CPV 73% de aprovação na ESPM

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1 7% de aprovação na ESPM ESPM NOVEMBRO/007 PROVA E MATEMÁTICA. O menor número natural tal que = n 5, com n N*, é igual a: a) 745 b) 50 c) 5 d) 4050 e) 785 Temos que = n = n 5 para que seja a menor potência de 5, devemos ter =.. 5, isto é, = 50.. Se a e b são inteiros não nulos, com a b, o número que devemos somar ao numerador e subtrair do denominador da fração a / b para transformá-la em sua inversa é: a) b a b) a b c) a b d) b a e) a. b Considerando a + = b b a a + a = b b a b = a b a + b) = a + b) a b) Portanto, = b a. O produto das raízes reais da equação log ) igual a: a) b) 4 c) 8 d) 6 e) 9 = 8 é Considerando > 0 e, então: log ) log log = log 8 ) = 8 log. log = log 8 + log log ) = + log Fazendo log = y, temos: y y = 0 y = ou y = Para y = temos log = = = 8 Para y = temos log = = Portanto 8. = 4 4. Para > 0, as seqüências numéricas, m, 6) e, n, 9) são, respectivamente, uma PA e uma PG. Sabe-se que os números m e n são naturais formados pelos mesmos algarismos, porém, em ordem inversa. A soma dos 6 termos dessas duas seqüências é igual a: a) 98 b) 4 c) 87 d) e) 54 Para > 0 PA:, m, 6) m = + 6 PG:, n, 9) n = 9 n = m = 7 m = 7 7 m Portanto = m = 9 n n Sendo m e n números naturais formados por dois algarismos em ordem inversa, temos: m = 0a + b e n = 0b + a Como m = 9 n, temos 0a + b = 9 0b + a) a = 8b Logo a = 8 e b = m = 8 e n = 8 PA: 6, 8, 56) e PG: 6, 8, 54) Logo =

2 espm //007 cpv especializado na espm 5. Duas retas r e s são paralelas e distantes entre si de cm. Sobre a reta r tomam-se 4 pontos, sendo de cm a distância entre dois consecutivos quaisquer. Da mesma forma, tomam-se 7 pontos na reta s. O número de quadriláteros conveos com vértices nesses pontos e que possuem área igual a 4 cm é igual a: a) 8 b) 4 c) d) 40 e) 6 cm A cm B cm C cm D 7. O gráfico pictórico da figura mostra a variação da produção de tubos de aço galvanizado num certo período pela metalúrgica Metalbom. De acordo com essa figura, podemos concluir que a produção em 00 foi de aproimadamente: a) 4000 t b) 400 t c) 6000 t d) 500 t e) 4800 t Conforme a figura ao lado temos: B 000 R )60 4R E cm F cm G cm H cm I cm J cm K A ) C Considerando que a área do quadrilátero pedido tem medidas + ) n em r e m em s e altura cm temos 4 = n m m + n = 4 Logo m = e n = ou m = e n = ou m = e n = Número de quadriláteros nº segmentos de medida m nº segmentos de medida n total Um grupo de 0 pessoas apresenta a seguinte composição: 5 brasileiras e 5 estrangeiras 0 homens e 0 mulheres 8 adultos e criancas A probabilidade de que, nesse grupo, eista um menino estrangeiro é de: a),5 % b),5 % c) 0,75 % d) % e),5 % P estrangeiro) = 5 = 0 4 P homem) = 0 = 0 P criança) = = 0 0 Pestrangeiro e homem e criança) = = = 0,05 =,5% ) A equação da reta AB é y = A equação da reta BC é y = mas = α = α α = 6000 y = y = 6000 Alternativa C 8. As soluções inteiras da equação y 5 = 0 determinam, no plano cartesiano, um polígono conveo cuja área é igual a: a) 4 b) 56 c) 48 d) 6 e) 6 Se 5 y 5 = 0 então y = y = 5 0) Como e y são inteiros, devemos ter: = e y = ; ) = e y = ; ) = 5 e y = 9 5; 9) = 5 e y = 9 5, 9) O polígono conveo será formado pelos pontos A ; ); B 5; 9); C ; ) e D 5; 9). A área é a soma das áreas do ABC com ADC, isto é: S ABCD = D + D sendo D = 5 9 D = O α 996) 00) 5 9 S ABCD = 48 Alternativa C e

3 cpv especializado na espm espm // Numa festa de aniversário estavam presentes apenas meninos e meninas. Ao final, todos se despediram da seguinte forma: as crianças do mesmo seo trocaram abraços entre si e as crianças de seos diferentes se despediram com apertos de mãos. Sabendo-se que foram dados, no total, 0 abraços e 08 apertos de mãos e que nenhum par de crianças se cumprimentou mais de uma vez, podemos concluir que o número de crianças que estavam nessa festa é igual a: a) 4 b) 5 c) 0 d) 4 e) Consideremos um número de meninos e y de meninas. ) + y y ) Total de abraços: = 0 Total de apertos de mão:. y = 08 Resolvendo-se o sistema obtido pelas equações acima, temos: = 9 e y = ou = e y = 9 Logo, o total de crianças é + y =. Alternativa E 0. Seja f : R R uma função polinomial do primeiro grau tal que f ) f ) = para qualquer R. Se f ) = 4, então f 4) é igual a: a) b) c) 4 d) 5 e) 6 f ) f ) = Como f é de primeiro grau, então f ) = a + b f ) f ) = a + b a + b) = 4a = a =. Considere o determinante D = e o determinante D que se obtém substituindo-se cada elemento de D pela soma dos outros três. Se D = D, podemos afirmar que: a) = 4 ou = 6 b) = ou = 4 c) = 6 ou = 4 d) = ou = 5 e) = 4 ou = D = = D = = D = D 6 = = 0 = 6 ou = 4. Numa parede estão dependurados dois relógios de ponteiros. O da esquerda marca 6h0min, enquanto o da direita perdeu seu ponteiro dos minutos. Com as indicações da figura abaio, podemos afirmar que o relógio da direita marca: a) 7h8min b) 7h9min c) 7h40min d) 7h4min e) 7h4min Ponteiro pequeno: 60 min 0 0 min = 0 α = = 70 Ponteiro pequeno: 0 0 f ) = 4. + b = 4 b = f ) = min 0 y min 0 y = 40 min f 4) =. 4 + = 5 O relógio marca 7h40min Alternativa C

4 4 espm //007 cpv especializado na espm. Na composição do preço de um produto, os materiais representavam 50%, a mão-de-obra 40% e o lucro 0%. De um ano para cá os materiais tiveram aumento de 0% e a mão-de-obra aumentou 4,5%. Para manter o mesmo percentual de lucro sobre o preço final, esse produto deverá ter um aumento de: a) % b) 7 % c) 4 % d) 0 % e) 5 % Seja p o preço do produto antes dos aumentos. Desta forma, 0,5p é o custo dos materiais, 0,4p é o custo da mão-de-obra e 0,p é o lucro. Após os aumentos, o custo dos materiais passou a ser 0,5. p., = 0,6p e o custo com a mão-de-obra passou a ser 0,4p.,45 = 0,57p. Como desejamos que o percentual do lucro permaneça 0% do novo preço temos, sendo i a porcentagem do lucro em relação ao preço antigo, que: i = 0, i = 0,. 0, 6 + 0,57 + i Logo o novo preço será 0,6 + 0,57 + 0, = 0, = 0% maior do que o preço antigo. 4. Numa reunião em que participavam 5 pessoas seria sorteado um prêmio para um dos presentes. Como o sorteio foi realizado quase no fim da reunião, algumas mulheres não todas) já haviam ido embora, o que fez com que a probabilidade de uma mulher receber o prêmio diminuisse 5%. Sabendo-se que nenhum homem foi embora, o número de mulheres que saíram foi: a) 4 b) 5 c) 0 d) 8 e) Seja o número de mulheres e n o número de mulheres que já haviam ido embora no final da reunião. Assim, na primeira situação a probabilidade de uma mulher receber o prêmio é 5 e, na segunda situação, passa a ser n 5 n. Logo: n 5 = 5% n = 5 5 n 05 4 Como n IN, temos que 05 4 deve dividir 5, isto é, 05 4 = = 6 não convém) ou 05 4 = 5 = 5 assim n = 5, o que não convém) ou 05 4 = 5 = 0 ou 05 4 = 5 = 5 não convém). Portanto = 0 e n = 5 5 = 5 5. As bases de um trapézio medem cm e 7 cm. Toma-se um segmento paralelo a elas, com etremidades nos lados transversos e que divide esse trapézio em dois outros de mesma área. A medida desse segmento, em cm, é: a) b) c) 4 d) 4 e) 5 D E A H G B 6 Temos que S ABCD = S ABFE + 7) H = + + ) h 4H = + ) h I) mas o BFG ~ BCH portanto h = II) H 6 F De I) e II) 4H = + ) H = 0 = 4 ou = 6 não convém) Portanto EF = 5 Alternativa E 6. Considere a soma S = Retirandose dessa soma eatamente 4 parcelas, a média aritmética das parcelas restantes fica 0% maior do que a anterior. A menor parcela retirada foi a de valor: a) 4 b) c) 8 d) 6 e) C h S = = 9 ) = 78 + = = 00 média das parcelas: 0 média após a retirada: 0 + = Seja a soma dos números retirados: 00 = 00 = 79 = Verificando todas as possibilidades, concluímos que as parcelas retiradas foram: 8, 6, 8 e 56. Alternativa C H

5 cpv especializado na espm espm // Sobre a parábola de equação y = são dados pontos A, B e C de abscissas a < b < c respectivamente. A área do triângulo ABC é dada pela epressão: a) b) c) d) a + b). c b) c b). c a). b a) a + b). a + c). b + c) c b). b a) e) c b). c a). b a) Se y = então os pontos são A a; a ), B b; b ) e C c; c ) a área S = D onde D = a a b b c c determinante de Vandermonde: D = b a) c a) c b) S = a a ou D = b b que é o c c b a ) c a ) c b ) r 8. As paredes da cabana representada abaio foram construídas com ripas verticais de madeira e a porta tem a forma de um arco de parábola. De acordo com as medidas apresentadas na figura, o comprimento da menor ripa de madeira usada é de: a) m b) 9,5 cm c) 90 cm d) 85 cm e) 87,5 cm A função que representa a reta r é f ) = + e a função que representa a parábola é g ) = ). A menor ripa será tal que f ) g ) seja o menor valor. Portanto: h ) = f ) g ) h ) = + + h ) = + + h min ) = 4a h min = 7 8 = 0,875 m = 87,5 cm Alternativa E 9. O volume de ar contido no interior da cabana do problema anterior é igual a: a) 4 m b) 8 m c) m d) 6 m e) 40 m A cabana é um prisma de altura m e área da base + ) S = S trapézio S b = S b = 8 V = 8. V = 4 m 40. O resto da divisão do polinômio 0 pelo polinômio + é: a) b) 0 c) d) 0 0 e) 0 0 P ) = 0 P ) R) + ) Q ) + a + b Se = 0 = 0. Q ) + a + b a + b = I Se = 0 = 0. Q ) + a + b a + b = 0 II Resolvendo o sistema a + b = a = 0 a + b = 04 b = 0 R ) = 0 0 Alternativa E COMENTÁRIO DA PROVA DE MATEMÁTICA A prova de Matemática da ESPM novembro de 007 continuou tradicionalmente a ser trabalhosa e eigiu dos candidatos conhecimento bastante aprofundado da matéria.