Matemática A Extensivo V. 3

Transcrição

1 Etensivo V. Eercícios 0) a) S = {, } b) S = c) S = ; 4 d) S = {,,, } e) S = ; a) + = Pela propriedade IX temos: + = ou + = = = = = Para = Para = + = + = = = = (ok) = (ok) S = {, } b) = + Pela propriedade IX, temos: = + = + ou = ( + ) = =. ( ) + = + = = = Para = ou Para = = ( ) + = 6 + = (absurdo) =. + S = = = (ok) c) + = + = ou + = ( ) + = = = ou + = ( ) + = + + = = 4 = = 4 Para =. + = 9 + = = (ok) S =, 4 ou Para = = 4 4 = (ok) 4 4 = 4 d) + = 0 Seja y = Temos: y y + = 0 Resolvendo a equação acima, obtemos as raízes. y' = ou y" = Segue, Para y' = Para y" = y = y = = = ' = ou " = ''' = ou '''' = S = {,,, } e) + + = 4, se Pela definição, temos: =, se< +, se + = +, se< + + / + + Assim,, se<, se < + + =, se

2 Para <, temos: = 4 = 4 = = Para < = 4 = 4 = Para = 4 = 4 + = = Note que: não pertence ao intervalo <, logo não é solução. pertence ao intervalo <, logo é solução. pertence ao intervalo, logo é solução. S = {, } 0) B 0) C 04) D 0) E Definição de módulo. Sejam a, b R tal que a, b, 0. De a + b a + b (desigualdade triângular), temos em particular a + b + a + b. Para a e b negativos. a b = (a + b) =. a + b = a + b a + b em particular a + b = a + b Portanto, a + b = a + b. a, b R tal que a e b possuam o mesmo sinal. I. Correta. Como <, temos < 0. Logo, = II. Correta. Como <, temos 0 <. Logo, = III. Correta. Pois módulo ou valor absoluto tem como significado sendo distância, ou seja, y é distância de até y. Como a distância de até y e a disância de y até são as mesmas, temos que: y = y < < 0 > > 0 Logo, + e = Segue, + = + = 06) A 07) B ² 4 = 0 4 = 0 (i) Seja y = Substituindo y em (i), vem: y 4y = 0 y' = ou y" = Substituindo y =. Para y' = = (absurdo, pois 0, R) Para y'' = = ' = ou " = Portanto, é um número natural é outro inteiro. + 4 = 0 (i) Seja y = Substituindo y em (i), vem: y + y 4 = 0 y' = ou y" = 4 Substituindo em y = Para y' = = ' = ou " = Para y" = 4 4 = (absurdo, pois 0, R) Portanto, S = {, }

3 08) D 6 = 0 (i) seja y = Substituindo y em (i), vem: y y 6 = 0 09) C 0) y' = ou y'' = Substituindo em y = Para y' = = ' = ou '' = Para y'' = = (absurdo, pois pois 0, R) Como ' = e '' = são raízes da equação a + b = 0, então: ' + '' = a (ii) '. '' = b (iii) Daí vem: De (ii), = a a = 0 De (iii),. ( ) = b b = 9 = 6 = 6 ou = 6 De = 6 = 7 ' = 7 (i) De = 6 = = (ii) Somando (i) e (ii), temos: 7 = + = 7 + = 7 ou + = 7 ( ) + = 7 + = 7 = 6 + = 7 + = 7 = 6 = Para =. + = 7 = (ok) Para = = 7 6 = (absurdo) S = {} 0. Correta. + = 6 + = 6 ou + = 6 ) A + = 6 = 6 = Para = +. = = 6 6 = 6 (ok) S = {} + = 6 = 6 = ou Para = + ( ) = 6 4 = 6 = 6 (absurdo) 0. Correta. Observe a solução S. 04. Incorreta. S = {}, portanto possui um valor para que satisfaz a equação. 08. Correta. log (4 4) = = = 0 Resolvendo a equação obtemos: ' = '' = Após verificar as condições de eistência, concluímos que a solução é: S = {} 6. Incorreta. Única solução é um número inteiro positivo.. Incorreta. Pois é um número inteiro negativo. Para <, temos: y = y = + + ( ) y = + + y = + 4 ) = 0 e = 0 L() = 0( ) L() = Daí vem: = 0 ( ) ( 0) 00 = Vamos resolver a equação acima:, se = , se< 00, se = , se<

4 + 00, se = 00, se 00 < 00 00, se 00 Se < = 00 = = 00.( ) = 00 = 00 = 0 (ok) Se = 00 (absurdo) Se = 00 = = 00 = 00 = 0 dias Portanto, = 0 dias ou = 0 dias para obter lucro de R$ 00,00. ) A + = i + = = () + = ( ) () ii Trabalhando com a equação, obtemos: ² + = ² + + = 0 ² + = 0 Resolvendo a equação acima, teremos: ' = + ou '' = Trabalhando com equação (ii), obtemos: + = ( ) + = = 0 = 0 Resolvendo a equação acima, teremos: = + ou " = 4) D ou Portanto, ou. ) A 6) A a) ou. b). c). d) 0. e). Vamos dividir < < 4 em duas partes: < e < 4 Trabalhando separadamente ambas as desigualdades, teremos: > < ou > De <, vem: < < + < >, vem: > + > 4 < 4 4 < < < < 4 + < < 7 Representação na reta real: Portanto, o produto das raízes é: (... = + ) ( ) +... ( ).( ) 0.( 4) 80 = = = = ( ) ( ) > < 4 < < Portanto, < < ou 4 < < 7. 4

5 7) E < ( ) < < + < < Resolvendo separadamente as desigualdades, temos: + < + < 4 < < + < + < 6 0) D h h h < < h < Logo, a altura máima é dada pela desigualdade: h < h < + h < 7 < 6 < Analisando na reta real, vem: + < < + < < 8) A 9) C Portanto, 4 < < Logo, + 4 = 0 = 4 = 4 = 4 4 Portanto, a solução da inequação é: S = { R = } = < < < < < < < < 000 Portanto, a altura máima é h = 7 cm =,7 m. ) a) s = {47} b) s = {6} c) s = {, } d) s = {4} e) s = {8, 6} a) + = 7 (elevando-se ambos os lados ao quadrado) ( + ) = 7 + = 49 = 49 = 47 : = 47 + = = 7 49 = 7 7 = 7 (ok) S = {47} b) + 8 = 0 = 0 8 = = = 4 (elevando-se ambos os lados ao quadrado) ( ) = 4 = 6 = = = 0 0 = 0 (ok) Portanto, os níveis de produção máima e mínima são: < < 000 c) + 6 = + 6 = + (elevando-se ambos os lados ao quadrado)

6 ( + 6) = ( + ) + 6 = = 0 + = 0 Resolvendo a equação acima, teremos: ' = ou '' = ' =. + 6 = + 6 = 9 = = = (ok) '' = ( ) + 6 = 6+ 6 = 0 = = (absurdo) S = {, }. d) 6+ + = (elevando-se ambos os lados ao quadrado) ( 6+ + ) = = 9 + = = (elevando-se ambos os lados ao quadrado) ( + ) = + = 9 = 9 = 8 = 8 = 4 = = 6+ 9 = 6+ = 9 = = (ok) S = {4} e) + = + 7 (elevando-se ambos os lados ao quadrado) ( + ) = ( + 7) + = = = 4 7 (elevando-se ambos os lados ao quadrado) ) A ( + 4) = (4 7) = 6 ( 7) = = = 0 Resolvendo a equação, obtemos: ' = 6 ou '' = 8 ' = = = + 49 = + 7 = 7 (ok) " = = = + 9 = + = (ok) S = {8, 6} + + = (elevando-se ambos os lados ao quadrado) ( + + ) = () + + = + = + = (elevando-se ambos os lados ao quadrado) ( + ) = () + = 484 = 48 ) A = = = + = = S = {48} + = + = + (elevando-se ambos os lados ao quadrado) ( + ) = ( + ) + = = 6 = 6

7 4) A = (elevando-se ambos os lados ao quadrado) = ( ) 9 = = 9 + = = + = 6 9 = 4 = = (ok) Logo, a solução é dada por =. Portanto, a soma dos quadrados dos algarismos da solução é dada por: + = + = + = + = + (elevando-se ambos os lados ao quadrado) ( ) = + ( ) + + = = 4 = 4 (elevando-se ambos os lados ao quadrado) ( ) = (4 ) 4 = 6 ( ) 4 = = 0 O produto das raízes é dado por:... 4 = e a ) = 48 = = 0 seja y = Seja ( ) = 0 y 0y + 64 = 0 y' = 6 ou y'' = 4 6) D 7) D Substituindo y =, temos: y' = 6 6 = ' = 6 = 4 ou '' = 6 = 4 y" = 4 4 = = 4 = ou = 4 = Portanto, a soma do quadrado é: ( ' ) ('') + ( ') + ( '') = (4) + ( 4) + () + ( ) = = 40 Portanto, a soma dos quadrados das raízes da equação é = = 0 (i) ( ) + 6 = 0 Seja y = Substituindo y na equação (i), obtemos: y y + 6 = 0 Resolvendo a equação acima, temos: y' = 9 ou y'' = 4 Substituindo em y = : y' = 9 9 = ' = 9 = ou '' = 9 = y'' = 4 4 = ' = 4 = ou '' = 4 = Portanto, a soma dos quadrados das raízes da equação é: (') + ('') + ( ') + ( '') = () + ( ) + () + ( ) = = = 0 ( ) = 0 (i) Seja y = Substituindo y na equação (i), obtemos: y 0y + 9 = 0 y' = 9 ou y' = Substituindo em y = : y' = 9 9 = = 9 = ou = 9 = y'' = = = = ou 4 = = Portanto: = + ( ) + + ( ) = 0 =. = 7

8 8) B 9) A k =0 4 k = 0 = k k = 9 k = 8 S = { 9, 0, 9} = 0 6( ) + = 0 (i) Seja y = Substituindo y na equação (i), temos: 6y y + = 0 y' = ou y'' = Substituindo em y = : y' = = ' = = ou '' = = y'' = = = = ou = = S = ; ; ; 0) C = {0} C = { R / + = 0} + = 0 ( + ) = 0 = 0 ou + = 0 = ' = ou '' = ' = i ou '' = i (não serve! ', '' R) Portanto, C = {0}. ) = Seja R + = = 0 ( ) = 0 Temos que: = 0 ou = 0 Resolvendo a equção = 0, obtemos: Como < 0 < +, temos que o menor número real é: =. ) S = +,, = 0 Seja y = + y y + 6 = 0 Resolvendo a equação acima, teremos: y' = ou y" = Substituindo y em y = + : Para y' = = + = + = + + = 0 Resolvendo a equação, temos: = + ou ' = Para y" = y = + = + = + + = 0 Resolvendo a equação, obtemos: '" = Portanto, S =, +,. ' = + ou " = 8

9 ) B 4) A = ( 6 ) (elevando ambos os lados ao quadrado) = ( ( 6 )) = = 0 ' = ou " = Portanto, para > 0, temos como solução =, assim temos uma solução. = (elevando ambos os lados ao quadrado) ( ) = ( ) = = = 0 ( 4 + 4) = 0 ) C Temos que: = 0 ou = 0 Resolvendo = 0, temos: S = {0, } Vamos resolver a equação abaio: + + = + (elevando ambos os lados ao quadrado) ( + + ) = ( + ) + + = = 0 4 = 0 ' = 4 ou " = : Para ' = 4 4 ( ) = = 7 49 = 7 7 = 7 (ok!) Para " = ( ) + ( ) + = + + = 4 = = (ok!) 6) C Como a e b são soluções da equação, então a = 4 e b =. Segue, N = (4 + + ) + (4 ) 4 0 N = (6 + + ) N = N = = (elevando ambos os lados ao quadrado) ( ) = + 6 = 9 6 = 9 6 = 8 (elevando ambos os lados ao quadrado) ( 6 ) = (8 ) 6 = = = 0 Resolvendo a equação acima, temos: ' = 8 ou " = 6 Como a e b são as soluções da equação, então a = 8 e b = 6. Segue, 7. a. b a+ b = 8+ 6 = = 4 4 9

10 7) A = (elevando ambos os lados ao quadrado) ( ) = = ( ) 4 4 ( ) = = = + 4 = 8 4 = 4 Então, ' = 4 ou " = 4 ' = ou " = : Para = = 0 = 0 (ok!) Para = ( ) = 4 = 4 = (absurdo!) 8) B S = {} + m = m(elevando ambos os lados ao quadrado) ( + m ) = ( m ) + m = m + m m = 0 ( m ) = 0 Temos que: = 0 ou m = 0 = m + : Para = 0 9) D + m = m 0 +m = 0 m m = m (Absurdo!) Para = m m+ + m = m + m m + = m + (ok!) Portanto, temos uma única solução = m + > 0, pois m > 0. ( + 9) = ( 9+ ) (elevando ambos os lados ao quadrado) + 9 = 9 +. ( 9) = 9. ( 9) = 9 ( 9) = ( 9) ( 9) = 0 Seja y = 9 y + y + = 0 y = + Substituindo em y = Para y = + 9 = 9 = ( 9) = ( ) 8 ou y = 9, temos: 8 ( 9 ) = = = (8) = ( ) (elevando ambos os lados ao quadrado) 64 = 0 = 0 64 = 80 0

11 40) B Para y = 9 = 9 =.( + ) 9 = ( + ) (. ) 8 8( 9) = ( + ) 7 8 = = = = = (elevando ambos os lados ao quadrado) ( 8) = ( ) 64 = 0 = 0 64 = 80 Portanto, 7 < < 9. ² = 8 ² = Seja y = 4 6 y y = y = y ( y) = ( y) (elevando ambos os lados ao quadrado) y = 44 4y + y y 44 = 0 y' = 6 ou y" = 9 : y' = = = 0 = (Absurdo!) y" = 9 4) C 4) C 4) B 44) D = 9 + = = (ok!) Substituindo y = 9 em y = = = 0 4 = 0 Resolvendo a equação acima, teremos: ' = ou " = Portanto, " + " = = 4 (a, b) (b; a), pois (a; b) e (b, a) são pares ordenados cujas abscissas e ordenadas são diferentes. O primeiro número dos pares ordenados é elemento do conjunto e o segundo número do par ordenado pertence ao conjunto A. A = {,,, 4} B = {, 6, 7, 8, 9} Portanto, a soma dos elementos do conjunto A é: = 0. R = {(, y) A B / y} R = {(; ), (; ), (; ), (; 4), (6; ), (6; ), (6; 4), (6; 6)} Logo, D(R) = {,, 6} Im(R) = {,, 4, 6} R = {(,y) A B é divisor de y} R = {(; ), (; 8), (; 9), (; ), (; 8), (; 9), (4; 8)}

12 4) 8 0. Incorreta. O número de elementos de A B é dado por:. 4 =. 0. Correta. Temos f() = m. Como f( ) = 7, então: f( ) = 7 = ( ) m 7 = 0 m = m = m. ( ) m =. 04. Incorreta. f() = 47) B Traçamos infinitas retas paralelas ao eio das ordenadas (y), caso alguma reta cruze o gráfico uma única vez, teremos função, mas se alguma reta cruzar duas ou mais vezes o gráfico, não será função. (I) y Cruza uma vez, é função. (II) y f() = f( ) = = f( ) = = f() = = 0 A B 0 f não é função definida de A em B, pois Im(f) B. 08. Incorreta. f() =. + 6 O domínio da f() é dado por: + 6 > 0 > 6 > 6 > Portanto, D = { R / > }. 6. Correta. f() = ². f() = = 9 = 4 f( ) = ( ) = = 0 f(0) = 0 = Logo, f() f( ) + f(0) = ( ) = 4 =. (III) (IV) (V) Cruza em dois pontos, não é função. y Retas cruzam uma única vez, é função. y Retas cruzam uma única vez, é função. y Eiste uma reta que intercepta duas vezes o gráfico, não é função. 46) A k k = {(; ), (; ), (; ), (; 4), (; ), (; ), (; ), (; 4), (; ), (; ), (; ), (; 4), (4; ), (4; ), (4; ),(4; 4)}

13 48) C Eiste uma reta que cruza em dois pontos, não é função. Qualquer reta paralela ao eio y cruza o gráfico uma única vez, é função. Eiste uma reta paralela ao eio y que cruza o gráfico em dois pontos, não é função. 4 É função. 49) D É função. a) Não é função. b) Não é função. c) Não é função. d) D = [, ] Im = [, ] e) Não é função. 0) C ) E Errata: Considere a imagem {y R / y < 4}. a) Incorreta. D = [0, [ Im = ], 4[ b) Incorreta. D = [0, ] Im = [, 4] c) Correta. D = [0, [ Im = [, 4[ d) Incorreta. Não é função. e) Incorreta. Não é função. Segundo o gráfico, temos: f(0) = 0; f(4) = 4. No intervalo 0 < < 4 a função é linear, ou seja, f() = a + b. Segue, f(0) = a. 0 + b = b = 0 f(4) = 4a + b = 4 b = 0 Logo, 4a = 4 a =. 4a+ b = 4 Portanto, a função definida no intervalo 0 < < 4 é f() =. Com raciocínio análogo, obtemos as funções nas respectivas intervalos 4 < < 6 e 6 < < 8: f() = 4 f() = + 6 Segue que: a) Verdadeira. Para f() f() = f() = Para f() f() = f() = Para f() f() = f() = Logo, f() + f() = + = = f(). b) Verdadeira. Para f() f() = f() = Para f(7) f() = + 6 f(7) = = = Logo, f() = = f(7). c) Verdadeiro. Para f() f() = f() = Para f() f() = f() = Logo, f() = =. = f(). d) Verdadeira. f(4) = 4 Para f() f() = f() = f() = (já calculado no item a) f(4) f() = 4 = = f() e) incorreta. f() = (já calculado item a) f() = (já calculado item a) f() f() = + 6 f() =. + 6 = = 6 então, f() + f() = + = 6

14 ) D f(0) =. 0 + b = b g(0) = = Segue, f(0) + g(0) = b + = b =. Daí vem: f() = f =. = = 6 Temos ainda, g(4) = = 7. Portanto, g( 4) + 6. f = + 6 = 7 =. ) 6 Errata: desconsiderar a resposta da apostila gabarito correto = 6. = 0 f() = 4 + f( ) = 4. + = + = = 0 0 f() = 4 + f(0) = = = > 0 f() = + f() = + = 8 Daí vem: f f( 0) f( ) ) ( ) + + = + + = Errata: desconsiderar a resposta da apostila gabarito correto =. f() = + f ( ) = + = 4 + = 7 4 g() = 6 + g( ) = 6( ) + = 6 + = 9 Logo, f + 4. g( ) = = = 4 =. ) A < f() = ( ). ( + ) = f = = 4 = 7 4 6) 9 7 < f() = f 7 = < < f() = f = = Logo, 7 A = 4 7. = = 4 4 = 4 =. f( + ) = f() Para = 0, temos: f(0 + ) = f(0) f() = f(0) (f() = 4) 4 = f(0) + 4 =. f(0) 8 = f(0) f(0) = 8 f(0) = 9 7) D 8) C 9) C Errata: desconsiderar a resposta da apostila gabarito correto = D. f() = f() f() + f() = 0 f() = 0 ( ) f() = = 0 Resolvendo a equação acima, temos: ' = " =. f() = g() 4 = = = 0 ( ) + = 0 Resolvendo a equação acima, teremos: ' = ou " =. Segue, f() = 4.. = f() = 4.. = 4 = Portanto, f() + f() = = 0. Para p = e q = 0 f(p + q) = f(p). f(q) f( + 0) = f(). f(0) f() = f(). f(0) (f() = ) 4

15 =. f(0) f(0) = f(0) = 6) E O conjunto imagem pode ser visto como a projeção do gráfico no eio da ordenada (y). 60) C Para = f( + ) = f() f(4) = f() Daí vem: f() + f(4) = 60 f(4) f() = 0 ( ) f() + f(4) = 60 (i) f() f(4) = 0 (ii) Fazendo (i) + (ii), temos 4f() = 60 f() = 60 4 f() =. Segue: Para = 0 f(0 + ) = f(0) f() = f(0) = f(0) = f(0) f(0) = Portanto, Im = [, ]. 64) B + 4, se 0 < f() =, se 6 6) A y = = ) C = = 000 = 000 = 0 = = 00 carteiras f =. 0 7 = 00 N =.f = = = Logo, a porcentagem de famílias é: = = 0,04 = 4% = ) 06 Im = [, 7] 0. Correta. f() = D (f) = R f() = g() = D (g) = R Logo, f() = g() 0. Correta. f() = * D () = R +

16 Devemos ter: + > 0 g() = * D () = R + g() =. = Logo, f() = g(). 04. Incorreta. f() = D (f) = R f() = f() = se, 0 se, < 0 g() = D (g) = R Logo, f() g(). 08. Incorreta. f() = ( ) D (f) = R + g() = D (g) = R Logo, f() g() 6. Incorreta. f() = D (f) = ], [ g() = D (g) = ], 0] ], [ Temos f() g() 66) A 67) D Note que > 0, então não há o que analisar do numerador, já o denominador deve ser diferente de zero, isto é, 0. Portanto, o domínio é: D = R *. Devemos ter: > 0 > > 69) A Portanto, o valor de que satisfaz a equação acima é: > ou >. Logo, D = { R/ < ou > }. Devemos ter: > 0 > Logo, > ou < > + < + > 8 < > 8 < > 4 < Portanto, < ou > 4. 70) A f() = f() = ( 9 ).( 4) Devemos ter: (9 ). ( 4) > 0 Daí vem: 4> 0 9 > 0 Para 4 > 0: Portanto, D = {/ > }. 68) A f() = ( + ) ½ f() = + 6

17 Para 9 > 0: Segue, Logo, < < ou < <. Portanto, D = { R/ < < } { R/ < < }. 7