UFSC. Matemática (Violeta) 21) Resposta: 38. Comentário. 01. Incorreta. f(0, 3) = f(0, 4) = Correta. m < 0 m 1 2 < 0.

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1 UFSC Matemática (Violeta) 1) Resposta: Incorreta. f(0, ) = f(0, ) = 0 0. Correta. m < 0 m 1 < 0 1 Logo, f m = m 1 m 1 < m 1 < m 0. Correta. Pela função f(x) = x x z 08. Incorreta. Im(f) = z 16. Incorreta. f(0, 5) = 0, mas f( 0, 5) = 1. Correta. Veja o exemplo: De a a soma das áreas é: S = De 5 a 5, teremos: S = Logo, de n a n, teremos S = n +. [ n 1] ( 1+ n 1). n 1 S = n +. S = n + n n S = n ) Resposta: Correta. Perímetro da base = 10,5 h = 1 S =.,5. 1 S = 0,5 cm 1

2 0. Correta. f(x) = x cos x raízes: x = cos x Graficamente, Como os gráficos se interceptam em dois pontos, a equação x = cos x possui duas raízes reais. 0. Correta. A. B não é inversível, pois: 1 A = B = AB = = det (A. B) = = = 0 Como det (A. B) = 0, então (AB) não é inversível. 08. Correta. M = C. (1 + i) t M = (1 + 0,01) M = (1,01) M = ,0001 M = 100, Incorreta. tg π + sec 1 π = 1 Cálculo da MDP π 16 π 7π = + 1 π 1 π π = + Portanto: tg 7 π + sec π ( 1) + ( ) =. Incorreta. log (cos x) = 1 cos x = Como 1 cos x 1, não existe solução.

3 ) Resposta: Correta. O volume do octaedro regular pode ser calculado como o volume de duas pirâmides: V =. 1. S b. H R = 6 A diagonal d corresponde ao diâmetro da esfera. d = R =. 6 = 1 1 =. = 6 S b = área da base H = altura S b = H = R S b = (6 ) H = 6 S b = 7 V = V = Correta. BD//EC Provar que A ABCD = A ADE Como a região A DPB é comum, vamos provar que A 1 = A. Considere os triângulos ECB e ECD, observe que possuem a mesma base EC e que suas alturas são a distância entre os segmentos paralelos BD // EC, assim A ECB = A ECD. Como ECB e ECD possuem a região ECP em comum, temos que A 1 = A. 0. Correta. Traçando uma mediana a partir de B em AC: Temos uma propriedade que segundo a qual a mediana divide o triângulo ABC em dois triângulos de mesma área: S ( ABX) = S ( BXC), portanto, a área de EMC é menor que a metade da área total.

4 08. Correta. Considere o quadrilátero ABCD Em ABD, α + θ + γ = 180 o Em BCD, β + θ + γ = 180 o Logo, α = β α = β Daí concluímos que γ = θ. Como x = 60 o x = 90 o Assim, as diagonais são perpendiculares. Além disso, ABP e APD são semelhantes com um lado em comum. Logo são congruentes. Daí concluímos que PB = PB e AB = PC. Com diagonais perpendiculares no ponto médio, temos um losango. 16. Incorreta. Em CQP, temos QP = PC = CQ =. Em PBN, sen 60 o = x = x x = Como x, P não é ponto médio. ) Resposta: 8 Descontos sucessivos de 10% e 0%. Valor inicial: x Desconto de 10% Novo valor 90%x Desconto de 0% Novo valor 80%(90%x) = 7%x Desconto acumulado de 8%

5 5) Resposta: Correta. S = 1, 1 0. Incorreta. 5 < + 6, elevando-se ambos os membros ao quadrado: ( 5 ) < ( + 6 ) 0 < < < 6 elevando ao quadrado: 10 < ( 6 ) 100 < Correta. Observe que: 1 = 1 = = = Portanto, existem 1000 naturais quadrados perfeitos de 1 a Incorreta. 0, ,... = 1 + 0, = = =. = Correta. Observe o que ocorre numa sequência mais curta. (1 1. 1!). (.!). (.!) (1.. ). (1.. ). (1.. ). (1.. ) (!) O raciocínio é análogo para (1 1. 1!). (.!)..... ( !) = (10!) 11. Correta. Observe que para a e b R, a e b positivos. (a b) 0 a ab + b 0 a + b ab (ab) a b + b a 5

6 6) Resposta: Incorreta. Resto da divisão de P(x) por x + k Pelo teorema do resto temos: resto = P( k). 0. Correta. P(x) = x n + a n 1. x n a 1 x + a 0. Se 1 + a n a 1 + a 0 = 0, então P(1) = 1 + a n a 1 + a 0 = Incorreta. Dois polinômios são idênticos quando os termos de mesmo grau possuem os mesmos coeficientes, e não por possuírem as mesmas raízes. Se: P(x) = a 1 x n + a x n a n m(x) = b 1 x n + b x n b n Então: P(x) m(x) a 1 = b1 a = b a n = bn 08. Correta. P(x) = K(x). Q(x) Se α é raiz de K(x), então: P(α) = K(α). Q(x) P(α) = 0. Q(x) P(α) = 0 Isto é, α é raiz de P(x). 16. Correta. 7) Resposta: Correta. m r = tg (π α) ± 1 m s = tg α = tg(π α) = 1 Logo, a equação de s é y = x. 6

7 0. Correta. Se (a, b) pertence à reta x y = 0 a b = 0 a b S = = 5 S = ( = b a b) 1 1 a b = 0. b a = 9 b = 18 b = 6 a = 6 a = (, 6) = (a, b) a + b = 9 a b = 0 ou b a = 11 b = b = a = b a = a = 11 11, = (a, b) Mas o ponto (a, b) 1 o quadrante. Portanto, (, 6) = (a, b) a + b = Correta. f: [0, 5] R, f(x) = x +, 0 x 8 x, < x 5 S = A 1 + A S = + 6 S = 8 u.a. 08. Correta. C 1 R 1 = 9 cm C R = cm C R = 1 cm Logo: R1 R 9 R = = =,5 cm Portanto: d(c, C ) = R + R = 1 +,5 =,5 cm 7

8 16. Incorreta. x + y 6x y + 1 = 0 C(, ) 9 + R = 1 R = 1 Observe que se b = 1 <, então y = x, que não tem ponto em comum com a circunferência. De outro jeito: y = bx x + y 6x y + 1 = 0 Substituindo, temos: x + b x 6x bx + 1 = 0 (1 + b )x + ( 6 b)x + 1 = 0 (*) Para que se tenha pelo menos um ponto em comum, a equação (*) deve ter 0. ( 6 b). (1 + b ) b + 16b 8 8b 0 b + 8b 1 0 ( ) 8b 1b + 0 = = 8 b = 1 ± ± b = 16 ± b = Devemos ter + < b <. 8) Resposta: Incorreta. A Copa ocorre de em anos, portanto, temos uma P.A.: {1950, 195, 1958,..., 01} a n = a 1 + (n 1)R 01 = (n 1). 6 = (n 1). n 1 = 6 n 1 = 16 n = Incorreta. A+ G= 5 A = 5 A =. G 5 5 G = G 5 5 5G = G 5 = 9G G = 5 G 8

9 0. Correta. log (log x) < 1 Condição de existência: x > 0 log x > 0 x > 1 log (log x) < 1 log x < 10 x < < x < Se 1 < x < 10 10, então x < Correta. L(x) = x x b ( 18) xv = xv = = 7 a ( 1) 16. Incorreta. V i = K. r Reduzindo r à metade, o novo volume será: V V f f r = K. r = K. 16 Isso significa que V f Vi =. 16. Incorreta. x+ py z = 1 x+ y z = com p = x+ y z = 1 x+ y z = Como o número de equações é menor que o número de variáveis, o sistema será indeterminado ou impossível. Como as equações não são proporcionais, o sistema é impossível x+ y z = 1 () ou perceba: x+ y z = = = x+ y z = 1 Fazendo 1 x+ y z = 0 = 1, o que é um absurdo. 6. Correta , Logo, o aumento foi de,%, aproximadamente. 9) Resposta: Incorreta. Espaço amostral: Soma menor ou igual a 6 P =

10 0. Incorreta = Correta. 1 x + x T T T = x = 50 x 100 = x x Incorreta. {F, A 1, A, A, A, A 5, A 6 } F,,, 6! C 6 = = 0!! 16. Correta M = 0! M = M = M = , que é inteiro.. Incorreta. S O R T E P 5. P 10. () = 7 0) Resposta: 1 Outro jeito: Pitágoras Em APM: AM = 1 Assim, x = 1 10 Usando potência de ponto COP: ( CO) = (CP). (CQ) x = x = 1 x = 1