Econometria IV Modelos Lineares de Séries Temporais. Fernando Chague

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1 Econometria IV Modelos Lineares de Séries Temporais Fernando Chague 2016

2 Estacionariedade

3 Estacionariedade Inferência estatística em séries temporais requer alguma forma de estacionariedade dos dados Intuição: se a média de uma variável em cada subperíodo for igual, podemos almejar uma estimativa precisa com a amostra inteira Muitas vezes, podemos aplicar uma transformação conveniente nos dados Preços não são estacionários, mas retornos são estacionários Definição: A série temporal {r t } é fracamente estacionária se 1. E (r t ) = µ para todo t; e 2. E (r t µ)(r t j µ) = γ j <.

4 Autocorrelação A correlação entre duas variáveis é dada por: ρ x,y = cov (x,y) var (x),var (y) Um estimador da correlação entre duas variáveis é: T t=1 (x t x)(y t y) ˆρ x,y = T t=1 (x t x) 2 T t=1 (y t y) 2 onde x = T t=1 x t /T e y = T t=1 y t /T

5 Autocorrelação De maneira análoga, a autocorrelação é definida por: ρ k = Cov (x t,x t k ) var (xt )var (x t k ) = Cov (x t,x t k ) γ k var (x t ) γ 0 onde var (x t k ) = var (x t ) e Cov (x t,x t k ) = γ k devido a estacionariedade fraca E um estimador natural é: ˆρ k = T t=k+1 (x t x)(x t k x) T t=1 (x t x) 2, 0 k < T 1

6 Autocorrelação ˆρ k = T t=k+1 (x t x)(x t k x) T t=1 (x t x) 2, 0 k < T 1 Opção 1: Se {x t } é uma sequência de variáveis aleatórias iid, com E ( xt 2 ) <, então ( ˆρ k N 0, 1 ) T Opção 2: Se {x t } é fracamente estacionária tal que x t = µ + q i=0 ψ ia t i, ψ 0 = 1 e {a j } é uma sequência de variáveis aleatórias iid com média zero então para k > q ( ˆρ k N 0, 1 + ) 2 q i=1 ρ2 i T

7 Autocorrelação Com base na distribuição assintótica de ˆρ k, podemos testar para cada k: H 0 : ρ k = 0 vs H a : ρ k 0 com base na distribuição ˆρ k t = (1 + 2 q ) N (0,1) i=1 ˆρ2 i /T Teste de autocorrelações conjunto até ordem m (Ljung-Box,1978): H 0 : ρ 1 =... = ρ k = 0 vs H a : ρ i 0 para algum i {1,...,m} com base na distribuição Q (m) = T (T + 2) m l=1 ˆρ 2 l T l χ2 m

8 Séries de Tempo Lineares Ruído Branco (White Noise): A série temporal r t é um ruído branco se {r t } é uma sequência iid ( µ,σ 2) com µ < e σ 2 <. Seja {ε t } uma sequência iid com ε t (0,1), podemos representar r t por: r t = µ + σε t Todas FACs são iguais a zero Ruído Branco Gaussiano (Gaussian White Noise): A série temporal r t é um ruído branco gaussiano se ε t N (0,1)

9 Séries de Tempo Lineares Série de Tempo Linear: Uma séria temporal r t é dita linear se pode ser escrita como: r t = µ + i=0 ψ i ε t i onde {ε t } é sequência iid com ε t ( 0,σ 2 ε ) e ψ0 = 1 Observações: 1. A dinâmica temporal é dada pelos coeficientes ψ 2. Se r t é fracamente estacionário, temos que: E (r t ) = µ e Var (r t ) = σ 2 ε ψi 2 i=0 3. Como r t é fracamente estacionário, i=0 ψ 2 i < e portanto ψ 2 i 0

10 Séries de Tempo Lineares 4. Portanto, choques longínquos tem pouco impacto: [( )( )] γ l = Cov (r t,r t l ) = E ψ i ε t i ψ i ε t l i i=0 j=0 [ ] = E ψ i ψ j ε t i ε t l j = = σ 2 ε 5. A função de autocorrelação será: para l 0 i,j=0 j=0 j=0 ψ j+l ψ j E [ εt l j 2 ] ψ j+l ψ j ρ l = γ l γ 0 = i=0 ψ iψ i+l 1 + i=0 ψ2 i

11 Modelos Autoregressivos Modelo Autoregressivo de Ordem 1 - AR(1): Uma série temporal r t é uma série AR(1) se: r t = φ 0 + φ 1 r t 1 + ε t onde {ε t } é sequência iid com ε t ( 0,σε 2 ) Observações 1. Momentos condicionais. E (r t r t 1 ) = φ 0 + φ 1 r t 1 e Var (r t r t 1 ) = σ 2 ε

12 Modelos Autoregressivos 2. Média não-condicional. Note que E (r t ) = φ 0 + φ 1 E (r t 1 ). Se r t é fracamente estacionário, temos que E (r t ) = E (r t 1 ) = µe: E (r t ) = µ = φ 0 1 φ 1 3. (Linearidade) Substitutindo φ 0 = (1 φ 1 ) µ temos que r t µ = φ 1 (r t 1 µ) + ε t e portanto: r t µ = ε t + φ 1 ε t 1 + φ 2 1 ε t r t = µ + i=0 φ i 1ε t i 4. (Estacionariedade) Para garantir estacionariedade fraca, precisamos ter que 1 < φ 1 < 1

13 Modelos Autoregressivos 5. Variância não-condicional. Como E (r t 1 ε t ) = 0 temos que Var (r t ) =φ 2 1 Var (r t 1) + σ 2 ε. Como r t é estacionário: com φ 2 1 < 1 σ 2 ε Var (r t ) = 1 φ1 2

14 Modelos Autoregressivos 6. Covariâncias. Multiplicando r t µ = φ 1 (r t 1 µ) + ε t por ε t temos: E [(r t µ)ε t ] = φ 1 E [(r t 1 µ)ε t ] + E [ εt 2 ] = 0 + σ 2 ε Multiplicando r t µ = φ 1 (r t 1 µ) + ε t por r t l µ temos: γ l = E [(r t µ)(r t l µ)] = φ 1 E [(r t 1 µ)(r t l µ)] + E [ε t (r t l µ)] = φ 1 γ l 1 Generalizando, temos: γ l = { σ 2 ε 1 φ sel = φ 1 γ l 1 sel > 0

15 Modelos Autoregressivos 7. Correlações (FACs). A Função de Autocorrelações é dada por ρ l = γ l γ 0 = φ 1 ρ l 1 para l 0.Como ρ 0 = 1, temos ρ l = φ l 1. Ou seja, ρ l decae exponencialmente em l.

16 Modelos Autoregressivos Modelo Autoregressivo de Ordem p - AR(p): Uma séria temporal r t é uma série AR(p) se: r t = φ 0 + φ 1 r t φ p r t p + ε t onde {ε t } é sequência iid com ε t ( 0,σε 2 ) Observações 1. Média não-condicional. φ 0 E (r t ) = µ = 1 φ 1...φ p 2. (Estacionariedade) A série será estacionária se as raízes do polinômio forem maiores em módulo do que 1: 1 φ 1 x φ 2 x 2... φ p x p = 0

17 Modelos Autoregressivos 3. Covariâncias. As auto-covariâncias de um processo AR(p) são iguais a: { φ 1 γ 1 + φ 2 γ φ p γ p + σε 2 sel = 0 γ l = φ 1 γ l 1 + φ 2 γ l φ p γ l p sel > 0 Note que como γ l = γ l, temos um sistema de p + 1 equações em p + 1 γ s que pode ser resolvido para obter expressões explícitas 4. Correlações (FACs). A Função de Autocorrelações é dada por para l 1. ρ l = φ 1 ρ l 1 + φ 2 ρ l φ p ρ l p

18 Modelos Autoregressivos Como estimar modelo AR(P) 1. Especificação: definir p 2. Estimar parâmetros do modelo: OLS 3. Verificar resíduos: ˆε t deve ser um ruído branco

19 Modelos Autoregressivos 1. Especificação: definir p Função de Autocorrelação Parcial (PACF): É definida pelos coeficientes { ˆφ 1,1, ˆφ 2,2, ˆφ 3,3, ˆφ 4,4...} estimados de acordo com as seguintes equações: x t = φ 0,1 + φ 1,1 x t 1 + e 1,t x t = φ 0,2 + φ 1,2 x t 1 + φ 2,2 x t 2 + e 2,t x t = φ 0,3 + φ 1,3 x t 1 + φ 2,3 x t 2 + φ 3,3 x t 3 + e 3,t x t = φ 0,4 + φ 1,4 x t 1 + φ 2,4 x t 2 + φ 3,4 x t 3 + φ 4,4 x t 4 + e 4,t Observações:. 1. ˆφ p,p φ p para T grande 2. ˆφ l,l 0 para T grande e l > p 3. A variância assintótica de ˆφ l,l é 1/T para l > p

20 Modelos Autoregressivos 1. Especificação: definir p Critérios de Informação: Seleciona a defasagem de acordo com a aderência do modelo aos dados, medida por alguma das funções: AIC (l) = 2 T LLF (l) + 2 T BIC (l) = 2 T LLF (l) + 2 T (# parameters) ln(# parameters) onde LLF (l) é a função de log-verossimilhança do modelo AR (l) avaliada no ponto máximo Observações: 1. Como LLF (l) é multiplicado por -1, escolhe-se modelo com menor AIC/BIC 2. BIC pune mais (desconta menos) modelos com mais parâmetros

21 Modelos Autoregressivos Modelo de Média Móvel de Ordem 1: uma série temporal r t é uma série MA(1) se: r t = µ + ε t + θ 1 ε t 1 onde {ε t } é sequência iid com ε t ( 0,σε 2 ) Observações 1. Média não-condicional. E (r t ) = µ 2. Variância não-condicional.var (r t ) = σ 2 ε + θ 2 1 σ 2 ε = ( 1 + θ 2 1 ) σ 2 ε 3. Autocorrelação.A Função de Autocorrelações é dada por ρ 0 = 1, ρ 1 = θ 1 ( 1 + θ 2 1 ) e ρ l = 0, paral > 1

22 Modelos Autoregressivos Modelo de Média Móvel de Ordem q: uma série temporal r t é uma série MA(q) se: r t = µ + ε t + θ 1 ε t 1 + θ 2 ε t θ q ε t q onde {ε t } é sequência iid com ε t ( 0,σε 2 ) Observações 1. Média não-condicional.e (r t ) = µ 2. Variância não-condicional.var (r t ) = ( 1 + θ θ 2 q ) σ 2 ε 3. Autocorrelação.A Função de Autocorrelações é dada por ρ 0 = 1, ρ l = θ l + θ l+1 θ 1 + θ l+2 θ θ q θ ( ) q θ θq 2, e ρ l = 0, paral > q

23 Modelos Autoregressivos Como estimar modelo MA(q) 1. Especificação: definir q (ACF ou AIC/BIC) 2. Estimar parâmetros do modelo: MLE 3. Verificar resíduos: ˆε t deve seguir distribuição especificada

24 Modelos Autoregressivos Modelo ARMA(1,1): uma série temporal r t é uma série ARMA(1,1) se: r t = φ 0 + φ 1 r t 1 + ε t + θ 1 ε t 1 onde {ε t } é sequência iid com ε t ( 0,σε 2 ) Observações 1. Média não-condicional. E (r t ) = µ = φ 0 1 φ 1 2. Variância não-condicional.var (r t ) = γ 0 = (1+2φ 1θ 1 +θ 2 1 )σ 2 ε 1 φ 1 3. Autocorrelação.A Função de Autocorrelações é dada por ρ 0 = 1, ρ 1 = φ 1 + θ 1σ 2 ε γ 0 e ρ l = φ 1 ρ l 1 paral > 1

25 Modelos Autoregressivos Modelo ARMA(p,q): uma série temporal r t é uma série ARMA(p,q) se: r t = φ 0 + p i=1 φ i r t i + ε t + onde {ε t } é sequência iid com ε t ( 0,σε 2 ) Observações q i=1 θ i ε t i 1. Média não-condicional.e (r t ) = φ 0 /(1 φ 1... φ p ) 2. Autocovariâncias.Para j > q temos γ j = φ 1 γ j 1 + φ 2 γ j φ p γ j p, paraj = q + 1,q + 2,...

26 Modelos Não Estacionários

27 Modelos Não Estacionários Passeio Aleatório: uma série temporal p t é um passeio aleatório se: p t = p t 1 + ε t onde p 0 é o valor inicial e {ε t } é um ruído branco (sequência iid com ε t ( 0,σ 2 ε ) ) Observações 1. Se ε t+1 segue uma distribuição simétrica, dado p t, a probabilidade de p t+1 subir é 50% e de cair 50% 2. (Martingal) A melhor previsão para o futuro é o valor observado para hoje E t [p t+1 ] = p t 3. Em períodos curtos, o log do preço de uma ação pode ser modelado por meio de um passeio aleatório

28 Modelos Não Estacionários Observações (cont.): 4. Não estacionário: Var (p t ) = Var (p t 1 + ε t ) = Var (p t 1 ) + σ 2 ε + Cov (ε t,p t 1 ) 5. Podemos representar o Passeio Aleatório como: p t = ε t + ε t 1 + ε t (Memória persistente) Note que agora, o impacto de choques passados não decai com o tempo 7. O erro da projeção aumenta com o horizonte. Como E t [P t+l ] = p t, P t+l E t [P t+l ] = ε t+l + ε t l 1 + ε t+1 e a variância do erro é igual a l σ 2 ε e aumenta com l.

29 Modelos Não Estacionários Passeio Aleatório com Drift: uma série temporal p t é um passeio aleatório com drift se p t = µ + p t 1 + ε t onde p 0 é o valor inicial, µ é uma constante e {ε t } é um ruído branco (sequência iid com ε t ( 0,σ 2 ε ) ) Observações 1. Substitutindo recursivamente: p 1 = µ + p 0 + ε 1 p 2 = µ + p 1 + ε 2 = 2µ + p 0 + ε 2 + ε 1. p t = µt + p 0 + ε t + ε t ε 1 2. Tendência determinista µt (time-trend) e tendência estocástica ( ε t i = ε t + ε t ε 1 ) 3. A tend. determinista domina, pois o desvio padrão condicional é tσ 2 ε

30 Modelos Não Estacionários Processo com Tendência Estacionária: uma série temporal p t é um processo com tendência estacionária se p t = δ 0 + δ 1 t + x t onde x t é um processo estacionário (e.g. um processo AR(p) estacionário). Observações 1. p t cresce a linearmente à taxa δ 1 e pode se assemelhar a um passeio aleatório com drift. 2. Assumindo que x t tem média zero, temos que por um lado E [p t ] = δ 0 + δ 1 t e por outro Var [p t ] = Var [x t ], finito e invariante 3. Podemos remover a não-estacionariedade na média regredindo p t em t.

31 Modelos Não Estacionários Processo ARIMA(p,1,q): p t é um processo autoregressivo integrado com média móvel se r t = p t = p t p t 1 segue um processo estacionário ARMA(p,q) Observações 1. Podemos pensar p t como sendo o log do preço, p t = ln (P t ) de uma ação e portanto a diferença r t = p t = ln (P t /P t 1 ) o log-retorno 2. De maneira mais geral, podemos definir um processo ARIMA(p,d,q), onde d indica o número de diferenciações necessárias para atingir estacionariedade 3. Considere d = 2, neste caso teremos: 2 p t = p t p t 1 = p t 2p t 1 + p t 2

32 Modelos Não Estacionários Como detectar não estacionariedade? 1. Visualmente (graficamente) 2. Teoria econômica 3. Testando a presença de raíz unitária

33 Modelos Não Estacionários Testes de raíz unitária Considere a seguinte especificação: p t = φ 1 p t 1 + ε t Queremos testar se φ 1 = 1, ou seja, se p t é uma passeio aleatório sem drift. Poderíamos testar se α = φ 1 1 é igual a zero utilizando um teste t: p t = (φ 1 1)p t 1 + ε t = αp t 1 + ε t No entanto, nesse caso a estatística t está incorreta e precisa ser ajustada

34 Modelos Não Estacionários Teste Dickey Fuller de raíz unitária: H 0 : α = 0 vs H a : α < 0 DF t ratio = ˆα std (ˆα) Dependendo da especificação utilizada e do tamanho da amostra, o ajuste necessário na estatística t será diferente. Os valores podem ser obtidos por meio de simulações de Monte Carlo Tabelas existem para as seguintes especificações: τ : p t = αp t 1 + ε t τ µ : p t = µ + αp t 1 + ε t τ τ : p t = µ + δt + αp t 1 + ε t

35 Modelos Não Estacionários Teste Augmented Dickey Fuller (ADF) de raíz unitária: H 0 : β = 0 vs H a : β < 0 ˆβ ADF = ( ) std ˆβ Amplia a possibilidade de especificações ao incluir o componente autoregressivo AR(P): p 1 τ : p t = βp t 1 + λ i p t i + ε t i=1 p 1 τ µ : p t = µ + βp t 1 + λ i p t i + ε t i=1 p 1 τ τ : p t = µ + δt + βp t 1 + λ i p t i + ε t i=1