Aula 4. Wilson Correa. August 5, 2015

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1 Aula 4 Raíz Unitária e Cointegração Wilson Correa August 5, 2015

2 Introdução e Implicações Não estacionariedade possui possivelmente diversas origens em economia como resultado do progresso tecnológico implicando em uma tendência secular. Foco de atenção na não esacionariedade induzida pela acumulação persistente de efeitos passados. Existência de uma tendência diferente em cada ponto do tempo (tendência estocástica). Porquê esperar tendências estocásticas em economia? 1 Tecnologia é um processo de conhecimento cumulativo. 2 Mudanças estruturais causadas por choques de oferta Outras possibilidades de não estacionariedade como a variância heterocedástica não são discutidas.

3 Introdução e Implicações Considerem um modelo simples de regressão: y t = y 0 + βt + u t t = 1,..., T (1) onde: ε t i.i.d.(0, σε) 2 Equação (2) pode ser reescrita como u t = ε t 1 ρl u t = ρu t 1 + ε t (2) 1 Quando ρ < 1 temos expandido como 1 ρl (1 + ρl + ρl ) logo: (3) u t = ε t + ρε t 1 + ρ 2 ε t (4) Portanto o termo de erro é um somatório de todos os choques ocorridos anteriormente.

4 Introdução e Implicações Se ρ < 1 os choques perdem intensidade. Se ρ = 1, temos: u t = ε t + ε t 1 + ε t = i=1 ε t i Portanto cada choque persiste indefinidamente e possui um efeito permanente em u t. Neste caso dizemos que u t possui uma tendência estocástica. Diferença de uma tendência estocástica para uma determinística. 1 Tendência determinística Incrementos constantes. 2 Tendência estocástica Incrementos aleatórios. Notem que: Var(u t ) = quando ρ 1. σ2 ε 1 ρ 2. Portanto Var(u t)

5 Introdução e Implicações Substituindo (2) em (1) fica: y t = βt + ε t 1 ρl + y 0 (1 ρl)y t = (1 ρl)βt + (1 ρl)y 0 + ε t y t = ρy t 1 + β(1 ρ)t + ρβ + (1 ρ)y 0 + ε t (5) onde: 1 b 1 = ρ 2 b 2 = β(1 ρ) y t = b 1 y t 1 + b 2 t + b 0 + ε t 3 b 0 = ρβ + (1 ρ)y 0

6 Introdução e Implicações Com essa especificação podemos considerar 4 casos distintos 1 ρ = 1 e β 0 Random Walk with Drift 2 ρ = 1 e β = 0 Random Walk 3 ρ < 1 e β 0 Trend Stationary Model 4 ρ < 1 e β = 0 AR com termo constante. Problema da Regressão Espúria. Considerem a seguinte equação: y t = β 0 + β 1 x t + u t (6) Se u t é estacionário, então y t e x t devem possuir a mesma tendência estocástica, pois caso contrário u t poderia ser estacionário. Se y t é não estacionário, mas não é causado por x t e sim por z t = υ + z 0. Não estacionário também. Então a hipótese de interesse é β 1 = 0 em (6) e y t = β 0.

7 Introdução e Implicações Contudo u t contém υ e é não estacionário. Portanto conduzir testes onde a hipótese β 1 = 0 é testada não é viável. Notem que neste caso gostaríamos de aceitar a hipótese nula de que H 0 : β 1 = 0. Estimando a equação (6) por OLS implica que se u t i.i.d temos: P( t β1 =0 2/H 0 ) = Se u t é I (1) para T = 100 temos: P( t β1 =0 14.8/H 0 ) = Portanto teríamos que usar um valor de 14.8 para a estatística chegar a um nível de significância de 5 Resultado prático é a rejeição da hipótese nula e por conseguinte a variável x t sendo tomada errôneamente como significativa na equação (6) a menos que utilizemos 15 como valor crítico da estatística.

8 Modelo de Correção de Erros ECM A equação (6) pode ser considerada um modelo particular de um ADL(1,1) Autoregressive Distributed Lag. y t = b 0 + b 1 y t 1 + b 2 x t + b 3 x t 1 + ε t (7) A equação (7) pode ser reescrita como: y t = α 0 + α 1 x t α 2 (y t 1 β 1 x t 1 β 0 ) + ε t (8) A equação (8) é conhecida como modelo de correção de erros. Taxas de crescimento em y t são dadas pelas taxas de crescimento em x t e o desequiĺıbrio entre os níveis para o período anterior.

9 Modelo de Correção de Erros ECM Magnitude do desequiĺıbrio: y t 1 β 1 x t 1 β 0 Velocidade do ajustamento: α 2 Se ε t, y t e x t são I (0), então: 1 α 2 0 e (y t 1 β 1 x t 1 β 0 ) é I (0) OU 2 α 2 = 0 e (y t 1 β 1 x t 1 β 0 ) é I (1) Neste último caso, α 2 = 0, temos: y t = α 0 + α 1 x t + ε t O problema da Regressão Espúria desaparece pois y t e x t são I (0)

10 Modelo de Correção de Erros ECM Davidson, Hendry, Srba e Yeo (1978) cunham o termo mecanismo de correção de erros. Engle(1981) Introduziu o conceito de cointegração, onde existe uma relação genuína entre variáveis que não são estacionárias. Nelson e Plosser (1982) apresentam evidências de que muitas das séries econômicas eram não estacionárias. Engle e Granger (1987) apresentam o teorema da representação de um modelo ECM como cointegrado e que as séries cointegradas admitem uma formulação em termos de um modelo ECM

11 Testes de Raiz Unitária Propriedades assintóticas do estimador por OLS em y t = ρy t 1 + ε t onde: ε t i.i.d.(0, σε) 2 depende se uma constante e uma tendência são ou não incluídas na regressão que é estimada e se o processo verdadeiro que gerou os dados inclui ou não um termo de drift. Dois tipos de teste são utilizados com valores assintóticos das (ˆρ 1) distribuições calculados: K = T (ˆρ 1) e tˆρ = DP(ˆρ) Caso 1: Regressão Estimada: y t = ρy t 1 + ε t Processo Verdadeiro: y t = y t 1 + ε t Hipótese nula: ρ = 1 Distribuição Tabulada Dickey and Fuller para os testes K e tˆρ.

12 Testes de Raiz Unitária Caso 2: Regressão Estimada: y t = b 0 + ρy t 1 + ε t Processo Verdadeiro: y t = y t 1 + ε t Hipótese nula: ρ = 1 testes K e tˆρ Teste de Hipótese Conjunta (Teste F): b 0 = 0 e ρ = 1 Ambos os Testes com Distribuição Tabulada Dickey and Fuller Caso 3: Regressão Estimada: y t = b 0 + ρy t 1 + ε t Processo Verdadeiro: y t = b 0 + y t 1 + ε t com b 0 0 Estatística tˆρ converge em distribuição para uma N(0, 1)

13 Testes de Raiz Unitária Caso 4: Regressão Estimada: y t = b 0 + ρy t 1 + b 2 t + ε t Processo Verdadeiro: y t = b 0 + y t 1 + ε t Hipótese nula: ρ = 1 testes K e tˆρ Teste de Hipótese Conjunta (Teste F): b 2 = 0 e ρ = 1 Ambos os Testes com Distribuição Tabulada Dickey and Fuller

14 Testes de Raiz Unitária ADF Regressões Estimadas: y t = ρy t 1 + α + y t = ρy t 1 + α + p β j y t j + δt + ε t j=1 p β j y t j + ε t j=1 p y t = ρy t 1 + β j y t j + ε t j=1 (9)

15 Testes de Raiz Unitária ADF Caso 1: ρ = 1 Estatística τ Caso 2: ρ = 0 Estatística τ µ α = 0 dado ρ = 0 Estatística τ αµ α = ρ = 0 Estatística φ 1

16 Testes de Raiz Unitária ADF Caso 3: ρ = 0 Estatística τ τ α = 0 dado que ρ = 0 Estatística τ ατ δ = 0 Dado que ρ = 0 Estatística τ βτ α = δ = 0 Estatística φ 3 α = δ = ρ = 0 Estatística φ 2 Determinação de p 1 p = Int{ c (T /100) 1 d } com c = 12 e d = 4 2 Usar AIC ou BIC 3 Regra Sequencial

17 Testes de Raiz Unitária Phillips-Perron Objetivo é corrigir as estatísticas convencionais DF para presença de correlação serial e distribuições heterogêneas. Teste não paramétrico para a hipótese nula de raiz unitária. Três Especificações Possíveis: 1 AR(1)sem drift: y t = ρy t 1 + e t 2 AR(1)com drift: y t = α 0 + ρy t 1 + e t 3 AR(1)com drift e tendência linear: y t = α 0 + βt + ρy t 1 + e t

18 Testes de Raiz Unitária Phillips-Perron Duas estatísticas possíveis: Z t que corrige tˆρ e Z α que corrige T (ˆρ 1) Em ambos os casos a estatística depende do estimador da autocovariância de e t o qual é estimado utilizando a correção de Bartlett. Nessa correção é preciso especificar o número de lags que serão incluídos na correção de Bartlett. Há a necessidade de fazer o teste para diferentes especificações de lags. Na prática o número de lags usualmente fica entre 4 e 8.

19 Teste Perron e Ng Teste proposto para corrigir problemas de baixo poder do teste PP. Duas estatística possíveis: MZ t e MZ α que modificam Z t e Z α respectivamente. O teste utiliza de uma regressão base dada por: y t = b 0 y t 1 + k b j y t j + e tk (10) j=1 A determinação do lag k é feita utilizando-se o critério SIC.

20 Teste DF-GLS - Elliot, Rothemberg e Stock (1996) Teste Dickey-Fuller GLS consiste numa melhora do poder do teste em relação ao Dickey-Fuller padrão na presença de termos determinísticos como constante e tendência. Os autores propõem estimar a regressão do teste ADF mas com a influência dos termos determinísticos sendo removida através da seguinte regressão: y d t = y t ˆβ 0 ˆβ 1 t (11)

21 Teste DF-GLS - Elliot, Rothemberg e Stock (1996) Os estimadores de ˆβ 0 e ˆβ 1 são obtidos na regressão de ȳ sobre z onde: ȳ = [y 1, (1 ᾱl)y 2,..., (1 ᾱl)y T ] z = [z 1, (1 ᾱl)z 2,..., (1 ᾱl)z T ] z t = (1, t) ᾱ = 1 + c T c = 13.5 com tendencia c = 7.0 com constante (12)

22 Teste KPSS O Teste KPSS assume estacionariedade como hipótese nula. O teste consiste no seguinte modelo: y t = δt + ζ t + ε t ζ t = ζ t 1 + u t (13) onde: u t i.i.d.(0, σ 2 u) e ε t é um processo estacionário A hipótese nula é de que o processo é trend-stationary, ou seja, que a variância do processo que possui raiz unitária é zero (σ 2 u = 0). Alternativamente pode ser assumido que o processo é estacionário em torno de um nível fazendo-se δ = 0 A estatística do teste é dada por: LM = T t=1 S 2 t σ 2 e (14)

23 Teste KPSS onde: St 2 é a soma dos resíduos de uma regressão de y t sobre um intercepto e uma tendência e σe 2 é soma dos quadrados dos resíduos da regressão dividido por T (variância do erro da regressão). Caso os resíduos da regressão não sejam i.i.d. é necessário a utilização de um estimador para σ 2 e o qual depende das autocovariâncias e do lag escolhido na estimação definido na correção de Bartlett. Usualmente utilizam-se os lags 4 ou 8.

24 Quebras Estruturais e Testes de Raiz Unitária Problema: Se a magnitude do deslocamento no nível ou na inclinação em um único ponto é significativa a hipótese nula de raiz unitária dificilmente seria rejeitada ainda que a série seja estacionária com uma tendência com quebra. Perron(1989) propõe os seguintes modelos de termos determinísticos para realização de testes de raiz unitária: Modelo A (Crash Model) DT t = µ 0 + µ 1 DU t + δt (15) onde: DU t = { 1 t > TB 0 de outro modo (16)

25 Quebras Estruturais e Testes de Raiz Unitária Modelo B (Changing Growth Model) DT t = µ 0 + δ 0 t + δ 1 DT t (17) onde: DT t = { t TB t > TB 0 de outro modo (18) Modelo C DT t = µ 0 + µ 1 DU t + δ 0 t + δ 1 DT t (19) onde: DT t = { t t > TB 0 de outro modo (20)

26 Quebras Estruturais e Testes de Raiz Unitária O teste é implementado fazendo-se a remoção da tendência de acordo com as especificações A, B ou C e implementando-se o teste PP ou ADF para a variável detrended. Valores críticos a serem utilizados são tabulados por Perron(1989) Utilizando-se das diferentes especificações propostas Perron(1989) mostra que se considerarmos a existência de uma quebra estrutural das 14 séries originalmente estudadas em Nelson e Plosser (1982)em 11 a hipótese nula de raiz unitária poderia ser rejeitada. Principal problema deste teste: Os valores tabulados assumem que o período de ocorrência da quebra (TB) é conhecido.

27 Quebras Estrtuturais e Testes de Raiz Unitária Zivot and Andrews (1992) propõem um teste com especificação próxima à utilizada em Perron (1989) onde o ponto de quebra considerado na especificação dos modelos é determinado endogenamente considerando a hipótese da existência de apenas uma quebra estrutural. A estratégia do teste Zivot e Andrews(1992) é a mesma de Perron (1989) com a utilização de regressões do teste ADF aumentadas pela especificação das Dummies que permitem modelar as quebras nos termos determinísticos. A hipótese nula é de que o processo segue um random walk com drift e sem quebra.

28 Quebras Estruturais e Testes de Rais Unitária Lumsdaine e Papell (1997) estendem a análise de quebras estruturais considerando a possibilidade da existência de duas quebras estruturais com uma especificação diferente da utilizada por Zivot e Andrews uma vez que os autores consideram a possível existência de duas mudanças no nível e duas mudanças na tendência. Perron e Rodriguez (2003) propõem um teste de raiz unitária considerando o processo de remoção da tendência proposto em Elliot, Rothemberg e Stock (1996)assumindo duas especificações possíveis. A primeira de uma quebra na inclinação da tendência e a segunda de uma quebra em ambos: no intercepto e na inclinação da tendência.

29 Quebras Estruturais e Testes de Raiz Unitária Como o teste Perron e Rodriguez propõe a utilização do método de detrended GLS em comparação a Zivot e Andrews (1992) que utilizam uma regressão do tipo ADF existem ganhos em termos do poder do teste associados ao processo de GLS detrending similarmente ao que ocorre com o teste ADF-GLS sem a especificação de quebras estruturais. Além disso o processo de determinação dos pontos de quebra segue o proposto em Perron (1997). Kim e Perron (2009) propõem um teste em que é especificado a existência de uma quebra estrtutural tanto na hipótese alternativa quanto na nula, diferentemente da proposta de teste de Perron e Rodriguez (2003) que assumem que a hipótese nula é de um modelo com tendência estocastica sem quebra.

30 Quebras Estruturais e Testes de Raiz Unitária Carrion-i-Silvestre et. al. (2009) propõem um teste em que estendem os resultados de Kim e Perron (2009) permitindo a especficicação de um número arbitrário de quebras tanto no nível quanto na inclinação da tendência. Harvey, Leybourne e Taylor (2013) argumentam que o teste proposto em Carrion-i-Silvestre et. al.(2009) sofre de um problema de baixo poder se as quebras estruturais têm a magnitude das normalmente encontradas em séries econômicas. Os autores propõem a utilização de um processo de detereminação do ponto de quebra como proposto em Zivot e Andrews (1992) mas assumindo o processo de remoção da tendência pelo método GLS. O teste também assume a existência de múltiplas quebras estruturais e não somente uma como em Zivot e Andrews (1992)

31 Cointegração Característica de séries de tempo que individualmente possuem tendências estocásticas mas que quando combinadas linearmente são estacionárias. Cointegração é uma propriedade estatística dos dados e não econômica. Portanto ela é utilizada em economia para descrever um equiĺıbrio de longo prazo a partir da formulação do modelo de correção de erros. Definição Considerem duas variáveis, y t e x t ambas I (1). y t e x t são cointegradas se existe uma combinação linear tal que: y t βx t seja I (0). De uma maneira geral se y t é I (d) e x t é I (d) então y t e x t são CI (d, b) se y t βx t é I (d b) com b > 0.

32 Cointegração Cointegração se refere a combinações lineares, contudo há a possibilidade de que existam combinações não lineares. Suponha que entre três variáveis, x t, y t e z t, x t e y t sejam I (2) e z t seja I (1). x t, y t e z t não podem ser cointegradas, mas x t e y t podem ser CI (2, 1) tal que forme uma combinação linear w t = β 1 x t + β 2 y t seja I (1) e então w t e y t serem CI (1, 1). Engle e Granger propuseram um teste baseado nos resíduos da equação de cointegração estimada por OLS: y t = βx t + u t. Testar se û t é I (1) via testes de raiz unitária. Engle e Granger propõem estimar β por OLS usando a regressão estática e substituir essa estimativa no modelo ECM e estimar por OLS o modelo dinâmico.

33 Cointegração Uma outra possibilidade de estimação do parâmetro de longo prazo via modelo de correção de erros irrestrito ou seja: y t = γ x t + αy t 1 + θx t 1 + u t (21) Neste caso a equação (21) é estimada por OLS como proposto em Banerjee et al.(1998) e testa-se α = 0 1 utilizando-se o teste t. Este teste se caracteriza por ter a hipótese nula de não cointegração. Existe a necessidade de se utilizar os valores críticos tabulados por Banerjee et al.(1998) considerando-se a presença da constante ou da constante e da tendência. 1 Notem que neste caso temos θ = αβ