ECONOMETRIA. Prof. Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

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1 ECONOMETRIA Prof. Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

2 Cap. 9 Modelos de Regressão com Variáveis Binárias Fonte: GUJARATI; D. N. Econometria Básica: 4ª Edição. Rio de Janeiro. Elsevier- Campus, 2006

3 Variáveis Binárias = variáveis dummy assumem valores 0 ou 1 = variáveis indicadoras, de categoria, qualitativas ou binárias São essencialmente variáveis nominais Um artifício para classificar dados em categorias mutuamente exclusivas como masculino e feminino Modelos com regressores de natureza exclusivamente binária são chamados modelos de análise de variância (ANOVA) Ver exemplo 9.1 em dummy1.txt

4 Exemplo 9.1

5 Cautela no uso de variáveis binárias Colinearidade perfeita No exemplo com 3 regiões se criarmos uma terceira dummy D1 teremos ao somar as três dummies uma coluna com 51 uns, igual aos 1 s implícitos em α Y 1 = α. 1 + β 1 D 11 + β 2 D 21 + β 3 D 31 + u 1 Y 2 = α. 1 + β 1 D 12 + β 2 D 22 + β 3 D 32 + u 2 Y 3 = α. 1 + β 1 D 13 + β 2 D 23 + β 3 D 33 + u 3 Y n = α. 1 + β 1 D 1n + β 2 D 2n + β 3 D 3n + u n

6 Cautela no uso de variáveis binárias Na forma matricial Y 1 1 D 11 D 21 Y 2 1 D = 12 D 22 Y n 1 D 1n D 31 D 32 D 2n D 3n α β 1 β 2 β 3 + u 1 u 2 u n 1 = 1 Colinearidade perfeita => essa matriz não tem inversa Regra: se a variável qualitativa tem m categorias teremos que usar (m-1) variáveis dummies!!

7 Cautela no uso de variáveis binárias Categoria de base, de referência, de controle, de comparação ou omitida => não se designa variável binária β 1 é o valor médio dessa categoria Outros β s são coeficientes diferenciais de intercepto Se não usarmos a regra das classificações menos 1, então temos que rodar o modelo sem intercepto Daí os valores médios serão obtidos diretamente

8 Modelos ANOVA com duas variáveis qualitativas Qual a categoria de referência nesse caso? Qual o salário médio dos casados? Qual o salário médio dos que residem no Sul? Esses salários são estatisticamente diferentes daqueles da categoria referencial?

9 Regressões com variáveis quantitativas e qualitativas: os modelos ANCOVA Um método de controlar estatisticamente os efeitos de regressores quantitativos, chamados de covariáveis ou variáveis de controle, em um modelo que inclui tanto regressores quantitativos quanto qualitativos ou binários. Será que o gasto público com educação afeta o salário dos professores? Y i = β 1 + β 2 D 2i + β 3 D 3i + β 4 X 4i + u i Y i = salário médio anual dos professores em US$ D 2i = 1 se NE ou CO; 0 c.c. D 3i = 1 se Sul e 0 c.c. X i = gastos com ensino público em US$/aluno Ver exemplo 9.3 em dummy2.txt

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11 A variável binária como alternativa ao teste de Chow No teste de Chow não é possível dizer se a diferença se devia ao intercepto, aos coeficientes angulares ou a ambos. Há quatro situações possíveis: 1. Regressões coincidentes = interceptos e inclinações são iguais 2. Regressões paralelas = interceptos diferentes e inclinações iguais 3. Regressões concorrentes = interceptos iguais e inclinações diferentes 4. Regressões dessemelhantes = interceptos e inclinações são diferentes

12 A variável binária como alternativa ao teste de Chow Exemplo poupança e renda americana de 1970 a 1995 Y t = α 1 + α 2 D t + β 1 X t + β 2 D t X t + u t Y = poupança X = renda t = anos D = 1 para o período 1982 a , nos demais casos ( ) Função de poupança média, : E Y t D t = 0, X t = α 1 + β 1 X t Função de poupança média, : E Y t D t = 1, X t = (α 1 + α 2 ) + (β 1 + β 2 )X t Se significativo indica que o intercepto é diferente Se significativo indica que a inclinação é diferente

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14 A variável binária como alternativa ao teste de Chow Variável binária ADITIVA => para avaliar interceptos MULTIPLICATIVA => para avaliar inclinações Para saber se as retas são coincidentes é preciso testar simultaneamente α 2 = β 2 = 0 Ver exemplo 9.4 em pouprenda.txt

15 Efeitos de interação com o uso de variáveis binárias Y i = α 1 + α 2 D 2i + α 3 D 3i + βx i + u i Y i = salários-hora em US$ D 2i = 1 se mulheres, 0 se homens D 3i = 1 se não brancos e não hispânicos, 0 outros X i = escolaridade (anos de frequência à escola) O efeito diferencial da variável gênero é constante nas duas categorias de raça (a diferença de salário por ser mulher não depende de ser branco e hispânico) O efeito diferencial da variável raça é constante nos dois gêneros. E se a diferença de salário pelo gênero depender também da raça?

16 Efeitos de interação com o uso de variáveis binárias Y i = α 1 + α 2 D 2i + α 3 D 3i + βx i + u i Pode haver uma interação entre as variáveis D 2 e D 3. O efeito sobre Y médio pode não ser aditivo, mas também multiplicativo. Y i = α 1 + α 2 D 2i + α 3 D 3i + α 4 (D 2i D 3i ) + βx i + u i Mulher não branca não hispânica: D 2 =1 D 3 =1 E Y i D 2i = 1, D 3i = 1, X i = (α 1 + α 2 + α 3 + α 4 ) + βx i Homem não branco não hispânico: D 2 =0 D 3 =1 E Y i D 2i = 0, D 3i = 1, X i = (α 1 + α 3 ) + βx i Homem branco e hispânico: D 2 =0 D 3 =0 E Y i D 2i = 0, D 3i = 0, X i = α 1 + βx i Mulher branca e hispânica: D 2 =1 D 3 =0 E Y i D 2i = 1, D 3i = 0, X i = (α 1 + α 2 ) + βx i Em todos esses caso a inclinação não se altera. Poderíamos criar variáveis de interação para ver se a inclinação se altera.

17 Variáveis binárias em análises sazonais Uma solução é usar uma dummy para cada período tendo o cuidado de estimar o modelo sem intercepto. Usar um período como referência tem a vantagem de podermos identificar se o intercepto diferencial em algum período não é estatisticamente significante. Os resíduos dessa regressão serão a séria dessazonalizada, com os componentes de tendência, cíclico e aleatório. ST = s + c + t + u Ver exemplo 9.6

18 Regressão linear segmentada Quando há mudança na inclinação a partir de um determinado valor do regressor. Y i = α 1 + β 1 X i + β 2 X i X D i + u i Y i = comissão sobre vendas X i = volume de vendas geradas por um vendedor X * = valor limiar de vendas, nó D = 1 se X i > X * e 0 se X i < X *

19 Regressão linear segmentada Para X < X * => D = 0 E(Y i D i = 0, X i, X ) = α 1 + β 1 X i Para X > X * => D = 1 E Y i D i = 1, X i, X = α 1 β 2 X + (β 1 + β 2 )X i

20 Variáveis binárias em regressões semilogarítmicas Nessas regressões o coeficiente nos dá a semi-elasticidade (variação percentual da variável dependente para uma variação unitária da variável explicativa). Só se aplica se o regressor for variável quantitativa. Para um modelo do tipo lny i = β 1 + β 2 D i + u i Onde Y = salário hora em US$ e D = 1 se mulher A função salário para homens será: E(lnY i D i = 0) = β 1 A função salário para mulheres será: E lny i D i = 1 = β 1 + β 2 Dá a variação no logaritmo médio dos salários-hora

21 Variáveis binárias em regressões semilogarítmicas O antilogaritmo dos coeficientes nos dá o salário mediano e não o médio (antilog x = e x ) lny i = β 1 + β 2 D i lny i = β 1 + ln(e β 2D i ) => se D = 0 e β 2D i = 1 se D = 1 e β 2D i = e β 2 Logo, quando D varia de 0 para 1 o ln Y varia (e β 2 1) A variação no logaritmo é uma variação relativa Se multiplicarmos por 100 teremos a variação %

22 Variáveis binárias em regressões semilogarítmicas No modelo do exemplo 9.8 Para verificar a variação percentual no salário mediano de homens e mulheres fazemos: e 0, = 21,63% O salário mediano da trabalhadora (D=1) é inferior ao masculino em cerca de 21,63%.

23 A hipótese da normalidade t = β 1 β 1 ep( β 1 ) t = β 2 β 2 ep( β 2 ) t = β 3 β 3 ep( β 3 ) Segue a distribuição t com n 3 graus de liberdade. Por que 3 graus de liberdade? t => para testar coeficientes parciais da regressão múltipla χ 2 => para testar hipóteses sobre o verdadeiro σ 2 da população

24 Testes de hipóteses relativos aos coeficientes de regressão individuais H 0 : β 2 = 0 H 1 : β 2 0 Comparar t com tcrítico Qual seria o tcrítico para o caso da MI? Na prática olhamos o p-valor E se eu espero um determinado sinal? O teste não é mais bilateral... no exemplo da MI poderia supor que o coeficiente de PNBpc seja negativo. Então: H 0 : β 2 0 H 1 : β 2 < 0

25 Teste de significância geral da regressão amostral Testa se há uma relação linear entre o Y e as variáveis explicativas em conjunto H 0 : β 2 = β 3 = 0 É o mesmo que testar β 2 = 0 e β 3 = 0? Não! Usamos a mesma amostra para testar β 2 = 0 e β 3 = 0, portanto não são independentes P β 2 = 0 β 3 = 0 P β 2 = 0. P(β 3 = 0) P[ β 2 ± t α ep β 2 2, P[ β 3 ± t α ep β 2 3 ] (1 α)(1 α) Então, como testar β 2 = β 3 = 0?

26 A abordagem da ANOVA: teste F y i 2 = β 2 y i x 2i + β 3 y i x 3i + u i STQ SQE SQR β 2 y i x 2i + β 3 y i x 3i SQE F = 2 gl 2 = u i SQR n 3 gl Se distribui como a distribuição F, com 2 e n-3 graus de liberdade. Se β 2 = β 3 = 0 for verdadeira SQE e SQR serão muito próximos. O modelo não agrega explicação. Não se rejeitará H 0. Se SQE for muito maior que SQR rejeita-se H 0.

27 Significância geral de uma regressão múltipla Dado o modelo de regressão com k variáveis: Y i = β 1 + β 2 X 2i + β 3 X 3i + + β k X ki + u i Para testar a hipótese: H 0 : β 2 = β 3 =...= β k = 0 H 1 : nem todos os coeficientes angulares são simultaneamente iguais a zero F = SQE gl SQR gl = SQE (k 1) SQR (n k) Se F > F α (k-1,n-k), rejeite H 0. k =3 no caso de 3 variáveis (Y, X 2 e X 3 )

28 Significância geral de uma regressão múltipla Testes dos coeficientes individuais não substituem o teste geral da regressão linear múltipla. É possível ter regressão significativa como um todo com poucos ou nenhum coeficiente significativo individualmente. E também R 2 baixos em regressões com coeficientes significativos. Essa é uma situação comum em dados em corte transversal. O importante é a especificação correta do modelo, sinais corretos e significância estatística.

29 Relação entre R 2 e F F = F = R 2 = SQE SQT SQE (k 1) SQR (n k) n k k 1. F = F = = n k k 1. SQE SQR SQE STQ SQE n k k 1. R 2 1 R 2 R 2 (k 1) (1 R 2 ) (n k) SQT SQT

30 Relação entre R 2 e F F = R 2 (k 1) (1 R 2 ) (n k) R 2 = 0 => F = 0 => regressão não é significante R 2 = 1 => F =>

31 Quando acrescentar uma nova variável? F = (SQE novo SQE velho ) número de novos reg. SQE novo (n k) Se as variáveis dependentes dos modelos novo e antigo são as mesmas posso usar: F = 2 2 R novo R velho 2 1 R novo número de novos reg. n k

32 Quando acrescentar uma nova variável? 2 A prática de escolher modelo com R ajust mais alto não é adequada, pois não há certeza de que o aumento é significativo. 2 R ajust aumenta se t da nova variável é maior que 1, sendo t calculado sob a hipótese de que o coeficiente é igual a zero. 2 R ajust aumentará se t 2 = F for maior que 1

33 Quando acrescentar um grupo de variáveis? Quando F dado por F = for maior que 1. R2 2 novo R velho 2 1 R novo número de novos reg. n k

34 Teste da igualdade de dois coeficientes da regressão Y i = β 1 + β 2 X 2i + β 3 X 3i + β 4 X 4i + u i X 3 = renda, X 4 = riqueza, Y = demanda do bem H 0 : β 3 = β 4 => (β 3 - β 4 ) = 0 H 0 : β 3 β 4 => (β 3 - β 4 ) 0 t = β 3 β 4 (β 3 β 4 ) ep β 3 β 4 ep β 3 β 4 = var β 3 + var β 4 2cov( β 3, β 4 ) Onde obter as var e cov? Ver comandos em funcaocusto.txt

35 Mínimos quadrados restritos: teste das restrições de igualdade linear Função Cobb-Douglas β 2 β X 3 3i e u i Y i = β 1 X 2i Onde X 2 = insumo de mão de obra, X 3 = insumo de capital, Y = produção lny i = β 0 + β 2 lnx 2i + β 3 lnx 3i + u i Onde β 0 = lnβ 1 Se houver retornos constantes de escala = variação equiproporcional da produção para uma variação equiproporcional nos insumos β 2 + β 3 = 1

36 Mínimos quadrados restritos: teste das restrições de igualdade linear A abordagem do teste t: t = β 2 + β 3 (β 2 + β 3 ) ep β 2 + β 3 ep β 2 + β 3 = var β 2 + var β 3 + 2cov( β 2, β 3 )

37 Mínimos quadrados restritos: teste das restrições de igualdade linear A abordagem do teste F: F = SQR R SQR SR SQR SR n k m F = R 2 2 SR R R 2 1 R SR m n k

38 Mínimos quadrados restritos: teste das restrições de igualdade linear Como obter o modelo restrito? β 2 + β 3 = 1 β 2 1 = β 3 lny i = β 0 + (1 β 3 )lnx 2i + β 3 lnx 3i + u i lny i = β 0 + lnx 2i β 3 lnx 2i + β 3 lnx 3i + u i lny i lnx 2i = β 0 + β 3 (lnx 3i lnx 2i ) + u i ln Y i = β X 0 + β 3 ln X 3i + u 2i X i 2i Ver comandos em cobbdouglas.txt

39 Teste da estabilidade estrutural ou dos parâmetros nos modelos de regressão: Teste de Chow Quando empregamos um modelo de regressão que envolve o uso de séries temporais pode haver mudança dos coeficientes ao longo do tempo. Exemplos: (i) exportações no Brasil antes e depois da liberação do câmbio em 1999; (ii) demonstrações contábeis antes e depois do IFRS Como saber se há quebra de estrutura?

40 Teste de Chow Nada mais é que um teste de modelo restrito x modelo sem restrições Aqui o restrito é o que supõe que os coeficientes são iguais ao longo de todo o tempo Premissas: u 1t ~N 0, σ 2 u 2t ~N(0, σ 2 ) Distribuição Normal com mesma variância u 1t e u 2t têm distribuições independentes

41 Etapas do teste: Teste de Chow 1. Estima-se as regressões separadas 2. Estima-se a regressão para o período completo 3. Obtém-se os SQR (soma quad. resíduos) 4. Teste F SQR R SQR SR F = k ~ F SQR k,n1 +n 2 2k SR (n1 + n 2 2k) Ver comandos em pouprenda.txt

42 Advertências: Teste de Chow 1. As premissas devem ser respeitadas. É preciso verificar se as variâncias dos erros das regressão são iguais. 2. O teste não diz se a diferença entre as regressões decorre dos interceptos, coeficientes angulares ou de ambos. 3. O teste pressupõe que conhecemos o ponto de quebra estrutural. Ver comandos em pouprenda.txt