Vetores Auto-Regressivos (VAR) Cristian Rafael Pelizza Estágio de docência

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1 Vetores Auto-Regressivos (VAR) Cristian Rafael Pelizza Estágio de docência

2 Forma estrutural e reduzida O método VAR busca capturar a interdependência entre múltiplas séries de tempo. Estrutura-se equações simultâneas com todas as variáveis sendo endógenas. Desenvolvido inicialmente por Sims (1980). Forma estrutural: Ay t = B 0 + p i=1 B i y t i + ε t Onde a matriz A (n x n), representa as restrições contemporâneas do vetor y t (n x 1). O vetor B 0 n x 1 é um vetor de constantes, B i (n x n) são matrizes associadas aos valores defasados da variável y t, e ε t ~iid N(0, I n σ 2 it ), é um vetor n x 1 de perturbações aleatórias não correlacionadas temporalmente ou contemporaneamente.

3 Forma estrutural e reduzida Exemplo, VAR bivariado de primeira ordem: y t = b 10 a z + b 11 y t 1 + b 12 z t 1 + σ ε z t = b 20 a 21 y t + b 21 y t 1 + b 22 z t 1 + σ ε Em formato Matricial: 1 a a 1 y t z = b 10 + b 11 b 12 y t 1 t b 20 b 21 b 22 z + σ 0 ε t 1 0 σ ε

4 Forma estrutural e reduzida Hipóteses: a) y e z são ambos estacionários b) ε ~RB 0,1 e ε ~RB(0,1) c)cov ε ε = 0 Nesse modelo as variáveis são influenciadas umas pelas outras tanto contemporaneamente como pelos valores defasados. O modelo estrutural não pode ser estimado diretamente pelo fato de que as variáveis contemporâneas são individualmente correlacionadas aos erros. Isso ocorre porque cada variável depende contemporaneamente da outra Efeito feedback. O objetivo do VAR é evitar esse problema, objetivando encontrar a trajetória da variável de interesse ante um choque nesses erros Choque estrutural.

5 Forma estrutural e reduzida Forma reduzida: p y t = A 1 B 0 + i=1 A 1 B i y t i + A 1 ε t = Φ 0 + i=1 Φ i p y t i + e t Onde: Φ 0 = A 1 B 0, Φ i = A 1 B i, e t = A 1 ε t

6 Forma estrutural e reduzida Exemplo VAR bivariado de primeira ordem: φ = 1 a φ a 1 b b = b a b b a b φ φ = 1 a b b = φ φ a 1 b b b a b b a b b a b b a b e e = 1 a a 1 ε ε = ε a ε ε a ε

7 Forma estrutural e reduzida E e = 0 Σ = σ σ σ σ = ( ) ( ) ( ) ( ) Cov e, e = 0

8 Forma estrutural e reduzida A grande questão dos modelos VAR é se, a partir da forma reduzida, se consegue recuperar as informações contidas na forma estrutural. Na forma reduzida os resíduos não serialmente correlacionados, sua esperança é zero, mas são contemporaneamente correlacionados.

9 Especificação Com relação à escolha do número de defasagens do modelo, é necessário que se escolha um número suficiente para tornar o erro um ruído branco. No entanto, como aponta Enders (2004), os modelos VAR já possuem como característica o fato de ser sobreparametrizados, cada modelo irá gerar n 2 + pn coeficientes, dessa forma a escolha de defasagens, via critérios de informação possui um termo que penaliza VAR de grandes ordens.

10 Especificação Ordens maiores, por sua vez, geram uma variância menor, então selecionase um valor de defasagens p que minimiza as seguintes funções (respectivamente critérios de Akaike, Schwartz e Hannan-Quinn): AIC p = ln Σ m + 2 T mn2 BIC p = ln Σ m + lnt HQ p = ln Σ m + lnlnt T T mn 2 2mn 2 Onde mn é o total de parâmetros estimados em todas as equações.

11 Especificação LUTKEPOHL e KRATZIG (2004) comentam que,para amostras com T 16, a seguinte relação acontece: p (BIC) p (HQ) p (AIC) Deseja-se menor valor em módulo de AIC, BIC e HQ possível.

12 Aplicação no R dados = read.csv(file = "C:/Users/Roma/Desktop/Doutorado/Cristian/Aula Var/series.txt", sep="\t") attach(dados) View(dados) install.packages("vars") library(vars) y = dados[1:120, 2:7] layout(matrix(1:4, nrow = 2, ncol = 2)) plot.ts(y$selic.real, main = "Selic", ylab = "", xlab = "") plot.ts(y$spread, main = "Spread", ylab = "", xlab = "") plot.ts(y$inflação, main = "Inflação", ylab = "", xlab = "") plot.ts(y$crelivre, main = "Crédito", ylab = "", xlab = "")

13 Aplicação no R estimação = VAR(y, p = 3, type = "const") summary(estimação) plot(estimação) y.h = fitted(estimação) erro = residuals(estimação) a = Acoef(estimação) View(a) b = Bcoef(estimação) View(b) c = coef(estimação) View(c) VARselect(y, lag.max = 10, type = "const")

14 Aplicação no R o método VAR gera modelos sobreparametrizados, cada estimação com n variáveis irá gerar n + pn 2 parâmetros, onde p é o número de defasagens. O modelo apresentado possui seis parâmetros e com quatro defasagens, por exemplo, implica em cento e cinquenta parâmetros, e dada a presença de colinearidade em muitas das variáveis muitos deles não serão estatisticamente significantes.

15 Testes: Correlação Serial Ljung-Box Hipóteses H : E e e H : E e e = 0 para todo j = 1,2,, J > p 0 para algum j = 1,2,, J > p Estatística do teste: Q = T Onde C = (C C C C ) χ () e e /T d

16 Teste: Correlação Serial Breusch-Godfrey Testar parâmetros da regressão: e = Θ e + Θ e + + Θ e + u Hipóteses: H : Θ = Θ = = Θ = 0 H : Θ 0 Θ 0 Θ 0 Utiliza-se regressão auxiliar: e = Φ X + Φ X + + Φ X + Θ e + Θ e + + Θ e + u

17 Teste: Correlação Serial Breusch-Godfrey Teste LM (Lagrange Multiplier). Estatística - Modelo irrestrito: Σ = Estatística Modelo restrito (assume hipótese nula) Σ = Estatística do teste: LM = T[n tr Σ Σ d ] χ

18 Testes: Normalidade O teste para verificar se os momentos 3 e 4 da série estimada são iguais aos da normal. Sob esta hipótese, a assimetria é igual a zero e a curtose é igual a 3. H : s = s = 0 Segue distribuição chi-quadrado Alternativamente testa-se em conjunto: JB = s + s d χ

19 Aplicação no R ser1 = serial.test(estimação,lags.bg = 10, type = "BG" ) ser2 = serial.test(estimação,lags.pt = 10, type = "PT.asymptotic") plot(ser1) nortest = normality.test(estimação, multivariate.only = TRUE) plot(nortest)

20 Função Impulso-Resposta Como a estimação do Vetor Auto-regressivo é feita através de sua forma reduzida, as informações contidas nas matrizes A e B da forma estrutural acabam não sendo observadas diretamente. Dessa forma, Sims (1980) sugere a imposição de que alguns coeficientes sejam iguais a zero, através de critérios econômicos, limitando assim o efeito feedback. Bueno (2008) apresenta o exemplo de um VAR (1) bivariado, com o coeficiente a 12 = 0. y t = a 10 + b 11 y t 1 + b 12 z t 1 + ε z t = a 20 a 21 y t + b 21 y t 1 + b 22 z t 1 + ε

21 Função Impulso-Resposta Reescrevendo o modelo em formato matricial: y t z = 1 0 a 10 t a 21 1 a a a 21 1 σ 0 ε 0 σ ε b 11 b 12 b 21 b 22 y t 1 z t 1 + É possível assim recuperar informações sobre os parâmetros do modelo estrutural, não observadas na forma reduzida: φ 10 = a 10 ; φ 20 = a 20 a 10 a 21 ; φ 11 = b 11 ; φ 21 = b 21 a 21 b 11 ; φ 12 = b 12 ; φ 22 = b 22 a 21 b 22 ;

22 Função Impulso-Resposta Da mesma forma, é possível encontrar o valor das variâncias e da covariância dos erros estruturais através das suas formas reduzidas: Var(e 1 ) = σ 2 z ; Var e 2 = σ 2 w + a 2 21 σ 2 z ; Cov(e 1, e 2 ) = a σ z A mesma metodologia pode ser aplicada para n variáveis. Assim, a matriz com a restrição assume a forma de uma matriz triangular, a chamada decomposição de Choleski. A parte superior da matriz assume as (n 2 n)/2 restrições, ordenadas de maneira arbitrária através de razões econômicas: 1 0 NA 1

23 Função Impulso-Resposta Um VAR de ordem p pode ser representado como um VMA de ordem infinita, e dessa forma observar como choques nos termos de erro afetam a trajetória das variáveis do modelo, a chamada função impulso-resposta: Com: X = X + Ψ ε X(I Φ ) Φ 1 a Ψ = a 1 De forma que para o VAR bivariado de primeira ordem: X = X + ψ, ψ, ψ, ψ, σ ε σ ε

24 Função Impulso-Resposta os elementos da matriz Ψ i são os multiplicadores de impacto sobre as variáveis endógenas, que somadas à decomposição de Choleski, tornam possível observar graficamente a trajetória da variável endógena ante um choque no erro. Cada elemento ψ ij da matriz de multiplicadores de impacto irá representar um choque sobre as variáveis endógenas. Por exemplo, no caso de um VAR (1) bivariado, o choque de ε zt sobre z t+h é dado pela soma dos coeficientes ψ h,11, h = 0,1,2 h.

25 Aplicação no R Phi(estimação, nstep = 4) Psi(estimação, nstep = 4) impulso = irf(estimação, impulse = "selic.real", response = c("renda.real", "crelivre", "Inflação", "M1"), n.ahead = 36, boot = TRUE) plot(impulso)

26 Decomposição da variância Trata-se de uma forma de descobrir qual a porcentagem da variância do erro de previsão decorre de cada variável endógena ao longo do horizonte de previsão. Inicialmente, temos que um VAR(1) que pode ser escrito com um VMA( ) como segue: X = X + Escrevendo o erro de previsão: X E (X ) = Ψ ε Ψ ε

27 Decomposição da variância Abrindo a equação: y E y = ψ, ε + ψ, ε + + ψ, ε + ψ, ε + ψ, ε + + ψ, ε Disso: σ h = σ ψ, + ψ, + + ψ, + σ ψ, + ψ, + + ψ, Assim é possível decompor a variância entre os componentes: 1 =,,, +,,,

28 Aplicação no R vd1 = fevd(estimação, n.ahead = 4) vd.selic = vd1$selic.real

29 Causalidade de Granger A questão fundamental é saber se o escalar y ajuda a prever o escalar z. Se isso não acontece, diz-se que y não causa no sentido de Granger z. A forma de responder as perguntas é usar um teste F convencional, válido quando os coeficientes de interesse puderem ser escritos de modo a multiplicar as variáveis estacionárias.

30 Causalidade de Granger Etapas: 1) Estima-se: z = φ + φ, y + φ, z + e 2) Hipóteses: H : φ, = φ, = = φ, = 0 H : φ, 0 3) Estatística: S = ( )/ /() ~F p, T 2p 1 Em que os subscritos r representa o modelo restrito e u o modelo irrestrito.

31 Causalidade de Granger Pode-se fazer o mesmo teste em contexto de mais variáveis, e seu nome é teste de BLOCO-EXOGENEIDADE (Enders (2004) sugere o nome de BLOCO-CAUSALIDADE). Estima-se o modelo com e sem restrição e utiliza-se o teste F. Em sistemas com n>2, o teste é mais complicado e requer mais cuidados. O problema que pode acontecer ao não se rejeitar a nula é não perceber a dinâmica mais complicada do modelo, em que uma variável, apesar de não causar diretamente a outra (por exemplo, y2t não Granger-causa y1t), pode causá-la indiretamente. Isso ocorrerá quando y2t causar y3t que, por sua vez, causa y1t.

32 Aplicação no R causality(estimação, cause = "selic.real")

33 Referências Básico: BUENO, R. de L da S (2008), Econometria de Séries Temporais, CENGAGE, São Paulo. ENDERS, W. (2004), Applied Econometric Time Series, John Wiley & Sons, Nova York. Avançado: Hamilton, J. (1994), Time Series Analysis, Princeton University Press, Princeton. Lütkepohl, H. (2006), New Introduction to Multiple Time Series Analysis, Springer, New York.