Notas de Aulas Econometria I ** Eduardo P. Ribeiro, 2011 PARTE II

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1 Notas de Aulas Econometria I ** Eduardo P Ribeiro, 0 PARTE II Autocorrelação Autocorrelação: violação da hipótese: E [ε t ε t-s ] = 0, para s > 0, como por exemplo, ε t = ρ ε t- + υ t, onde υ t é ruído branco) Neste caso E(εε )=Ω σ I, Como esta hipótese é importante para demonstrar que V(b)=σ (X X) -, se violarmos a hipótese de independência dos erros, os pacotes estatísticos irão errar no cálculo do desvio padrão dos coeficientes e errar nos valores dos testes de hipótese Este é o principal problema da autocorrelação O estimador de MQO ainda irá gerar estimativas não viesadas, embora não mais eficientes (supondo a ordem de autocorrelação) Na verdade, V(b) = (X X) - X ΩX(X X) -, onde Ω é uma matriz complexa (desenvolvida abaixo) Para identificar o problema, é necessário fazer testes de especificação Este é o diagnóstico Os testes mais comuns são os de Durbin-Watson e de Breush-Godfey Para entender o teste, vamos especificar uma forma de classificação dos erros autorregressivos Há o caso geral de ε t = ρ ε t- +ρ ε t- + +ρ p ε t-p + υ t chamado de modelo autoregressivo de ordem p (AR(p)) A regressão é sem constante, pois mantém-se a hipótese de que E[ε t ]=0 Para o caso especial de p=, o modelo AR() para a variável ε t é dado por ε t = ρ ε t- + erro, e a ausência de autocorrelação está associado ao parâmetro ρ: autocorrelação, => Ho: ρ = 0 H 0 : não há O teste de DW tem uma tabela específica, e o teste é calculado por T ( et et ) DW = t= ~ ( r) T t= et onde r = Σ T t=(e t - e t- ) /(Σ Τ t=e t- ), ou seja, o coeficiente de uma regressão do resíduo em função do resíduo defasado um período A regra de decisão é :Rejeitamos Ho se DW < D (Lower); Aceitamos Ho se DW > D (Upper) e Inconclusivo se D (lower) < DW < D (upper), onde D(upper) e D(lower) são os valores tabulados Para o teste de Breusch-Godfrey, estimamos uma regressão do resíduo contra o residuo defasado p vezes e as explicativas e fazemos um teste F para significância dos coeficientes angulares dos resíduos defasados Obs: se as explicativas não incluem a dependente defasada Y t-, então o teste pode ser calculado da regressão de e t contra e t-,, e t-p apenas e pode-se usar o F de significância da regressão ** OBS: Notas de aulas para o curso de Econometria I MFEE 0 Estas notas de aula servem para orientação do estudo apenas Este material não substitui a presença em sala de aula nem reproduz todo o conteúdo do curso As obras de referência para o material aqui apresentado estão citadas no programa do curso Material sujeito a revisão

2 Para entender melhor a matriz de variância-covariância, tomemos o caso de um modelo de regressão com erros AR(): Y = X β + ε, com ε t = ρ ε t- + u t, onde u t ~ iid (0, σ ) Temos que b = (X X) - X Y, como sempre, mas V(b) σ (X X) - e na verdade, V(b) = (X X) - X ΩX(X X) -, onde ε ε ε ε ε ε ε Ω = E [εε ] = E ε nε ε ε n n ρ Ω = σ u/(- ρ ) T ρ ρ ρ T ρ T ρ T ρ ρ As soluções para obter boas estimativas de β e estimativas de V(b) corretas são: - o uso de uma matriz de variância-covariância que acomoda a Autocorrelação (também chamada matriz de Newey-West, e apresentada como opção no Eviews na estimação por LS); OU - o uso de MQG, através de transformação das variáveis explicativas e explicada Ou seja, como em heterocedasticidade, o problema de MQ é Min (Y - Xβ) Ω - (Y - Xβ), que gera estimativas b GLS = (X Ω - X) (X Ω Y), com V(b GLS ) = (X Ω - X) - Estas podem ser obtidas através de b GLS = (X * X * ) - (X * Y * ), onde X * = PX Y * = PY e onde P P=Ω Para o caso de autocorrelação de primeira ordem (para regressão simples) ( r) X * ( r) = ( r) x x 3 rx rx x T rx T y ry Y * = y T ry T + O método de Máxima Verossimilhança, que envolve uma estimação não linear do modelo de regressão com autocorrelação - E por fim, a Transformação do Modelo de Regressão Tomando o exemplo de regressão simples, y t = α + β x t + ε t e ε t = ρ ε t- + u t ( ) onde u t ~ iid (0, σ ) e t =,, T Substituindo ε t = y t - α - β x t na segunda equação, temos: y t α β x t = ρ (y t- α β x t- ) + u t

3 (*)y t = α( ρ) + ρ y t- + β x t ρ β x t- + u t (**)y t = α + ρ y t- + β 0 x t β x t- + u t O erro do modelo (**) é independentes no tempo, ie, não tem autocorrelação Por isto, podem ser estimado por MQO sem problemas O modelo (**) é chamado ADL(,) Autoregressive Distributed Lag de ordem e Note que se β = ρ β 0, o modelo (*) pode ser escrito como ( ), sendo então o modelo de regressão com autocorrelação de ª ordem um caso especial de um modelo mais geral, ADL(,) Interpretação dos coeficientes no modelo ADL(,): E [y t y t-, x t, x t- ] = α + ρ y t- + β 0 x t β x t- E [y t ]/ x t = β 0 (curto prazo) lim T-> E [y t ]/ x t = (β 0 + β )/( ρ) (longo prazo), onde ρ < Para entender, lembre-se que, no steady-state (longo prazo), y t = y t- = = y e x t = x t- = = x na média da regressão Substituindo na expressão da média condicional, y = α +ρ y+ β 0 x β x, temos y = α/( ρ) + (β 0 + β )x/( ρ) O teste de COMFAC (common factor) é um teste para avaliar se um modelo dinâmico ADL(,), isto é, (**), pode ser escrito como um modelo estático com erro autoregressivo, isto é, (*) O modelo autoregressivo (onde COMFAC é válido, isto é β = ρ β 0 ) apresenta uma peculiaridade em relação aos efeitos de curto e longo prazo [qual?] Esta peculiaridade nos permite identificá-los O teste COMFAC é não linear e recomenda-se que seja feito via um teste de razão de verossimilhança Q= [loglik ADL(p,p) loglik AR(p) ], que segue uma distribuição qui-quadrado com p graus de liberdade O teste é similar ao teste F de significância, mas com uma justificativa de grandes amostras Muito freqüentemente, séries econômicas apresentam forte autocorrelação, associadas a presença de tendências ou demora para reversão à média de longo prazo Nestes casos (de séries não estacionárias), os modelos de regressão apresentam erros com fortíssima autocorrelação No caso extremo ρ =, ou seja o processo autoregressivo apresenta raiz unitária Esta forte autocorrelação pode levar a conclusões de inferência errônea, pois os estimadores apresentam distribuição limite diferentes da Normal Desta forma, deve-se testar, além da presença de autocorrelação, a ausência de autocorrelação extrema, através do teste de co-integração dos resíduos de uma regressão com séries com tendência O teste de cointegração possui uma tabela específica, apresentada por Engle e Granger (ganhadores do prêmio Nobel em Economia) Se o teste de não-cointegração não for rejeitado, deve-se estimar o modelo com as variáveis em diferenças (taxas de variação) y t = α + β x t + ε t e ε t = u t (FD) O Eviews estima o modelo (*) através de Mínimos Quadrados não Lineares 3

4 Se o teste de não-cointegração for rejeitado, deve-se estimar o modelo na forma de modelo de correção de erros y t = α + β x t + ε t e ε t =(ρ )ε t- + u t y t = α + β x t + (ρ )ε t- + u t y t = α + β x t + γ ( y t- α β x t- ) + u t (ECM) Recentemente, McCallum (00) defendeu que os modelos (**) ou ( ) podem ser usado com pequeno erro, em relação ao modelo ECM ou FD Obs: O caso geral de ADL(p,q) é Y t = α + ρ Y t- + + ρ p Y t-p + β X t + + β q X t-q + u t 4

5 Heterocedasticidade Heterocedasticidade: violação da hipótese do MCRL: V [ε i X] = σ, erros têm variância constante Agora, V [ε i X] = σ i = f(γ 0 + γ z i + + γ pz pi ) Como esta hipótese é importante para demonstrar que V(b)=σ (X X) -, se violarmos a hipótese de homocedasticidade, os pacotes estatísticos irão errar no cálculo do desvio padrão dos coeficientes e errar nos valores dos testes de hipótese Este é o problema da heterocedasticidade O estimador de MQO ainda irá gerar estimativas não viesadas e consistentes Na verdade, V(b) = (X X) - X ΩX(X X) -, onde Ω é uma matriz diagonal com elemento da diagonal igual a σ i Para identificar o problema, é necessário fazer testes de especificação Este é o diagnóstico Os testes mais comuns são os de White e de Breush- Pagan, que são equivalentes, a grosso modo O teste busca avaliar a heterocedasticidade, através de um teste de H 0 :homocedasticidade; H a :heterocedasticidade ou H 0 : γ ==γ p =0 no modelo para a variânica O teste supõe que f( ) acima é linear, que uma estimativa de σ i pode ser dada por e i Os testes diferem pela hipótese de z: alguns usam as variáveis x, outros usam as variáveis x e seus quadrados Uma vez identificado o problema de heterocedasticidade, a solução têm duas formas Primeiro, o uso de uma matriz de variância-covariância dos coeficientes ajustada para heterocedasticidade (a chamada Matriz de White) que é uma estimativa de V(b) = (X X) - X ΩX(X X) -, implementada nos softwares como uma opção robust na estimação Segundo a transformação das variáveis explicativas e explicadas, para obter, de modo indireto, estimativas por mínimos quadrados generalizados (MQG ou GLS em inglês) O problema de MQG é obter estimativas de β, tal que, dado E(εε )=Ω, MQG: Min β Σε t w t ou Min (Y - Xβ) Ω - (Y - Xβ) b GLS = (X Ω - X) - (X Ω Y) com V(b GLS ) = (X Ω - X) - b GLS pode ser calculado através de transformação das explicativas e explicadas, tal que b GLS = (X * X * ) - (X * Y * ), onde X * = PX Y * = PY e onde P P = Ω Para o caso de heterocedasticidade, a sugestão é multiplicar cada observação por (/s i ), onde s i é obtido a partir da estimação da equação do teste de White/Breush-Pagan, em um processo interativo Todavia, é possível demonstrar que este método de MQG factível gera estimativas viesadas, embora consistentes, quando temos o caso usual de σ i desconhecido O melhor é a estimação por Máxima Verossimilhança, se sabemos a distribuição dos erros (em geral, suposta Normal) e a forma da heterocedasticidade (em geral linear na variância) Multicolinearidade 5

6 Multicolinearidade Perfeita: violação da hipótese As variáveis explicativas X,,X k não são combinações lineares entre si Em outras palavras, o posto da matriz X não é k+ Neste caso, não é possível obter estimativas por MQO Multicolinearidade: altíssima correlação entre variáveis explicativas Isto não gera estimativas viesadas ou altera a forma da matriz de variância-covariância Mas infla os desvios padrões de cada coeficiente (pela matriz (X X) - ter termos muito grandes) Este é o problema da multicolinearidade Com isto, passa a ser comum ter (pares) de coeficientes com estatísticas t pequenas, mas com testes F conjuntos de exclusão rejeitados Este é o sintoma de multicolinearidade Outro modo de identificar, seria através do cálculo do FIV(b k )=/( R k ), o fator de inflação da variância de um parâmetro b k e onde R k é o coeficiente de determinação da regressão de x k em x,, x k- Se este for alto, é possível que o problema da multicolinearidade esteja presente Diz-se possível, pois um alto FIC não é condição necessária nem suficiente para o problema de multicolinearidade, já que pode-se demonstrar que V(b k )=σ /(S kk ( R k )), onde S kk = Σ(x ki m xk ), O que ocorre é que há duas variáveis explicativas com o mesmo conteúdo informacional (variabilidade similar, ie, altamente correlacionada) Com isto, o método de mínimos quadrados não consegue distinguir entre os efeitos diretos e indiretos das variáveis Embora haja soluções ditas ad-hoc como o método de ridge regression e o uso de análise fatorial, talvez o mais razoável seja pensarmos no problema e identificarmos qual variável (dentre aquelas que tem, na prática, a mesma informação) é a mais importante e/ou a mais representativa Dados em Painel Muitas vezes, os modelos teóricos indicam que os modelos econométricos apresentam heterogeneidade, ou seja, os parâmetros variam de empresa a empresa ou pessoa a pessoa Nesta situação, dados em cross-section nos permitem estimar apenas os efeitos médios Ou seja, se y i = α i + β i x i no modelo teórico, podemos fazer a hipótese de efeitos médios α i = α + υ αi e β i = β + υ βi, onde os erros υ αi e υ βi têm média zero e são independentes Com isto temos um modelo de regressão heterocedástico y i = α + β x i + v i, onde v i = υ αi + υ βi x i Este modelo pode ser considerado muito restritivo, pois supõe que as diferenças de coeficientes não influenciam as escolhas das pessoas ou empresas, ou seja, E(υ αi x i )=0, E(υ βi x i )=0 Além disso, a estimação do modelo completo exigiria muitas observações por empresa ou pessoa (i), para permitir rodar uma regressão para cada i Um modelo intermediário nas hipóteses seria aquele em que há heterogeneidade na constante O mesmo pode ser estimado com dados em painel, ou seja um conjunto de 6

7 dados com várias unidades observadas durante um período de tempo curto Assim, o modelo ficaria na forma y it = β x it + α i + ε it, i=,,n e t=,,t As vantagens deste modelo é que ele permite controlar diferenças entre as unidades pesquisadas (empresas ou pessoas) de modo simples Este controle pode ser importante pois existem algumas características individuais que são correlacionadas com as explicativas Como temos mais de uma observação por pessoa, a regressão pode ser calculada utilizando dummies para cada pessoa (LSDV), ou seja, y it = β x it + Σ i δ i d it + ε it, i=,,n e t=,,t onde a dummy d it = se i=j e 0 caso contrário Este é o chamado modelo de efeitos fixos Pode parecer que o uso das dummies gera muitos parâmetros, mas como em geral temos NT observações, colocar as dummies nos deixa com N(T-)-k graus de liberdade Com n=50 e T=0 e três explicativas, mesmo com as dummies, ainda temos 447 graus de liberadade Outra vantagem do modelo de efeitos fixos é que na verdade estimamos os coeficientes avaliando o que acontece com as unidades ao longo do tempo Descartamos do modelo as diferenças entre unidades Estas diferenças entre unidades, utilizadas em crosssection para calcular os coeficientes, em geral são contaminadas por causalidade reversa Na análise em painel é importante perceber que SQT = SQW + SQB + SQR, onde SQT=Σ i Σ t (y it y**), SQW=Σ i Σ t (y it y i *), SQB=Σ i Σ t (y i * y**) e SQR=Σ i Σ t (e i ) Em palavras, a variação nos dados (SQT) se divide em variação intra unidades (ao longo do tempo, SQW), variação entre unidades (cross-section, SQB) e variação residual (SQR) Além do modelo de efeitos fixos, há o modelo de efeitos aleatórios, que pressupõe que o componente individual seja não correlacionado com as explicativas A estimação é por MQG O uso de mais um cross-section permite que efeitos temporais, além de variáveis que indicam diferenças entre unidades, sejam avaliados na regressão O uso de dados em painel também gera estimativas mais eficientes do que aquelas em crosssection, pois usam mais informação E quando o horizonte temporal é curto, permite avaliar efeitos temporais, sob certas hipóteses, mesmo que uma regressão de série de tempo apenas tenha muito poucos graus de liberadade 7