CPV o cursinho que mais aprova na fgv

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1 8 fgv 04//0 CPV o cursinho que mais aprova na fgv 6. Sendo m um número inteiro, considere a equação polinomial m 4 = 0, na incógnita, que possui uma raiz racional entre - 4 e -. Nessas condições, a menor raiz irracional da equação é igual a a) 7. Arestas opostas de um tetraedro são arestas que não têm ponto em comum. Um inseto anda sobre a superfície de um tetraedro regular de aresta 0 cm partindo do ponto médio de uma aresta e indo para o ponto médio de uma aresta oposta à aresta de onde partiu. Se o percurso foi feito pelo caminho mais curto possível, então o inseto percorreu a distância, em centímetros, igual a b) c) - d) e) Notamos que uma raiz racional é zero. Utilizando o Teorema das Raízes Racionais e o enunciado que indica a outra raiz racional entre 4 - e -, concluímos que a outra raiz racional é -. Do dispositivo de Briott-Ruffini, temos: m m 4 0 A a) 0 b) c) 0 d 0 e) No tetraedro ABCD, planificamos duas faces: C C N D A M M 0 B B Como MN une os pontos médios de dois lados opostos do losango ABCD, deduzimos que: 0 N D - 0 m - m 4 = 0 Þ m = 6 Daí: 6 = 0 = = ± Portanto, a menor raiz irracional é. Alternativa B MN = AC = BD = 0 cm. Alternativa D CPV FGVFDEZECO

2 CPV o cursinho que mais aprova na fgv Fgv 04// O polígono do plano cartesiano determinado pela relação + 4y = tem área igual a a) 6. b). c) 6. d) 4. e). Temos, para cada quadrante: o quadrante: + 4y = o quadrante: + 4y = o quadrante: 4y = 4 o quadrante: 4y = Com o que formamos o gráfico do losango: y 9. Dois números distintos m e n são retirados aleatoriamente do conjunto {,,,..., 0 }. A probabilidade de que log m n seja um número inteiro é: a) b) c) d) e) Temos que eistem 0. 9 = 90 pares ordenados (m; n) em que m e n são elementos distintos do conjunto {,,,..., 0 }. Se m =, há 9 pares ordenados (m; n) em que log m n é um número inteiro, a saber: 4 4 {( ; ), ( ; ), (, 4 ),..., ( ; 0 )}. Analogamente, se m =, há 4 pares ordenados (m; n) em que log m n é um número inteiro, a saber: {( ; 4 ), ( ; 6 ), (, 8 ), ( ; 0 )}. cuja área é: 8. 6 = 4 Alternativa D Da mesma forma, nas condições necessárias: se m = há pares (m; n); se m = 4 há par (m; n) e se m =, há par (m; n). Assim, a probabilidade pedida é = Alternativa B FGVFDEZECO CPV

3 0 fgv 04//0 CPV o cursinho que mais aprova na fgv 0. Em um triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em B, AC = 48, BP = 9, sendo que BP é a altura de ABC com relação ao vértice B. Nessas condições, a medida do ângulo A ^CB é: a) º ou 7º. b) 0º ou 70º. c),º ou 67,º. d) 0º ou 60º. e) 4º.. Um ralador de queijo tem a forma de cone circular reto de raio da base 4 cm e altura 0 cm. O queijo é ralado na base do cone e fica acumulado em seu interior (figura ). Desejase retirar uma fatia de um queijo com a forma de cilindro circular reto de raio da base 8 cm e altura 6 cm, obtida por dois cortes perpendiculares à base, partindo do centro da base do queijo e formando um ângulo α (figura ), de forma que o volume de queijo dessa fatia corresponda a 90% do volume do ralador. Observe a figura a seguir, em que α = m (A ^CB). B A 4 Aplicando as relações métricas ao triângulo retângulo ABC, temos: (BP) = AP. PC Þ 9 = (4 ). Þ = 0 Þ = ou = Assim, no ΔBPC, resulta que: tg α = Þ tg α = Portanto, α = 60º ou α = 0º P = ou tg α = = α C Alternativa D Nas condições do problema, α é igual a a) 4º. b) 0º. c) º. d) 60º. e) 6º. Como o volume do cilindro deve ser 90% do volume do cone, temos: V cone = V cilindro 9 0. π (4). 0 = α = 4º a 60º. π (8). 6 Alternativa A CPV FGVFDEZECO

4 CPV o cursinho que mais aprova na fgv Fgv 04//0. O termo independente de do desenvolvimento de + é: a) 6. b) 69. c) 0. d) 80. e) 0. Os termos do desenvolvimento de T p+ = p p.. p Como se pede o termo independente de, temos: p p. = 0 Þ 4p 6 = 0 + são dados por:. Duas pessoas combinaram de se encontrar entre h e 4h, no eato instante em que a posição do ponteiro dos minutos do relógio coincidisse com a posição do ponteiro das horas. Dessa forma, o encontro foi marcado para as horas e a) minutos. b) 4 minutos. c) minutos. d) 6 minutos. e) 8 minutos. Observe a figura a seguir que mostra o horário do encontro. β Assim: 4p 6 = 0 p = 9 Dessa forma: 0º α T 0 = 9 =!! 9! = 0 Alternativa C Consideremos que o horário do encontro seja às h e min. Devemos, agora, aplicar uma regra de três para determinar o ângulo α que o ponteiro das horas se deslocou em minutos. ponteiro das horas (graus) ponteiro dos minutos (minutos) 0 60 α Logo: α = º Como cada minuto representa um deslocamento de 60 º 60 no ponteiro dos minutos, o ângulo β da figura é 6º. = 6º Desta forma: β = 0º + α Þ 6º = 0º + º Þ = min. Alternativa C FGVFDEZECO CPV

5 fgv 04//0 CPV o cursinho que mais aprova na fgv 4. As cordas AB e CD de um círculo são perpendiculares no ponto P, sendo que AP = 6, PB = 4 e CP =.. O valor de y no sistema de equações sen0º cos 0º y = sen 0º é: sen0º + cos 0º y = sen0º a) 4 b) c) O raio desse círculo mede a). b) 6. c). d) 4. e). Observe a figura a seguir: d) e) 4 Por Cramer, temos: D = sen 0º -cos 0º sen 0º cos 0º = = sen 0º. cos 0º + sen 0º. cos 0º = sen (0º + 0º) = sen 60º R D = 6 4 O D y = sen 0º sen 0º sen 0º sen 0º sen 0º sen 0º = + sen 0º sen 0º = A partir da potência do ponto P, obtemos: PA. PB = PC. PD Þ 6. 4 =. PD Portanto, y = Dy 4 = = = D 4 Alternativa A PD = Ao aplicar o Teorema de Pitágoras aos triângulos ACP e APD, obtemos: AC = + 6 = 0 AD = 6 + = 6 A partir da Lei dos Senos no ΔACD, obtemos: AC sen ADC ( ) = R Þ 0 PA AD = R R = Alternativa E CPV FGVFDEZECO

6 CPV o cursinho que mais aprova na fgv Fgv 04//0 6. O número compleo z = a + bi, com a e b reais, satisfaz z + z = + 8i, com a + bi = a + b. Nessas condições, z é igual a a) 68. b) 00. c) 69. d) 08. e) Um total de N famílias (N 0) foram questionadas sobre quantos aparelhos eletrônicos possuem na cozinha da sua residência. Todas as famílias responderam corretamente à pergunta. Os dados tabulados são: Devemos ter: a + bi + a + b = + 8i a a b + + = a a + = 8 b = 8 b = 8 Logo: z = 8 + ( ) = 89 a = b = 8 Alternativa E De acordo com os dados, o menor valor possível de N é: a). b). c) 8. d) 6. e). A tabela dada corresponde a: Total de aparelhos eletrônicos na cozinha 0,% = 8 Frequência 0 0% = 4 % = 4,% = 8 MMC (, 8, 4) = 8 Então N é múltiplo de 8, dentre os quais o menor valor é 8. Alternativa C FGVFDEZECO CPV

7 4 fgv 04//0 CPV o cursinho que mais aprova na fgv 8. O país fictício Trol possui moeda denominada tol, cuja abreviação é TL$. As casas de câmbio no Brasil compram TL$,00 por R$,00 e vendem esse mesmo TL$,00 por R$,40. Já as casas de câmbio em Trol compram R$,00 por TL$ 0,4 e vendem R$,00 por TL$ 0,. Desconsiderando taas e impostos, e admitindo ser possível o câmbio de qualquer fração de dinheiro, para um turista brasileiro que pretende trocar reais por tols na ida da viagem (operação A), e tols por reais na volta (operação B), será mais vantajoso fazer a) A no Brasil e B em Trol. b) A em Trol e B no Brasil. c) A e B no Brasil. d) A e B em Trol. e) A no Brasil e B indiferentemente em Trol ou no Brasil. Operação A: Brasil: R$,40 TL$,00 Trol: R$,00 TL$ 0,4 Þ Þ R$,40 TL$ 0,4.,40 = TL$,008 Portanto, a operação A em Trol é mais vantajosa, pois com a mesma quantidade de reais adquire-se mais tols. Operação B: Brasil: TL$,00 R$,00 Þ Þ TL$ 0, R$,00. 0, = R$,04 Trol: TL$ 0, R$,00 Portanto, a operação B é mais vantajosa no Brasil, pois com a mesma quantidade de tols adquire-se mais reais. Alternativa B 9. Acredita-se que na Copa do Mundo de Futebol em 04, no Brasil, a proporção média de pagantes, nos jogos do Brasil, entre brasileiros e estrangeiros, será de 6 para 4, respectivamente. Nos jogos da Copa em que o Brasil não irá jogar, a proporção média entre brasileiros e estrangeiros esperada é de 7 para, respectivamente. Admita que o público médio nos jogos do Brasil seja de 60 mil pagantes, e nos demais jogos de 48 mil. Se ao final da Copa o Brasil tiver participado de 7 jogos, de um total de jogos do torneio, a proporção média de pagantes brasileiros em relação aos estrangeiros no total de jogos da Copa será, respectivamente, de 4 para a) 6. b). c) 8. d). e) 09. nº ( Br ) Em jogos do Brasil: nº ( Est ) = 6 4 n o (Br) = 6k 6k + 4k = Þ k = n o (Est) = 4k Logo, n o (Br) = e n o (Est) = Nos demais jogos: n º ( Br ) nº ( Est ) = 7 n o (Br) = 7k 7k + k = Þ k = n o (Est) = k Logo, n o (Br) = e n o (Est) = jogos M (Br) = 7 com Brasil 7 sem Brasil = M (Est) = = razão: M( Br ) M( Est ) = = 4 09 Alternativa E CPV FGVFDEZECO

8 CPV o cursinho que mais aprova na fgv Fgv 04//0 0. A função polinomial P () = + a + b + c tem a propriedade de que a média aritmética dos seus zeros, o produto dos seus zeros e a soma dos seus coeficientes são todos iguais. Se o intercepto do gráfico de y = P () com o eio y ocorre no ponto de coordenadas (0; ), b é igual a a). b). c) 9. d) 0. e). Sejam, e os zeros da função mencionada. Por Girard: + + = a e.. = c COMENTÁRIO DA PROVA A prova de Matemática do processo seletivo da FGV Economia (Dez/0) mostrou-se, como de costume, uma prova difícil e cansativa. Mesmo com a incidência de algumas questões de resolução mais imediata, acreditamos que muitos candidatos bem preparados tiveram dificuldade em mostrar seu potencial, ainda mais com problemas na administração do tempo. Estes fatores poderão, eventualmente, favorecer o candidato menos preparado, ocasionando distorções na eficiência do processo seletivo. Torcemos para que a banca eaminadora consiga contornar estes possíveis problemas na a fase e, com isso, alcançar seus objetivos. + a + b + c = - a Devemos ter: Þ a = c, + a + b + c = c sendo c =, pois P(0) = c Logo: a = 6; c = e b = Alternativa E FGVFDEZECO CPV