EPGE / FGV MFEE - ECONOMETRIA Monitoria 03-09/05/2008 (GABARITO)

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1 EPGE / FGV MFEE - ECONOMETRIA Monitoria 03-09/05/2008 (GABARITO) Eduardo P. Ribeiro eduardopr@fgv.br Professor Ilton G. Soares iltonsoares@fgvmail.br Monitor 01. Use os dados em WAGE1 para estimar a seguinte regressão ln (wage) = educ + 2 exper + 3 exper 2 + erro Calcule a regressão acima e responda: (a) Qual o valor de R 2? E do R 2 ajustado? (b) Conduza um teste de signi cância sobre os coe cientes individuais. Qual a sua conclusão? (c) Conduza um teste F de signi cância global. (d) A partir de quantos anos de experiência o salário começa a cair quando a pessoa se torna mais experiente? (e) Conduza um teste de especi cação entre o modelo anterior e ln (wage) = educ + erro. O que você pode concluir? SOLUÇÃO Os resultados associados à regressão ln (wage) = educ+ 2 exper+ 3 exper 2 +erro estão apresentados abaixo: (a) O coe ciente de determinação R 2 obtido foi 0.30, o que indica que cerca de 30% das variações da variável dependente ln (wage) podem ser explicadas pelas variações nas variáveis explicativas educ, exper e exper 2. O R 2 ajustado é expresso por R 2 = 1 1 R 2 n 1 n k 1 e seu valor foi 0; 296. Obs: Tente encontrar esse valor a partir da informação sobre R 2, n e k. (b) Como discutido em sala, vimos que todos os coe cientes angulares são individualmente estatisticamente diferentes de zero (p-valor virtualmente zero) e que o termo de intercepto é estatisticamente nulo (p-valor = ). Note que isso não deve ser interpretado como se o modelo devesse ser estimado sem intercepto. Obs: Lembre que as análises de signi cância 1

2 usando o p-valor e consultando a tabela t são equivalentes, mas é importante entender bem a construção por trás dessa última, conforme discutido em sala. (c) O teste 2 F de signi cância global da regressão tem como hipóteses nula e alternativa: H 0 : = H 1 : pelo menos um dos i s é diferente de zero, com i = 1; 2; 3: ou ainda: H 0 : R 2 = 0 H 1 : R 2 > 0 A estatística de teste é dada por F = R 2 =k (1 R 2 ) = (n k 1) que segue distribuição F com k graus de liberdade no numerador e n k 1 graus de liberdade no denominador. O valor calculado no exercício foi (veja F-statistic no output do EViews) F calc = 74:66. Uma vez que o valor tabelado é 2:62 (considerando o nível de signi cância de 5%, usando o comando =@qfdist(0.95,3,522) no EViews ou consultando a tabela F ), concluímos pela rejeição da hipótese nula, de modo que o modelo é globalmente signi cante em termos estatísticos. (d) Esse problema é basicamente de otimização. Note que maximizando y = ln (wage) em relação a exper, temos a seguinte CPO (assumindo = 0 =) exper = 0 =) exper = exper d = b 2 2 b = 28:74 3 ou, em termos estimados, Note que a condição de segunda ordem é satisfeita para um 2 2 = 2 3 e usando o fato de que b 3 < 0, temos que resultados amostrais. (e) Note que nesse caso temos: MODELO RESTRITO: MODELO 2 2 < 0 avaliando nos ln (wage) = educ + erro ln (wage) = educ + 2 exper + 3 exper 2 + erro Os resultados da regressão associada ao modelo restrito são apresentados a seguir: 2

3 Como visto em sala de aula, a estatística F utilizada para testar as hipóteses H 0 :MODELO RESTRITO H 1 :MODELO IRRESTRITO pode ser escrita como RIR 2 R 2 F = R =r (1 RIR 2 ) = (n k 1) Assim, substituindo os valores do R 2 encontrados nos modelos restrito RR 2 = 0: e irrestrito RIR 2 = 0: na expressão antrior e sabendo que n = 526, k = 3 (aqui usamos o k do modelo irrestrito) e que o número de restrições é r = 2, obtemos a estatística F calculada: F calc = (0: :185806) =2 (1 0:300273) = ( ) = 42:696 Assim, para concluir o teste basta apenas encontrar o valor tabelado F tab, com o qual devemos comparar F calc. Como sabemos que a estatística de teste segue distribuição F com r graus de liberdade no numerador e n k 1 graus de liberdade no denominador, então o valor tabelado considerando o nível de signi cância de 5% é F tab = 3:013 (você pode obter esse valor no EViews usando o comando =@qfdist(0.95,2,522)). Uma vez que o valor calculado F calc é superior ao valor tabelado F tab, concluímos pela rejeição da hipótese nula de que o modelo restrito é preferível em termos estatísticos ao modelo irrestrito. 02. A tabela a seguir traz dados sobre poupança pessoal (Y ) e renda pessoal (X), ambas em bilhões de dólares, para os anos de Ano Poupança (Y ) Renda (X) ,5 831, ,4 893, ,7 980, , , , , , , , , , , , , , , , ,4 Ano Poupança (Y ) Renda (X) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,3 Para veri car se houve uma mudança signi cativa na relação poupança-renda no período e (era da presidência Reagan-Bush), realize um teste de quebra estrutural de duas formas: a) Utilizando um modelo linear relacionando poupança e renda, inclua uma dummy de mudança de inclinação e uma dummy de mudança de intercepto. Em seguida, teste a signi cância conjunta dos coe cientes associados a essas duas dummies. Qual a sua conclusão? b) No mesmo modelo do item (a), conduza um teste de Chow. c) Você notou alguma semelhança nos testes conduzidos nos itens (a) e (b)? Qual? SOLUÇÃO a) O resultado da estimação do modelo modelo é apresentado na gura a seguir: 3

4 Vamos criar uma variável dummy que irá assumir valor 1 no período e 0 no período Incluindo essa dummy no modelo possibilitando mudança de intercepto e de inclinação, temos o resultado apresentado na gura a seguir: Para conduzir esse teste de hipóteses encadeadas (ou entrelaçadas), temos MODELO RESTRITO: MODELO IRRESTRITO: cujos resultados das estimações foram: by t = x t by t = x 1t + 2 (dummy t x t ) + 3 dummy t MODELO RESTRITO: by t = 57: :0315x t R 2 R = 0: MODELO IRRESTRITO: by t = 217:81 0:010313x 1t + 0: (dummy t x t ) 203:1955dummy t R 2 IR = 0:88957 Como visto em sala de aula, a estatística F utilizada para testar as hipóteses H 0 :MODELO RESTRITO H 1 :MODELO IRRESTRITO pode ser escrita como RIR 2 R 2 F = R =r (1 RIR 2 ) = (T k 1) Assim, substituindo os valores do R 2 encontrados nos modelos restrito RR 2 = 0: e irrestrito RIR 2 = 0:88957 na expressão anterior e sabendo que T = 22, k = 3 (aqui usamos o k do modelo irrestrito) e que o número de restrições é r = 2, obtemos a estatística F calculada: F calc = (0: :639603) =2 (1 0:88957) = (22 3 1) = 20:37 Para concluir o teste basta apenas encontrar o valor tabelado F tab, com o qual devemos comparar F calc. Como sabemos que a estatística de teste segue distribuição F com r graus de liberdade no numerador e T k 1 graus de liberdade no denominador, então o valor 4

5 tabelado considerando o nível de signi cância de 5% é F tab = 3:55 (você pode obter esse valor no EViews usando o comando =@qfdist(0.95,2,18)). Uma vez que o valor calculado F calc é superior ao valor tabelado F tab, concluímos pela rejeição da hipótese nula de que o modelo restrito é preferível em termos estatísticos ao modelo irrestrito, isto é, temos evidências estatístics de quebra estrutural. b) O teste de Chow utiliza a estatística F = SQR T (SQR 1 + SQR 2 ) = (k + 1) (SQR 1 + SQR 2 ) = (T 2 (k + 1)) onde SQR T = soma dos quadrados dos resíduos do modelo incluindo toda a amostra; SQR 1 = soma dos quadrados dos resíduos do modelo incluindo o período ; SQR 2 = soma dos quadrados dos resíduos do modelo incluindo o período ; T = número de observações do modelo completo (T = 22). Sob a hipótese nula de estabilidade estrutural a estatística de teste se distribui como uma F com (k + 1) graus de liberdade no numerador e (T 2 (k + 1)) graus de liberdade no denominador. A seguir temos os resultados das regressões contemplando as amostras necessárias para o teste. Por último, temos o resultado da estatística do teste de Chow: F calc = 20:3711. Note que o valor crítico considerando o nível de signi cância de 5% no presente caso é F crit = 3; 55. Com isso, concluímos pela rejeição ha hipótse nula de estabilidade estrutural. Evidentemente a mesma conclusão poderia ter sido tirada a partir do p-valor ( ). Amostra Amostra

6 Amostra Resultado do teste de Chow c) Os testes são iguais. 6