o Seu pé direito também na medicina

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Júlio Raminhos Abreu
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1 o Seu pé direito também na medicina UNIFESP 5//00 MTEMÁTIC 0. figura eibe um mapa representando países. Considerando-se como países vizinhos aqueles cujas fronteiras têm um segmento em comum, o número mínimo de cores que se pode utilizar para colori-los, de forma que dois países vizinhos não tenham a mesma cor, é: Observando que o país central faz fronteira com todos os demais, b a a b iniciamos a pintura por este país. b c a Como restam outros países, basta a a a b pintar com outras duas cores b b alternadamente. Portanto o número mínimo de cores é. lternativa B 0. Um recipiente contém um litro de uma mistura de diesel e álcool, na proporção de 0% de diesel e 60% de álcool. Deseja-se modificar esta proporção para 0% de diesel e 70% de álcool, sem retirar diesel. quantidade mínima de álcool, em mililitros, que se deve adicionar à mistura original, considerando que as proporções mencionadas são sempre em volume, é de: CPV unifesp Em litro de mistura 0, litros de diesel 0,6 litros de álcool Para modificarmos essa proporção, devemos acrescentar álcool à mistura, obtendo: em ( ) litros de mistura 0, litros de diesel (0,6 ) litros de álcool 70 0,6 proporção será:, portanto, 00 L Transformando em mililitros: 000. lternativa E 0. No interior de uma sala, na forma de um paralelepípedo com altura h, empilham-se cubos com arestas de medidas,, 9, 7, e assim por diante, conforme mostra a figura. O menor valor para a altura h, se o empilhamento pudesse ser feito indefinidamente, é: 5 7. O empilhamento indefinido constitui a soma das alturas dos cubos infinitamente. altura h será: h a então: h lim S q, 0 < q < h h O menor valor para a altura (h) será lternativa E

2 unifesp - 5//00 o seu pé direito também na medicina 0. seqüência de números naturais (a,, a, a, a 5,, a 7, a 8,...), onde a e a 6, tem a propriedade de que a soma de três termos consecutivos quaisquer é sempre igual a. O mmc(a 0, a ) é: Da seqüência (a,, a, a, a 5,, a 7, a 8,...), cuja soma de três termos consecutivos quaisquer é, podemos obter os seguintes equacionamentos: a a (I) a a (II) a a a 5 (III) a a 5 (IV) Das equações (I) e (II) obtemos que a a. De (III) e (IV), obtemos que a. De (II) e (III), obtemos que a 5. Da equação (IV), substituindo o valor de a 5, obtemos a 6. Como a a, então a 6. ssim, a seqüência será (6,,, 6,,, 6,,...) O termo a 0 equivale ao valor do termo a : a 0. O termo a a, portanto a 6. m.m.c. (, 6) 6 lternativa C 05. Dividindo-se os polinômios p () e p () por obtêmse, respectivamente, r e r como restos. Sabendo-se que r e r são os zeros da função quadrática y a b c, conforme gráfico, o resto da divisão do polinômio produto p (). p () por é: Por simetria, concluímos que a segunda raiz é 7. p () p () r r p () p () r 7 r Do gráfico, temos r e r 7 (raízes da função dad. p (). p () R R p (). p (). 7 Logo R lternativa E 06. Certo dia um professor de matemática desafiou seus alunos a descobrirem as idades, y, z, em anos, de seus três filhos, dizendo ser o produto delas igual a 0. De pronto, os alunos protestaram: a informação. y. z 0 era insuficiente para uma resposta correta, em vista de terem encontrado 6 ternas de fatores do número 0 cujo produto é 0. O professor concordou e disse, apontando para um dos alunos, que a soma y z das idades (em anos) era igual ao número que se podia ver estampado na camisa que ele estava usando. Minutos depois os alunos disseram continuar impossível responder com segurança, mesmo sabendo que a soma era um número conhecido, o que levou o professor a perceber que eles raciocinavam corretamente (chegando a um impasse, provocado por duas ternas). Satisfeito, o professor acrescentou então duas informações definitivas: seus três filhos haviam nascido no mesmo mês e, naquele eato dia, o caçula estava fazendo aniversário. Neste caso a resposta correta é:, 5, 8.,, 0.,, 0.,, 0.,, 5. Do enunciado, as possíveis ternas para. y. z 0 são:,, 0,, 0,, 0, 5, 8,, 0,, 5 5 Pelo fato de a informação y z ainda ter gerado dúvida, conclui-se que a soma só pode ser (as ternas possíveis são ; 5; 8 ou ; ; 0). Como eiste um filho caçula, a resposta só pode ser ; 5; Um engradado, como o da figura, tem capacidade para 5 garrafas. Se, de forma aleatória, forem colocadas 5 garrafas no engradado, a probabilidade de que quaisquer duas delas não recaiam numa mesma fila horizontal, nem numa mesma fila vertical, é: 5! 5! 5! 0! 5! 5! 5! 5! 0! 5! 5! 5! 5! 5! 0! 5! CPV unifesp 005

3 O seu pé direito também na medicina unifesp - 5//00 O número de elementos do espaço 5! amostral é dado por C 5,5 0! 5! O número de elementos do evento é dado por !, pois eistem 5 posições para colocar a primeira garrafa, em qualquer das linhas escolhidas; posições na próima linha, e assim sucessivamente. Portanto P() 5! 5! 0! 5! P() y 08. Dada a matriz,,, 5! 5! 0! 5! a distância entre as retas r e s de equações, respectivamente, det() 0 e det() vale:.. y reta (r) det () 0 y 0 (r) y 0 reta (s) det () y (s) y 0 s retas (r) e (s) são paralelas. Distância entre (r) e (s): d P,s P(0, 0) (r) (s) π 09. Considere as funções dadas por f() sen e g() a b, sendo o gráfico de g fornecido na figura abaio. O valor de f (g ()) é: g() a b (0, ) reta g(0) b, 0 reta g 0 a Logo g() Calculando-se a função inversa: y y g () f [g ()] f f sen π lternativa C 0. Na Figura aparecem as circunferências α, de equação y, e β, de equação y 9. Sabendo-se que as circunferências tangentes simultaneamente a α e a β são como λ (na Figura B) ou λ (na Figura C), Figura Figura B Figura C o lugar geométrico dos centros destas circunferências é dado: pelas circunferências de equações ( ) y e ( ) y. y pela elipse de equação pelas circunferências de equações y e y. pela circunferência de equação y. pelas retas de equações y e y. CPV unifesp 005

4 unifesp - 5//00 o seu pé direito também na medicina Na figura B, o diâmetro da circunferência que tangencia as outras é, portanto os centros destas circunferências estão sobre uma circunferência de centro na origem e raio, cuja equação é y. Na figura C, a circunferência que tangencia as outras duas tem diâmetro igual a, portanto os centros destas circunferências estão sobre uma circunferência de centro na origem e raio, cuja a equação é y. lternativa C. Com base na figura, o comprimento da diagonal C do quadrilátero BCD, de lados paralelos aos eios coordenados, é: Considere as funções: f (), f () log /, f () ( ) ( ) e f () sen() e os gráficos G, G, G e G seguintes. 6 (; 6) (9; 6) (; ) y log (9; ) 9 Baseando-se na figura e aplicando as funções dadas, obtemos: (; ); B (9; ); C (9; 6); D (; 6). Logo, o comprimento da diagonal C é: d C ( 9 ) ( 6 ) 80 d C 5 Das associações entre funções e gráficos, eibidas a seguir, a única inteiramente correta é: f G ; f G. f G ; f G. f G ; f G. f G ; f G. f G ; f G. equivalência entre funções e gráficos é a seguinte: f () corresponde ao gráfico G ; f () log / corresponde ao gráfico G ; f () ( ) ( ) corresponde ao gráfico G ; f () sen () corresponde ao gráfico G. única alternativa coerente é f G ; f G. Imagine uma parede vertical com uma janela retangular, de lados a e b, conforme a figura, onde a é paralelo ao piso plano e horizontal. Suponhamos que a luz solar incida perpendicularmente ao lado a, com inclinação de 60º em relação à parede. Se e representam, respectivamente, as áreas da janela e de sua imagem projetada no piso, a razão vale: CPV unifesp 005

O seu pé direito também na medicina unifesp - 5//00 5 Projetando na parede de trás temos 5. Considere o poliedro cujos vértices são os pontos médios das arestas de um cubo.

5 O seu pé direito também na medicina unifesp - 5//00 5 Projetando na parede de trás temos 5. Considere o poliedro cujos vértices são os pontos médios das arestas de um cubo. sombra E 0º ) janela b D Se DE // BC, então DE No DE temos tg 0º b b b área ab e ab. Então a razão ab ab. figura representa um retângulo subdividido em outros retângulos com as respectivas áreas. O valor de a é: a 9 8 a B Temos. z a (). w 8 () y. z 9 () y. w a () Multiplicando () com () e () com () resulta: C y z w a 8 9 a O número de faces triangulares e o número de faces quadradas desse poliedro são, respectivamente: 8 e 8. 8 e 6. 6 e 8. 8 e. 6 e 6. O número de faces triangulares é igual o número de vértices do cubo, isto é 8. O número de faces quadrangulares é igual o número de faces do cubo, isto é 6. lternativa B COMENTÁRIO DS QUESTÕES DE MTEMÁTIC prova de Matemática da UNIFESP apresentou questões claras, conceituais, que basicamente eigiram dos candidatos interpretação de tetos, análise de gráficos e visão espacial. s questões priorizaram aspectos de raciocínio, evitando memorização de fórmulas, o que é comprovado pelo fornecimento do formulário necessário. Banca Eaminadora foi muito feliz na elaboração desta prova. Parabéns! DISTRIBUIÇÃO DS QUESTÕES DE MTEMÁTIC. z. y. w a. w. y. z 7 lternativa B a 7 a 6 Determinantes Polinômios Equações Contagem Seqüências Probabilidades PG Geometria Plana e Espacial 0% Geometria nalítica Porcentagem Trigonometria 0% Razão e Proporção 0% Funções CPV unifesp 005

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