GABARITO IME. Matemática

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1 GABARITO IME Matemática

2 Sistema ELITE de Ensino IME - 04/05 Questão 0 GABARITO COMENTADO Os inteiros a, a, a,..., a 5 estão em PA com razão não nula. Os termos a, a e a 0 estão em PG, assim como a 6, a j e a 5. Determine j. a, a, a estão em PG a a a j 5 j 6 5 a, a, a estão em PG a a a ( a r) a ( a 9 r) a a r r a 9a r r 7a r, r 0 r 7a a6 a 57a 6a aj 6 69 a aj 6 a a a 4 7a 69a 5 a ( j ) 7a 78a 7 j j 84 j Questão 0 Sejam funções f n, para n 0,,,..., tais que: f Calcule f 06 (06) 0 e f f f n para n. 0 n, f f f f0 f f f f... f uma vez que 06 é múltiplo de Analogamente, f

3 Sistema ELITE de Ensino IME - 04/05 Questão 0 Z Seja Z um número compleo tal que possui argumento igual a Zi log (Z Z ). Determine o número compleo Z. Seja Z = rcis log (Z Z ) rcisθ+r cis( θ) + = 9 4rcosθ =8 r cos θ cosθ>0 Z (cosθ+ i senθ) = + i tgθ cos θ Z rcisθ cis ( ) Zi rcis( θ) cis 5 5 k + k tg = tg OBS:,, mas como cos > 0 temos tgtg 8 = tg 8 tga a tg a tg a tga = 0 8 tg a 8 tga tg = ( ) Z ( ) i 4 e Questão 04 Define-se A como a matriz 06 06, cujos elementos satisfazem à igualdade: i j ai, j, para i, j {,,...,06}. j Calcule o determinante de A. Define-se A como a matriz 06 06, cujos elementos satisfazem à igualdade: i j ai, j,para i, j,,...,06. j Calcule o determinante de A.

4 Sistema ELITE de Ensino IME - 04/ det A Jacobi: substituindo cada linha por ela menos a anterior temos: det A Laplace na ª coluna: det A Aplicando novamente Jacobi (substituindo cada linha por ela menos a anterior): 4

5 Sistema ELITE de Ensino IME - 04/ det A Aplicando novamente Laplace na ª coluna: det A Continuando este processo teremos: det A det A det A

6 Sistema ELITE de Ensino IME - 04/05 Questão 05 Determine o conjunto solução da equação: (sen )( tg tg ) 4 cot g Condições de eistência: tg : k tg : k cot g : k sen sen sen tgtg 4 cot g sen 4 cot g cos cos cos cos sensen cos sen 4 cotg sen 4 cotg cos cos cos cos cos sen 4 cotg tg 4 cotg tg cotg 4 cos cos sen cos sen cos 4 4 sen cos sen cos sen sencos sen k k 6 ( k z ) 5 5 k k 6 6

7 Sistema ELITE de Ensino IME - 04/05 Questão 06 Seja a equação n 7m = (5m n) Determine todos os pares inteiros (m, n) que satisfazem a esta equação. n 7m 5m n 49 n 7m 5m 0mn 4n 49 m 0mn n 49 0 m 0mn n 49 n m n m n m m n n 4m 49 m 7 Caso : 8 m n n 99 n 4m m Caso : 8 m n 49 n 5 n 4m 49 m 7 Caso : 8 m n n 99 n 4m m 4 Caso : 8 m n 49 n 5 n 4m 7 m 7 5 Caso : 8 m n 7 n n 4m 7 m 7 6 Caso : 8 m n 7 n Questão 07 Três jogadores sentam ao redor de uma mesa e jogam, alternadamente, um dado não viciado de seis faces. O primeiro jogador lança o dado, seguido pelo que está sentado à sua esquerda, continuando neste sentido até o jogo acabar. Aquele que jogar o dado e o resultado for 6, ganha e o jogo acaba. Se um jogador obtiver o resultado, o jogador seguinte perderá a vez, isto é, a vez passará ao jogador sentado à direita de quem obteve. O jogo seguirá até que um jogador ganhe ao tirar um 6. Qual é a probabilidade de vitória do primeiro jogador a jogar? Seja a probabilidade do lançador ganhar Seja y a probabilidade do seguinte ganhar Seja z a probabilidade do mais afastado do lançador ganhar 7

8 Sistema ELITE de Ensino IME - 04/05 Vamos recalcular P(A), P(B) e P(C) analisando o que acontece após o lançamento y z 6 6y 4 z 6(6y 4 ) 4y 6z 4y z= y 6 6 y 4 = 4y + 5 y= 5 z 6 4 z = 5 79 = 79 Questão 08 A circunferência C tem equação + y = 6. Seja C uma circunferência de raio que se desloca tangenciando internamente a circunferência C, sem escorregamento entre os pontos de contato, ou seja, C rola internamente sobre C. C C C C P α P Figura a Figura b 8

9 Sistema ELITE de Ensino IME - 04/05 Define-se o ponto P sobre C de forma que no início do movimento de C o ponto P coincide com o ponto de tangência (4,0), conforme figura a. Após certo deslocamento, o ângulo de entre o eio e a reta que une o centro das circunferências é, conforme figura b. Determine as coordenadas do ponto P marcado sobre C em função do ângulo. Determine a equação em coordenadas cartesianas do lugar geométrico do ponto P quando varia no intervalo [0, ). a. Há dois modos de medir o caminho realizado por P, pela circunferência maior ou pela menor, igualando as duas obtemos: r =r 4= θ 9

10 Sistema ELITE de Ensino IME - 04/05 cos sen( 90) cos cos 4cos y y y P sen cos( 90) sen sen 4sen (4 cos, 4sen ) b. y cos e sen 4 4 cos sen y 4 4 Questão 09 Uma corda intercepta o diâmetro de um círculo de centro O no ponto C segundo um ângulo de 45. Sejam A e B os pontos etremos desta corda, e a distância AC igual a cm. O raio do círculo mede cm, e C é a etremidade do diâmetro mais distante de C. O prolongamento do segmento AO intercepta BC em A. Calcule a razão em que A divide BC. a Lei dos Senos no AOC ' : AC ' AO 6 sen sen 75 sen sen45 sen 4 de Áreas: ou 05Razão ' ' S A OB S A OC y y OA'. OBsen60º sen60º OA'. OC sen05º y sen05º y y 6 6 y y 0

11 Sistema ELITE de Ensino IME - 04/05 a Sendo AÔC = e aplicando lei dos senos em AOC temos: ( ) sen sen 45 sen sen Daí = 75 ou = Onde = 75 não serve pois o triângulo AOB deveria ser equilátero o que não é possível, logo, = 05 e daí OAC = 0. AC ' SAA' C Traçando AC temos AÔC = 75 e AB ' S AA' B Fazendo OÂC = e aplicando lei dos senos em AOC, temos: AC sen75 sen = sen sen75 AC I S AA' C AC AA' sen AB AA' sen0 S AA' B S S AA' C AA'B AC AA' sen AB AA' sen0 AC sen AB sen0 II

12 Sistema ELITE de Ensino IME - 04/05 Fazendo I em II 6 AC sen AC AB sen0 AB AB Por potência de ponto BC ' e AB. Logo, A' B 6 6 AC ' 6 6 Questão 0 Um cone é inscrito em um cubo ABCDEFGH de forma que a base do cone é o círculo inscrito na base ABCD. O vértice do cone é o centro da face oposta do cubo. A projeção do vértice H na base ABCD coincide com o vértice D. Determine a área da seção do cone pelo plano ABH em função de a, a medida da aresta do cubo. a Ecentricidade = cos cos

13 Sistema ELITE de Ensino IME - 04/05 Eio maior da elipse= MM

14 Sistema ELITE de Ensino IME - 04/05 M' N a / M' N MM ' a a a a Semi-eio maior da elipse a c cos cos 45 / 0 e a cos a / a 5 / / a a 5 c 4 6 5a a a a be ce ae be be b a a a 6 Área ae be 6 8 E a a Após encontrarmos a e, usaremos que o foco é o ponto de contato entre o plano de corte e a esfera que tangencia as geratrizes do cone e o plano de corte (teorema de Dandelin) M F = semi-perimetro OM 4

15 Sistema ELITE de Ensino IME - 04/05 a 5 OM MM ' a a 5 a 5 OM ' 6 a 4a 5 a 5 M' F 6 a a 5 6 a a 5 ae ce 6 a a ce a 5 a 5 ce 6 6 5a a a a be be be a a a 6 área 6 8 5

16 Sistema ELITE de Ensino IME - 04/05 Comentário: Apesar de não ser uma novidade encontrar uma prova do IME de Matemática muito difícil, vale ressaltar que a deste ano foi particularmente ainda mais difícil que as dos anos anteriores. A prova tinha apenas duas questões fáceis (as duas primeiras) e outras duas médias (a questão, de Números Compleos, e a 8, de Geometria Analítica). Ecetuandose essas questões, a prova não tinha nada de tão tranquilo. A questão 5, de Trigonometria, era factível, porém era necessário escolher o caminho correto para não se perder em grandes contas. Os outros cinco problemas restantes foram considerados difíceis. É possível que, devido ao alto nível da prova, haja poucos aprovados para o restante do processo seletivo. Professores André Felipe Bruno Pedra Jean Pierre Marcelo Xavier Ricardo Secco Rodrigo Menezes Tuane Viana 6