = δt + ε t, então: E (y t ) = δt. José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

15 AUTOCOVARIÂNCIA E AUTOCORRELAÇÃO A função de autocovariância é definida como: [ )] γ jt E (y t µ t ) (y t j µ t j = S 1 ( ) ( ) = p lim S S y (s) t µ t y (s) t j µ t j. s=1 Sejam ε t i.i.n ( 0, σ 2) e y t = µ + ε t, então: ) { σ γ jt = E (y t µ t ) (y t j µ t j = E (ε t ε t j ) = 2, j = 0 0, j = 0. A variância é dada por γ 0t. Observe que as variâncias não condicionais de y t = µ + ε t e y t = δt + ε t são idênticas. A autocorrelação: ρ jt γ jt γ 0t. José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

16 ESTACIONARIDADE Estacionaridade permite proceder a inferências estatísticas sobre os parâmetros estimados com base na realização de um processo estocástico. O processo estocástico, ou a série temporal, {y t, t Z}, Z = {0, ±1, ±2,...} é fracamente estacionário se: a E y t 2 < ; b E (y t ) = µ, para todo t Z; e c E (y t µ) (y t j µ) = γ j. A condição necessária para estacionaridade fraca é que as raízes da equação característica estejam fora do círculo unitário. José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

17 ESTACIONARIDADE ESTRITA O processo estocástico, ou a série temporal, {y t, t Z}, Z = {0, ±1, ±2,...} é estritamente estacionário se a função distribuição conjunta de {y ti } k i=1 for igual à função de distribuição conjunta de {y ti +h} k i=1, h Z, isto é: F (y t1, y t2,..., y tk ) = F (y t1 +h, y t2 +h,..., y tk +h). A estacionaridade estrita não implica nem é implicada pela estacionaridade fraca. Exemplo: distribuição de Cauchy pode definir uma série estritamente estacionária, mas não será uma série estacionária, já que seu momento de primeira ordem não é bem definido. José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

18 ESTACIONARIDADE ESTRITA Em resumo, estacionaridade se associa vagamente a estacionaridade estrita e vice-versa: 1 Estacionaridade forte estacionaridade. Nada garante que existam momentos finitos e, se existirem, se são iguais ou independentes de t; 2 Estacionaridade estacionaridade forte. Nada garante que não haja alteração de distribuição por translação temporal; 3 Estacionaridade + normalidade = estacionaridade forte. A distribuição não se alterará por translação temporal. Estacionaridade estrita é uma propriedade mais forte que distribuição idêntica, contudo é mais fraca que distribuições independentes e identicamente distribuídas. Seqüências i.i.d. são estritamente estacionárias, mas seqüências estritamente estacionárias não precisam ser necessariamente independentes. José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

19 ERGODICIDADE Ergodicidade permite usar uma série temporal para calcular as médias em cada instante de tempo. Como as médias são todas iguais, basta uma única realização da série para viabilizar o cálculo. A média temporal dessa realização é dada por: y (s) = 1 T T y (s) t. t=1 Se y convergir para E (y t ), existe ergodicidade. Um processo fracamente estacionário é ergódico para o primeiro momento se: ( E y (s)) 1 p lim T T T y (s) t t=1 1 = p lim S S S y (s) t E (y t ). s=1 Prova-se que {y t } é ergódico para a média se a soma das covariâncias for finita: j=0 γ j <. (2) José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

20 ERGODICIDADE: observações Ergocidade é mais restrita que estacionaridade. Exemplo: (Hamilton, 1994) Seja a realização de um processo estocástico { y i t } t=, cuja média é dada por µi N ( 0, λ 2). Considere: y s t = µ s + ε t, µ s ε t i.i.n ( 0, σ 2). Perceba que: µ t = E (µ s + ε t ) = 0; γ 0t = E (µ s + ε t ) 2 = λ 2 + σ 2 ; γ jt = E (µ s + ε t ) (µ s + ε t j ) = λ 2, j = 0. {yt s } t= satisfaz a definição de estacionaridade fraca. Contudo, a média temporal dessa variável não converge para zero: 1 T T t=1 (µ s + ε t ) = µ s + 1 T T P ε t µs = 0. t=1 José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

21 RUÍDO BRANCO Seja uma seqüência {ε t } t= de variáveis aleatórias. Se: E (ε t = 0, t; E ( ε 2 ) t = σ 2, t; E (ε t ε t j ) = 0, todo j = 0, diz-se que o processo é um ruído branco, cuja representação é RB ( 0, σ 2). Um ruído branco é, ao mesmo tempo, temporalmente homogêneo, estacionário, e sem memória, no sentido de ser um processo em que a dependência temporal, se existe, está impĺıcita na série. Uma série ε t i.i.d. ( 0, σ 2) certamente é um ruído branco, entretanto nem todo ruído branco é i.i.d., não obstante satisfaça as condições da definição. Séries independentes como ε t implicam que E (ε t ε t j ) = 0, mas não são implicadas por essa condição. Independência é uma propriedade mais forte do que autocovariância nula. José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

22 MÉDIA MÓVEL (MA) Considere o seguinte processo estocástico: y t = µ + ε t + θε t 1, em que ε t é um ruído branco, conforme definido anteriormente. Se y t depende de ε t e ε t 1, então o processo é chamado de médias móveis de ordem 1 e denotado como MA (1). Se dependesse de ε t 2, seria chamado de MA (2). Mas, y t satisfaz estacionaridade? É preciso calcular a esperança, a variância e as autocovariâncias do processo. Os cálculos a seguir fazem isso. José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

23 E (y t ) = µ + E (ε t ) + θe (ε t 1 ) = µ; Var (y t ) = E (y t µ) 2 = E (ε t + θε t 1 ) 2 = = E ( ε 2 t + 2θε t ε t 1 + θ 2 ε 2 t 1) = = σ θ 2 σ 2 = ( 1 + θ 2) σ 2 ; E [(y t µ) (y t 1 µ)] = E [(ε t + θε t 1 ) (ε t 1 + θε t 2 )] = = E ( ε t ε t 1 + θε t ε t 2 + θε 2 t 1 + θ 2 ) ε t 1 ε t 2 = = σ 2 θ. José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

24 A esperança é constante e finita para cada t. A variância é finita. A autocovariância não depende de t. E as outras autocovariâncias são nulas: 0 = E [(y t µ) (y t j µ)] = E [(ε t + θε t 1 ) (ε t j + θε t j 1 )] = = E ( ε t ε t j + θε t ε t j 1 + θε t 1 ε t j + θ 2 ε t 1 ε t j 1 ), j > 1. Como a esperança e as autocovariâncias não são funções do tempo, o processo é fracamente estacionário, independentemente do valor de θ. A condição dada pela equação (2) também é satisfeita, gerando um processo ergódico: γ j = [( 1 + θ 2) + θ ] σ 2 <. j=0 A autocorrelação só existe para a primeira defasagem e é dada por: ρ 1 = θσ 2 ( 1 + θ 2 ) σ 2 = θ 1 + θ 2. José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

25 Três processos simulados de médias móveis de ordem. Figura: Processos MA (1) com vários valores para θ. José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

26 MÉDIAS MÓVEIS DE ORDEM q - MA (q) Processo de médias móveis para q defasagens: y t = µ + q j=0 θ j ε t j, θ 0 = 1. Observe que esse processo satisfaz estacionaridade. E (y t ) = µ + q j=0 θ j E (ε t j ) = µ; Var (y t ) = E (y t µ) 2 = E γ j = E ( q ) q θ i ε t i θ i ε t i j = i=0 i=0 ( q ) 2 q θ j ε t j = θ 2 j E ( ε 2 ) t j = σ 2 q θ 2 j ; j=0 j=0 j=0 = E [ θ j ε 2 t j + θ j+1 θ 1 ε 2 t j 1 + θ j+2 θ 2 ε 2 t j θ q θ q j ε 2 t q], j = 1, 2,..., q, José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

27 Para j > q, não haverá ε s em datas comuns. Logo, a esperança será nula: { [θj + θ γ j = j+1 θ 1 + θ j+2 θ θ q θ q j ] σ 2, para j = 1, 2,..., q; 0, para j > q. Example Seja um MA (2), qual é a autocovariância? σ 2 ( 1 + θ θ 2 2), j = 0 σ γ j = 2 (θ 1 + θ 1 θ 2 ), j = 1 σ 2 θ 2, j = 2 0, j > 2. Conseqüentemente, a função de autocorrelação é dada por: 1, j = 0 θ 1 +θ 1 θ 2, j = 1 1+θ ρ j = 2 1+θ 2 2 θ 2, j = 2 1+θ 2 1+θ 2 2 0, j > 2. José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

28 Algumas observações: Remark Quando q =, reescreve-se o processo MA ( ) da seguinte forma: y t = µ + j=0 ψ j ε t j = µ + ψ (L) ε t, em que ψ 0 = 1 e ψ (L) representa a polinomial de ordem infinita dada por ψ (L) = ψ 0 + ψ 1 L + ψ 2 L 2 +. O termo L representa o operador defasagem em que L j y t = y t j. a a No apêndice, encontra-se uma discussão sobre as propriedades desse termo. Remark Se um processo é fracamente estacionário, então j=0 ψ 2 j <. Remark Se j=0 ψ j <, então: j=0 ψ 2 j < e γ j <, o que implica ergodicidade para a média. j=0 José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

29 PROCESSO AUTO-REGRESSIVO DE ORDEM 1 - AR(1) Considere o seguinte processo estocástico: em que ε t é um ruído branco. y t = c + φy t 1 + ε t, Esse processo é estável e tem variância finita, admitindo que φ < 1? Reescrevendo o processo auto-regressivo de ordem 1, pode-se encontrar um MA ( ): y t = c + φy t 1 + ε t = (1 φl) y t = c + ε t = y t = c 1 φ + φ j ε t j = µ + ψ (L) ε t. j=0 em que µ = c 1 φ e ψ (L) = (1 φl) 1 = 1 + φl + φ 2 L 2 + José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

30 Pode-se, então, calcular: E (y t ) = µ + j=0 φ j E (ε t j ) = µ; Var (y t ) = E (y t µ) 2 = E A autocovariância de defasagem j é: ( ) 2 φ j ε t j = j=0 φ 2j E ( ε 2 ) σ 2 t j = j=0 1 φ 2. E [(y t µ) (y t j µ)] = E [( ) ( )] φ s ε t s φ s ε t s j = s=0 s=0 = σ 2 ( φ j + φ j+2 + φ j+4 + ) ( φ j = 1 φ 2 Como a média e as autocovariâncias não são funções do tempo, o processo é fracamente estacionário, independentemente do valor de φ. ) σ 2 José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

31 A Figura 4 mostra quatro processos auto-regressivos. Figura: Processos AR (1) com vários valores para φ José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

32 PROCESSO AUTO-REGRESSIVO DE ORDEM 2 - AR(2) y t = c + φ 1 y t 1 + φ 2 y t 2 + ε t. E (y t ) = c + φ 1 E (y t 1 ) + φ 2 E (y t 2 ) + E (ε t ) = c E (y t ) µ =. 1 φ 1 φ 2 É conveniente reescrevê-lo de outra forma, a fim de tornar alguns cálculos mais fáceis: y t µ = φ 1 (y t 1 µ) + φ 2 (y t 2 µ) + ε t. José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

33 Multiplicando ambos os lados dessa equação por (y t j µ), tomando a esperança, e como (y t j µ) não contém qualquer elemento correlacionado com ε t, se j > 0, tem-se que: E (y t µ) (y t j µ) = φ 1 E (y t 1 µ) (y t j µ) + +φ 2 E (y t 2 µ) (y t j µ) + E [ε t (y t j µ)]. Logo, por definição, encontra-se: γ j = φ 1 γ j 1 + φ 2 γ j 2, j = 1, 2,... Ou seja, a autocovariância segue um processo auto-regressivo de ordem 2. Para calcular a função de autocorrelação, é preciso apenas dividir a equação anterior por γ 0 : ρ j = φ 1 ρ j 1 + φ 2 ρ j 2, j = 1, 2,... Esse conjunto de equações está contido na família mais geral, conhecida como equações de Yule-Walker. José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

34 PROCESSO AUTO-REGRESSIVO DE ORDEM p - AR(P) y t = c + φ 1 y t 1 + φ 2 y t φ p y t p + ε t = c + p j=1 φ j y t j + ε t. ) Se as raízes da polinomial (1 φ 1 z φ 2 z 2 φ p z p estiverem fora do círculo unitário (Hamilton, 1994) ou, equivalentemente, ) se as raízes da polinomial (λ p φ 1 λ p 1 φ 2 λ p 2 φ p estiverem dentro do círculo unitário (veja Enders, 2009), o processo será fracamente estacionário e poderá ser representado como um MA ( ): em que µ = c ψ (L) = 1 (φ 1 +φ 2 + +φ p ) ; y t = µ + ψ (L) ε t, ( 1 φ 1 L φ 2 L 2 φ p L p ) 1. José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

35 Multiplicando por (y t j µ) e tomando a esperança: E (y t µ) (y t j µ)=φ 1 E(y t 1 µ)(y t j µ)+φ 2 E(y t 2 µ)(y t j µ)+ +φ p E (y t p µ) (y t j µ) + E [ε t (y t j µ)], tem-se: { φ1 γ γ j = j 1 + φ 2 γ j φ p γ j p, j = 1, 2,... φ 1 γ 1 + φ 2 γ φ p γ p + σ 2, j = 0. Dado que γ j = γ j, há um sistema de p + 1 equações simultâneas que pode ser resolvido para γ 0, γ 1,..., γ p. Dividindo tudo por γ 0, encontra-se o sistema de equações de Yule-Walker: ρ j = φ 1 ρ j 1 + φ 2 ρ j φ p ρ j p, j = 1, 2,..., p. José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

36 PROCESSO AUTO-REGRESSIVO DE MÉDIAS MÓVEIS - ARMA(p, q) y t = c + p i=1 φ i y t i + q j=0 θ j ε t j. (3) Tomando a esperança incondicional da equação anterior, tem-se: E (y t ) µ = c + p i=1 φ i E (y t i ) = c 1 p i=1 φ. (4) i Subtraindo a equação (4) da equação (3) e aplicando a definição de E (y t ), resulta a seguinte equação: y t = µ + p i=1 em que ψ (L) = 1+ q j=1 θ j L j 1 p i=1 φ i Li. φ i (y t i µ) + q j=0 θ j ε t j = µ + ψ (L) ε t, José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

37 Reescrevendo o processo ARMA em termos dos desvios em relação à média não condicional e multiplicando por (y t h µ), tem-se: (y t µ) (y t h µ) = p i=1 φ i (y t i µ) (y t h µ) + q j=0 Tomando a esperança para h > q, pode-se encontrar um processo auto-regressivo de ordem p, pois E [ε t j (y t h µ)] = 0: θ j ε t j (y t h µ). γ h = φ 1 γ h 1 + φ 2 γ h φ p γ h p, h = q + 1, q + 2,... Se h q, a função de autocovariância torna-se bem complicada, pois há correlação entre ε t j e (y t h µ). José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

38 Example Seja um processo ARMA (1, 1): y t = φ 1 y t 1 + ε t + θ 1 ε t 1. O problema é calcular a autocovariância desse processo. γ 0 = E (φ 1 y t 1 y t + ε t y t + θ 1 ε t 1 y t ) = φ 1 γ 1 + σ 2 + θ 1 (φ 1 + θ 1 ) σ 2 ; γ 1 = E (φ 1 y t 1 y t 1 + ε t y t 1 + θ 1 ε t 1 y t 1 ) = φ 1 γ 0 + θ 1 σ 2 ; γ 2 = E (φ 1 y t 1 y t 2 + ε t y t 2 + θ 1 ε t 1 y t 2 ) = φ 1 γ 1 ;. γ h = E (φ 1 y t 1 y t h + ε t y t h θ 1 ε t 1 y t h ) = φ 1 γ h 1. José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

39 Example Resolvendo as duas primeiras equações simultaneamente, resulta: γ 0 = 1 + θ φ 1 θ 1 1 φ 2 σ 2 ; 1 γ 1 = (1 + φ 1 θ 1) (φ 1 + θ 1 ) 1 φ 2 σ 2 ; 1 γ 2 = φ 1 γ 1 ; γ h = φ h 1 1 γ 1.. José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

40 Para estimar os modelos ARMA, é preciso que as raízes das equações características dos processos AR e MA estejam simultaneamente fora do círculo unitário. Definition Considere o modelo α (L) y t = ε t, em que α (L) = ( 1 α 1 L α 2 L 2 α p L p). O processo é dito estável ou estacionário se α (z) = 0 para todo número complexo, z, satisfazendo z 1. José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

41 Example Seja um AR (1): y t = φy t 1 + ε t. Se ocorrer φ < 1, então também sucede que 1 φz = 0 para todo complexo z, tal que z 1. Ou seja, tentativamente considere φ = 0, 8 e z = 0, 8 < 1, então 1 0, 64 = 0. De fato, para qualquer valor de z, tal que z 1, o resultado é diferente de zero. Agora, suponha que φ = 1, 25 e z = 0, 8 < 1. Nesse caso, 1 1, 25 0, 8 = 0, contrariando a definição. Portanto, a definição implica que as raízes da equação característica estão fora do círculo unitário. José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

42 Obervações Pode existir parametrização redundante com o ARMA. Pegue o processo ruido branco Y t = ε t, multipliquemos ambos lados por (1 ρl): (1 ρl)y t = (1 ρl)ε t Claramente temos um ARMA(1,1) com φ 1 = ρ e θ 1 = ρ. Observe que qualquer valor de ρ descreve igualmente os dados. Como pode ser isto possible? (Exerccio 1a). E no caso ARMA(p,q) que manipulação poderia ser feita?(exerccio 1b). José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

43 FUNÇÃO GERADORA DE AUTOCOVARIÂNCIAS Há uma maneira fácil de encontrar as autocovariâncias quando ela so absolutamente somveis. O truque é usar a função geradora de autocovariâncias, definida por: g y (z) = γ j z j j= As autocovariâncias são representadas pelos coeficientes de z j, em que j é o expoente de z (um escalar complexo) e indica a ordem de defasagem da autocovariância. José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

44 Example Leembremos que num MA (1): γ 0 = ( 1 + θ 2) σ 2 ; γ 1 = θσ 2 ; γ j = 0, j > 1. assim teriamos g y (z) = [θσ 2 ]z 1 + [(1 + θ 2 )σ 2 ]z 0 + [θσ 2 ]z 1 Esta expresso pode ser re-escrita como g y (z) = σ 2 (1 + θz) ( 1 + θz 1) o que sugere, que em geral g y (z) = σ 2 ψ (z) ψ ( z 1), com ψ (L) = 1 + θl para o MA (1) José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

45 Example Seja um AR (1), tal que ψ (L) = 1 1 φl, então: g y (z) = O coeficiente de z j é: σ 2 (1 φz) (1 φz 1 ) = = σ 2 ( 1 + φz + φ 2 z 2 + ) ( 1 + φz 1 + φ 2 z 2 + ). para j = 0 : σ 2 ( 1 + φ 2 + φ 4 + ) = σ2 1 φ 2 ; para j = 1 : σ 2 ( φ + φ 3 + φ 5 + ) = φσ2 1 φ 2 ;. para j = h : σ 2 ( φ h + φ h+1 φ + φ h+2 φ 2 + ) = σ2 φ h 1 φ 2. José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

46 FILTROS Transformações em séries econômicas = filtragem. Por exemplo, deseja-se diferenciá-la de modo a estacionarizá-la. Considere o modelo: y t = (1 + θl) ε t. Suponha que se transforme y da seguinte forma: x t = (1 L) y t = y t. Substituindo a primeira equação nesta última, obtém-se o seguinte MA (2): x t = (1 L) (1 + θl) ε t. A função geradora de autocovariância de x pode ser assim caracterizada: g x (z) = σ 2 (1 z) (1 + θz) ( 1 z 1) ( 1 + θz 1) = = (1 z) ( 1 z 1) g y (z). José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

47 Generalizando, é cabível passar um filtro h (L) na série y, tal que: x t = h (L) y t, em que h (L) = j= h j L j ; e j= h j <. Então, é fácil ver que: g x (z) = h (z) h ( z 1) g y (z). José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

48 INVERTIBILIDADE Similar à idéia de convergência das equações a diferenças, os processos de médias móveis devem ser invertíveis. Isso significa escrever um MA (q) como um AR ( ) se certas condições forem satisfeitas. Seja um processo MA (1): y t µ = ε t + θε t 1 = (1 + θl) ε t. Se θ < 1, pode-se reescrever esse processo da seguinte forma: (y t µ) (1 + θl) 1 = ε t = (y t µ) ( 1 θl + θ 2 L 2 ) = ε t = y t µ = j=1 ( θ) j (y t j µ) + ε t. José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

49 Haverá ( invertibilidade se as raízes características da polinomial 1 + θ1 L + θ 2 L θ q L q) estiverem fora do círculo unitário. Propósitos da invertibilidade: sem ela, a série não poderia ser estimada recursivamente, usando observações passadas; segundo, para haver unicidade de resultados. Para o primeiro ponto, admita que θ > 1. Pode-se inverter a equação da seguinte forma: ( ) (y t µ) (1 + θl) 1 yt µ (θ = θ 1 L 1) = ε L 1 t. O denominador da fração permite a inversão para uma progressão geométrica, pois θ 1 < 1: θε t 1 = (y t µ) ( 1 θ 1 L 1 + θ 2 L 2 θ 3 L 3 + ) = y t µ = j=1 ( θ) j (y t+j µ) + θε t 1. y t depende das observações futuras. Logo, o modelo não pode ser estimado se as raízes do processo MA estiverem dentro do círculo unitário. José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

50 Para entender o segundo ponto considere inicialmente um processo y a t = (1 + θl) ε t. Esse processo possui: var (yt a ) = ( 1 + θ 2) σ 2 ; ρ (1) = θ 1 + θ 2 = 1 1 θ + θ. Considere agora o processo yt b = ( 1 + θ 1 L ) e t, e t RB ( 0, θ 2 σ 2). Esse processo possui: ( ) var yt b = (1 + 1θ ) 2 θ 2 σ 2 = ( 1 + θ 2) σ 2 = var (yt a ) ; ρ (1) = 1 θ = 1 1 θ 2 θ + θ. A conclusão é que as séries y a e y b são indistinguíveis. José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49

51 Equivalentemente, em termos da função geradora de autocovariância, tem-se: desde que se defina g y (z) = σ 2 ( θ z 1 ) ( θ z ) = = σ 2 ( 1 + θz 1) (1 + θz), σ 2 = σ2 θ 2. Ou seja, as funções de autocovariância são idênticas para um processo MA (1) em que y t = ε t + θε t 1 e y t = ε t + 1 θ ε t 1. A que conclusão nos leva isto? José Fajardo (FGV-EBAPE) Fundamentos Estatísticos Agosto / 49