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1 Nome: N.º: endereço: data: telefone: Colégio PARA QUEM CURSA O 9 Ọ ANO EM 203 Disciplina: MateMática Prova: desafio nota: QUESTÃO 6 (MACKENZIE ADAPTADO) Dois números naturais tem soma 63 e razão 6. Chamando de x o maior e y o menor desses números então (x + y) (x y) é divisível por: a) 2 e 5 ao mesmo tempo b) somente por 5 c) somente por 3 d) 3 e 5 ao mesmo tempo e) 5 e 6 ao mesmo tempo Se x e y são os números procurados, temos: x + y = 63 x = 6 x + y = 63 (I) x = 6y (II) y Substituindo (II) em (I), temos: 6y + y = 63 7y = 63 y = 9 (menor) Se x = 6y então x = 6. 9 x = 54 (maior) Logo (x + y) (x y) = (54 + 9) (54 9) = = 2835 Todo número que termina em 5 ou 0 é divisível por 5. A soma dos algarismos de 2835 é = 8, que é múltiplo de 3. Se a soma dos algarismos é múltiplo de 3, então esse número é divisível por 3. Resposta: D QUESTÃO 7 Se 25 operários trabalhando 0 horas por dia abriram um canal de 238 metros de comprimento em 7 dias, quantos operários serão necessários para abrir 686 metros do mesmo canal em 25 dias de 7 horas de trabalho? a) 60 operários b) 70 operários c) 80 operários d) 90 operários e) 00 operários

2 Pela técnica operatória da regra de três composta e comparando a grandeza número de operários com as demais, temos: Número de operários Número de horas por dia Comprimento Número de dias x GIP GDP GIP A grandeza número de operários é diretamente proporcional ao comprimento e inversamente proporcional ao número de dias e ao número de horas por dia. Assim, sendo: 25 x =.. =.. x = x = x Resposta: B QUESTÃO 8 Dividindo-se o polinômio x 4 + 2x 3 2x 2 4x 2 por x + 3, obtêm-se: a) x 3 2x 2 + x 2 com resto nulo. b) x 3 2x com resto 6. c) x 3 + x 2 3x + 35 e resto 84. d) x 3 + x 2 3x + com resto 2. e) x 3 x 2 + x 7 e resto nulo. Efetuando a divisão entre os polinômios, temos: x 4 + 2x 3 2x 2 4x 2 x + 3 x 4 3x 3 x 3 x 2 + x 7 x 3 2x 2 Q = x 3 x 2 + x 7 + x 3 + 3x 2 R = 0 x 2 4x x 2 3x 7x 2 + 7x Resposta: E 2

3 QUESTÃO 9 O resultado da expressão: pode ser representado por: a) b) c) d) e) Resolvendo a expressão, temos que: = 32. (34 ) = = = 3 :3 =3 = 3 = = (3 5 ) Resposta: C QUESTÃO 20 Um grupo de astrônomos australianos se deu ao trabalho de contar as estrelas do Uni verso visível. O resultdo é de fazer os matemáticos perderem o fôlego: são 70 sextilhões, ou seja, o número 7 seguido de: a) 9 zeros b) 2 zeros c) 22 zeros d) 25 zeros e) 28 zeros Da direita para a esquerda: as três primeiras casas representam unidades. as três seguintes representam milhares. as outras três representam milhões e assim por diante. 70 sextilhões é assim escrito: sexti- quinqui- quadri- tri- bi- mi- milha- unilhões lhões lhões lhões lhões lhões res dades O número 7 seguido de 22 zeros. Resposta: C 3

4 QUESTÃO 2 O valor numérico da expressão: ab + a + b +, para a = 0,8 e b = 9, é: a 2 + 2a + a),2 b) 20 c) 80 d) 90 e) 00 Fatorando os polinômios, temos: ab + a + b + a (b + ) + (b + ) (b + ) (a + ) a) = = = a a + (a + ) 2 (a + ) (a + ) b + a + b) Para a = 0,8 e b = 9, temos b = = = 00 a + 0,8 + 0,2 Resposta: E QUESTÃO 22 (FGV-SP) Seja n o resultado da operação A soma dos algarismos de n é: a) 8 b) 9 c) 20 d) 2 e) 22 Fatorando a diferença de dois quadrados temos que: = ( ). ( ) = 749. = 749 Assim, n = 749, e a soma de seus algarismos é = 20 Resposta: C QUESTÃO 23 (OBM) De a 2007, a soma de todos os números positivos ímpares menos a soma de todos os números positivos pares é igual a: a) 003 b) 004 c) 2005 d) 2006 e) 2007 A soma de todos os números positivos ímpares até 2007, menos a soma dos números positivos pares até 2007 é: ( ) ( ) = = ( 2) + (3 4) + (5 6) ( ) = = ( ) + ( ) + ( ) ( ) = = vezes Resposta: B 4

5 QUESTÃO 24 (PUC-SP 2004) Pretende-se dividir um salão de forma retangular em quatro salas, também retangulares, como mostra a figura abaixo: Se A, A 2, A 3 e A 4 são as áreas das salas pretendidas e considerando que A + A 2 + A 3 = 36 m 2, A A 2 = 2 m 2 e A 3 = 2. A 2, a área da quarta sala, em metros quadrados, é: a) 4 b) 4,5 c) 4,8 d) 5 e) 5,5 Em metros quadrados, temos: ) A partir da figura, temos: A = a. c A 2 = a. d A 3 = b. c A 4 = b. d Portanto: A. A 4 = a. b. c. d A2. A 3 = a. b. c. d A. A 4 = A 2. A 3 A 2. A 3 A 4 = A (I) 2) Das equações dadas, tem-se: A + A 2 + A 3 = 36 A + A 2 + A 3 = 36 (II) A A 2 = 2 A = 2 + A 2 A3 = 2. A 2 A3 = 2A 2 (2 + A 2 ) + A 2 + 2A 2 = 36 A = 2 + A 2 A3 = 2 A 2 4. A 2 = 24 A = 2 + A 2 A 3 = 2A 2 A = 8 A 2 = 6 A 3 = 2 5

6 3) Substituindo na igualdade (I), vem: 6. 2 A 4 = = 4 8 Resposta: A QUESTÃO 25 ABCDEF é um polígono regular: Podemos afirmar que o suplemento de ^x é igual a: a) ( ) graus b) ( ) graus c) ( ) graus d) (2 4. 5) graus e) ( ) graus Sendo r // s // t, então o ângulo ^x e ^a são congruentes, por serem correspondentes. Sendo ^a um ângulo interno do hexágono regular ABCDEF, tem-se: Soma dos ângulos internos: S i = (n 2). 80 S i = (6 2). 80 S i = S i = 720 Valor de cada ângulo interno: 720 A i = 6 A i = 20 \ x = 20. O suplemento de 20 é igual a = 60, que é igual a ( ) Resposta: B QUESTÃO 26 Os números inteiros a, b, c e d são os maiores possíveis e tais que a < 2b, b < 3c e c < 4d. Se d < 00, então, o maior valor de a será: a) 2367 b) 2375 c) 239 d) 2399 e)

7 ) Se d < 00, então, o maior valor inteiro de d será 99. 2) Se c < 4d e d = 99, então, c < ) Se c < 396, então o maior valor inteiro de c será ) Se b < 3c e c = 395, então b < 85. 5) Se b < 85, então o maior valor inteiro de b será 84. 6) Se a < 2b e b = 84, então a < ) Se a < 2368, então o maior valor inteiro de a será Resposta: A QUESTÃO 27 Quantos dos números abaixo são maiores que 0? 3, 4 7, 5 5, 6 6, 7 2 a) b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Observemos que 0 = 00. Escrevendo os números dados na forma de um único radical, teremos: 3 = 3 2. = = = = = = = = = 98 Se 00 = 0, são maiores que 0 os números 2, 25, 08, num total de três. Resposta: C QUESTÃO 28 Duas retas e uma transversal determinam dois ângulos oposto pelo vértice cujas medidas são 2x 30 e x + 0. As medidas dos ângulos obtusos determinados por uma das paralelas e a transversal é igual a: a) 40 b) 50 c) 0 d) 30 e) 40 7

8 Os ângulos o.p.v possuem a mema medida, sendo assim: 2x 30 = x + 0 x = 40 Logo, os ângulos medem: = = 50 (ângulos agudos) Os ângulos obtusos medem: = 30 Resposta: D QUESTÃO 29 Três semirretas partem de um mesmo ponto, formando três ângulos que são proporcionais aos números, 2 e 3. O suplemento do maior dos ângulos é: a) 80 b) 70 c) 60 d) 50 e) 40 Se as semirretas OA, ææ OB ææ e ææ OC partem de um mesmo ponto, a soma da medida dos três ângulos é igual a 360. Sejam x, y e z os ângulos procurados proporcionais a, 2 e 3 e com soma igual a 360, temos que: x + y + z = 360 x y z = = 2 3 x y z 360 = = = = x + y + z = 360 x y z x + y + z = = =

9 x Então = 0 x = 0 y 2 z 3 = 0 y = 20 = 0 z = 30 O suplemento de 30 (maior ângulo) é igual a = 50 Resposta: D QUESTÃO 30 (OBM ADAPTADO) O gráfico que segue mostra o percentual de acertos numa prova de 60 testes de seis candidatos finalistas de um concurso. O número médio de questões erradas por esses candidatos nessa prova foi de a) 4 b) 24 c) 30 d) 32 e) 40 Se o total de acertos possíveis era de 00%, então: O candidato A errou 80%. 60 = 48 questões O candidato B errou 60%. 60 = 36 questões O candidato C errou 50%. 60 = 30 questões O candidato D errou 30%. 60 = 8 questões O candidato E errou 40%. 60 = 24 questões O candidato F errou 60%. 60 = 36 questões Portanto o número médio de questões erradas por esses candidatos foi: Resposta: D 92 = =

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