CPV especializado na ESPM

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1 especializado na ESPM ESPM JULHO/00 PROV E MTEMÁTIC. Uma competição esportiva é realizada de n em n anos (n inteiro e maior que ). Sabe-se que ouve competição nos anos de 9, 99 e 99. ssinale a alternativa que apresenta a próima data dessa competição a partir deste ano. a) 00. b) 0. c) 0. d) 008. e) 009. Como as competições são realizadas de n em n anos, temos uma P de razão n. Como as diferenças: 99 9 = = são múltiplos de, então n =. Portanto, as próimas competições serão em 00, 008, 0,.... Sendo e y números reais positivos, + y = e + y = 0, o valor de + y y é igual a: a). b). c). d) 8. e) 8. + y = + y = 0 Considerando = a e y = b, temos: a + b = a = b () a + b = 0 () Substituindo () em (), temos: ( b) + b = 0 b b + = 0 b b + 8 = 0 Logo b = ou b = Para b = a =. Logo: = = y = y = Para b = a =. Logo: = = y = y = Logo + y y = lternativa. Uma gráfica foi contratada para a impressão de lotes de foletos, um com o dobro da quantidade do outro. No primeiro dia, todas as máquinas trabalaram na impressão do lote maior. No segundo dia, enquanto a metade das máquinas terminou o lote maior, a outra metade trabalou na impressão do lote menor, restando, deste lote, uma quantidade que foi eecutada em outros dias por uma única máquina. Sabendo-se que todas as máquinas trabalaram o mesmo número de oras por dia e que todas têm a mesma capacidade, podemos concluir que o número de máquinas utilizadas foi: a). b) 0. c) 8. d). e). Seja n o número de máquinas e a a quantidade de foletos que cada máquina produz por dia. o dia o dia o dia o dia Foleto () na na/ Foleto () na/ a a Como número de foletos () é o dobro dos foletos () então na + na = na + a na () = na + a n = n + 8 n = 8 máquinas lternativa C. Hoje, a idade de um pai é o quádruplo da idade do seu filo, que tem menos de 0 anos. Daqui a anos, ambas as idades serão epressas por números formados pelos mesmos algarismos, porém, em ordem inversa. Podemos afirmar que á anos atrás, a idade do pai era: a) um número múltiplo de. b) um número múltiplo de. c) o quíntuplo da idade do filo. d) o sêtuplo da idade do filo. e) um número primo.

2 espm 0/0/00 cpv especializado na espm Hoje pai = filo = idade do pai ab = + Daqui a três anos idade do filo ba = + 0a + b = + () 0a + a = + () Fazendo () () temos: 9a 9b = a b = Com < 0 temos: (,, 9,,, 8) a b + 8 9, 8,, 0 9, 8,,, 0 9, 8,,, = + pai 8 pai = á três anos filo filo 9 lternativa C. Se (a, b, c) é uma P de razão r, a seqüência (a, b + r, c ) é: a) uma P de razão r. b) uma P de razão b. r. c) uma P de razão. b. r. d) uma PG de razão r. e) uma PG de razão b. r. Seja (a, b, c) uma P de razão r, temos que a = b r e c = b + r. Da seqüência (a, b + r, c ) temos: ( (b r) ; b + r ; (b + r) ) (b + r br; b + r ; b + r + br), o que caracteriza uma P de razão br. lternativa C. O número de termos da seqüência (,,, 80, 8,..., 00) é igual a: a). b) 8. c) 0. d). e). Observando a seqüência, temos: a = a = + a = + + a = Observando que a soma dos (n ) primeiros números ímpares é (n ) temos: a n = + (n ) = 00 (n ) = 9 n = lternativa E. Utilizando-se os algarismos de 0 a 9, podemos formar números naturais de algarismos. quantidade desses números que não possuem algarismos adjacentes iguais é: a) 90. b). c) 0. d) 00. e) = qualquer qualquer número número eceto o adjacente eceto o zero lternativa ( + ). ( ) 8. o resolver a inequação aluno efetuou as seguintes passagens: ( + ). ( ) > () ( + ). ( ) > () > () > () + < () < () Podemos afirmar que esse aluno >, um a) cometeu um erro apenas, na passagem de para. b) cometeu erros nas passagens de para e de para. c) cometeu erros nas passagens de para e de para. d) cometeu um erro apenas, na passagem de para. e) não cometeu erro algum. Não podemos multiplicar por os lados de uma inequação, pois não sabemos se > 0 ou < 0. Portanto, cometeu erro apenas, na passagem de para. 9. Sendo um número inteiro, o valor do número real y = log ( + ) é: a). b). c) 0. d). e).

3 cpv especializado na espm espm 0/0/00 Z CE { + > 0 e > 0 e Para + + > 0 temos: área do quadrilátero será dada por: C + CE { < < e > e D < < e = ( + ) S CD CD = = ( + 8) = S CD = =, lternativa Mas Z = y = log y = lternativa 0. s soluções em R R do sistema y + y = 0 + y + y = determinam, no plano cartesiano, os vértices de um polígono cuja área vale: a),. b),0. c),. d) 0,. e),0. y + y = 0 y ( + y) = 0 (I) + y + y = y = y (II) Substituindo (II) em (I), temos: ( y). ( + y) = 0 Fazendo + y = t temos: ( t) t = 0 t t + 0 = 0 Resolvendo temos t = ou t =. Se t = + y = então y =. Se t = + y = então y =. + y = (;) ou y= (;) + y = ( ; ) ou y= (;). Os retângulos CD e EFG são congruentes e seus perímetros medem 8 cm. O maior valor que a área sombreada pode ter é: a) 8 cm. b) 0 cm. c) cm. d) cm. e) cm. Como o perímetro dos retângulos medem 8, então se D = então DG = = +. (9 ) = V = = = a má = () + 8. () = cm

4 espm 0/0/00 cpv especializado na espm. Os triângulos C e CD da figura abaio são retângulos. área do triângulo CE, em centímetros quadrados, é igual a:. Um fazendeiro vendeu dois touros pelo mesmo preço. Num deles obteve um lucro de 0% sobre o preço de venda e no outro um prejuízo de 0% sobre o preço de compra. No total, em relação ao preço de custo, esse fazendeiro obteve: a) lucro de. b) prejuízo de. c) lucro de 0%. d) prejuízo de 0%. e) prejuízo de 0%. a),. b). c) 0. d),. e) 0. o touro: L V = 0, V C V = 0, V C = 0, V C = 0, V V = C o touro: L C = 0, C V = 0, C C V = 0,. C V = 0,. C como V = V logo: C = 0, C C = C Total de compras: C + C = C + C = C Total de vendas: V + V = C + C = C α ( H Temos que: + C + C C = 8 cm Temos também que HE ~ CD, logo: H C 0 = = = EH CD Logo HC = C H = 0. Mas do C temos que tg α = =. 8 Por fim, do EHC temos tg α = =. 0 C ( i) = C i = 0% lternativa E. O preço cobrado por um lote de unidades de uma certa peça é dado pela função p () = +, em milares de reais. Um comerciante precisa adquirir 0 unidades dessa peça. Ele fará maior economia se dividir sua compra em: a) lotes de peças. b) lotes de e lote de 0 peças. c) lotes de 0 e lotes de peças. d) lotes de 0 peças. e) lotes de peças. Logo =, EC = 0. = cm.

5 cpv especializado na espm espm 0/0/00 O custo será C = (número de lotes). p (). Se L é o número de lotes, temos: a) para b) para c) para d) para d) para L e = C = () + = L = e = mais L = e = 0 C a = R$ 0 000,00 C b = () (0) + C b = R$ 000,00 L = e = 0 mais L = e = 0 C c = (0) + + () + C c = R$ 0 000,00 L = e 0 Cd = (0) + = 0 C d = R$ 000,00 C e = R$ 0 000,00. Uma urna contém bola branca, bola preta e 8 bolas verdes, distinguíveis apenas pela cor. Essas bolas vão sendo retiradas uma a uma, aleatoriamente e sem retorno, observando-se suas cores. probabilidade de que a cor branca seja a primeira cor a se esgotar nessa urna é de: a) /. b) /90. c) 9/00. d) /. e) /. + P + 8V = 0 bolas (total) e 9 Quaisquer 0. = 9 90 V e e 8 Quaiquer 8.. = V e e Quaiquer 8... = V e e Quaiquer = V e e Quaiquer P = = = = lternativa. Um polinômio que deve ser somado ao polinômio + para que ele se torne divisível por + é: a) +. b). c) +. d). e) +. Dividindo + por + pelo método das Caves, obtemos: Como + deve ser divisível por +, devemos somar para que o resto seja zero. lternativa

6 espm 0/0/00 cpv especializado na espm. Numa pirâmide regular de base quadrada, as arestas laterais medem cm e formam 0º com o plano da base. O volume dessa pirâmide, em cm, é igual a: n a) 8. b) 9. c). d). e) 8. No VO temos sen 0º = = = e cos 0º = O = O = e C = Como C = a a = O volume da pirâmide é V = a= ( ) SbH. = = 8 lternativa E 8. Uma série de n cubos são empilados a partir de um primeiro cubo de aresta, como mostra a figura abaio. medida da aresta de cada cubo, a partir do segundo, é igual a / da medida da aresta do cubo imediatamente inferior. Se considerarmos uma quantidade infinita de cubos, a distância do vértice até o vértice n será igual a: a). b). c). d). e). D O C a V 0º ( a Temos que = (diagonal do quadrado) n = n. n n = = soma de PG infinita de razão q = Portanto TP {( n ) = () + ( n ) ( n ) = ( ) + ( n ) = 8 n = lternativa 9. Os vértices de um quadrilátero são (0, 0); (0, ); C (, ) e D (8, 0). Uma reta passa pelo ponto e divide esse quadrilátero em duas regiões de mesma área. O coeficiente angular dessa reta vale: a). b) /. c) /9. d) /. e) /. Considere a seguinte figura: y ) θ C P (, ) r D (8, 0)

7 cpv especializado na espm espm 0/0/00 área S do quadrilátero CD pode se calculado por: ( ) S = S = 8 Dessa forma a área do PD deve medir. 8. = = Como P(, ) pertence à reta CD suur de equação y = + 8 temos: = + 8 = 9 Dessa forma o coeficiente angular da reta r é: m = tg θ = 9 m = 9 lternativa C 0. região do primeiro quadrante do plano cartesiano, determinada pela inequação + y + y + + y tem área igual a: a). b). c). d) 8. e). + y + y + + y e I o Q + y + y y + 0 e I o Q ( + y) ( + y) + 0 e I o Q Soma = Produto = + + y = ou + y = + + y + y e I o Q + y e + y e I o Q y Área =.. Área = 9 = lternativa E COMENTÁRIO D PROV DE MTEMÁTIC prova de Matemática da ESPM foi, como nos semestres anteriores, bastante conceitual, que eigiu do candidato um conecimento aprofundado da matéria, assim como uma boa interpretação de alguns enuncaidos. s questões acabaram por compensar os esforços desprendidos por aqueles que se prepararam para o tipo de prova característica da ESPM. DISTRIUIÇÃO DS QUESTÕES Logarítmos Polinômios Função Geometria Espacial Inequações Seqüências, P e PG Geometria Plana 0% Geometria nalítica Juros e Porcentagem Probabilidades e Combinatória 0% Sistemas e Equações 0%