Questão 1. Questão 2. Resposta. Resposta

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Isadora Veiga Aldeia
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1 Questão Um tapete deve ser bordado sobre uma tela de m por m, com as cores marrom, mostarda, verde e laranja, da seguinte forma: o padrão quadrado de 8 cm por 8 cm, mostrado abaio, será repetido tanto na horizontal quanto na vertical; e uma faia mostarda, de cm de largura, será bordada em toda a volta do tapete, como na figura b) A área mostarda no padrão é igual à área de dois triângulos de base 6 e altura 9, ou seja, A borda tem área igual à diferença entre as áreas de quadrados de lados 90 cm e 80 cm, ou seja, (90 80)( ) 700 cm Logo a área mostarda total no tapete é cm e, sendo número mínimo de novelos procurado é,7,o Questão Um comerciante compra calças, camisas e saias e as revende com lucro de 0%, 40% e 0% respectivamente O preço que o comerciante paga por uma calça é três vezes o que ele paga por uma camisa e duas vezes o que ele paga por uma saia Um certo dia, um cliente comprou duas calças, duas camisas e duas saias e obteve um desconto de 0% sobre o preço total a) Quanto esse cliente pagou por sua compra, em função de? b) Qual o lucro aproimado, em porcentagem, obtido pelo comerciante nessa venda? a) Qual o tamanho do maior tapete quadrado, como descrito acima, que pode ser bordado na tela? Quantas vezes o padrão será repetido? b) Se com um novelo de lã pode-se bordar 400 cm, qual é o número mínimo de novelos de lã mostarda necessário para confeccionar esse tapete? a) Para obtermos um tapete quadrado, utilizamos n cópias do padrão, n N Considerando ainda a borda de cm, obtemos um tapete quadrado de lado 8n + cm, que deve ser menor ou igual do que m 00 cm Assim, 8n + 00 n 0 e, portanto, o maior tapete quadrado que pode ser bordado na tela tem lado cm O padrão será repetido n 00 vezes O preço pago pelo comerciante por uma camisa é e por uma saia é a) O comerciante vende cada calça por ( + 0%),, cada camisa por ( 40%),4 + e cada saia por ( 0%), + Assim, na compra, considerando o desconto de 0% dado, o cliente pagou,,4, + + ( 0%) 4,7 b) O comerciante pagou, pelas calças, camisas e saias, + +

2 matemática 4,7 A porcentagem de lucro obtida é,7% sobre o preço de custo Questão Uma função f satisfaz a identidade f(a) af() para todos os números reais a e Além disso, sabe-se que f(4) Considere ainda a função g() f( ) + para todo número real a) Calcule g() b) Determine f(), para todo real c) Resolva a equação g() 8 a) g() f( ) + f() + f 4 + f(4) + + b) Substituindo a por 4, temos: f(4) f( 4) 4 f() f(4) 4 f() f() c) g() 8 f( ) V {} Questão 4 A reta s passa pela origem O e pelo ponto A do primeiro quadrante A reta r é perpendicular à reta s, no ponto A, e intercepta o eio no ponto B e o eio y no ponto C Determine o coeficiente angular de s seaáreadotriânguloobcforotriplodaáreadotriângulooab Temos área OBC área OAB BC OA AB OA BC AB Logo AC BC AB AB AB AB Pelas relações métricas no triângulo retângulo OBC, OA AB AC OA AB AB OA AB AB AB Logo, no triângulo OAB, tg α OA AB e, portanto, o coeficiente angular de s é Questão Na figura abaio, O é o centro da circunferência de raio, a reta AB é secante a ela, o ângulo β mede 60 o esenα 4 a) Determine sen OAB em função de AB b) Calcule AB a) Aplicando a lei dos senos ao triângulo OAB, AB OB OB senα sen(oab) senα sen(oab) AB 4 AB b) Poderíamos também ter calculado sen(oab) considerando a figura a seguir: Como o triângulo BOC é isósceles e m(boc) 60 o, este triângulo é eqüilátero e, assim, m (OBA) o o o

3 matemática Logo m (OÂB) 60 o α e sen(oâb) o o o sen(60 α) sen60 cosα senα cos60 ( ) Assim, ( ) 4 AB 8 AB Questão Um torneiro mecânico dispõe de uma peça de metal maciça na forma de um cone circular reto de cm de altura e cuja base B tem raio 8 cm (Figura ) Ele deverá furar o cone, a partir de sua base, usando uma broca, cujo eio central coincide com o eio do cone A broca perfurará a peça até atravessá-la completamente, abrindo uma cavidade cilíndrica, de modo a obter-se o sólido da Figura Se a área da base deste novo sólido é / da área de B, determine seu volume Sejam B a base do cilindro retirado, h, aaltura do cone menor e A b, a área de B Como a área da base do novo sólido é da área de B, a área de B é Ab Ab A b Assim, a razão de semelhança k entre as medidas dos cones menor e maior é tal que k b A k Ab Assim, a altura do cilindro é h k ( ) cm Sendo V A b π 8 0π cm o volume do cone maior, o volume do novo sólido é dado por: V V cone menor V cilindro V k V A b ( ) 0 π 0π 64π ( ) 640 π cm 9 Questão 7 No paralelogramo ABCD abaio, tem-se que AD edab 0 o Além disso, sabe-se que o ponto P pertence ao lado DC e à bissetriz do ângulo DÂB Observe a figura: a) Calcule AP b) Determine AB sabendo que a área do quadrilátero ABCP é o 0 a) Temos m (DAP) o m (PAB) e, sendo AB//CD, m (DPA) m (PAB) o (alternos internos) Logo o triângulo APD é isósceles com DP AD

4 matemática 4 Sendo M o ponto médio de AP, AM MP o o o ADcos cos(4 0 ) o o o o (cos 4 cos 0 + sen 4 sen 0 ) ( 6 + ) + 4 Logo AP AM ( 6 + ) b) a + b 4 a + (a + ) 4 b a + b a + a(a + ) 0 b a + z i ou z (a 0 e b ) ou (a eb 0) Questão 9 Seja CE uma altura do trapézio ABCP Sendo ABCD paralelogramo, temos BC AD, CD AB e m (EBC) m (BAD) 0 o Assim, no triângulo BCE, CE BC sen EBC A área do trapézio ABCP é, então, AB + CP AB + (AB ) CE AB Questão 8 Determine os números compleos z que satisfazem, simultaneamente, z e Im z i + i Lembretes: i ;sew a + bi, com a e b reais, então w a + b e Im(w) b Seja z a + bi, a e b reais, z i (a + bi i) ( i) + i ( + i) ( i) a ai + bi + b i ( ) a + b + (b a )i Assim, Im z i b a + i z Im z i + i Portanto a + b b a Considere o sistema linear nas variáveis, y ez: + (cos a) y + ( sen a) z 0 + (cos b)y + (sen b)z 0 (cos c)y + (sen c)z 0 a) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes do sistema linear b) Para que valores de a, b e c o sistema linear admite soluções não triviais? c) Calcule as soluções do sistema quando sen a e cos c / a) A matriz dos coeficientes do sistema linear é: cos a sen a cos b sen b 0 cos c sen c Logo o determinante pedido é: cos a sen a sen a cos b sen b c + c sen b 0 cos c sen c 0 sen c sen a sen b (sen a sen b) (sen a sen b) sen a b cos a b + sen a b cos a b sen(a b) sen(a + b) b) Como o sistema é homogêneo, ele admite soluções não triviais se, e somente se, o determinante da matriz dos coeficientes é igual a zero, ou seja, sen(a b) 0 ou sen(a b) sen(a + b) 0 sen(a + b) 0 a b kπ ou b ± a + k π (k Z) a + b k π (k Z)

5 matemática Assim, o sistema linear admite soluções não triviais se, e somente se, a R e b ± a + kπ, k Z e c R c) Temos que: sen a cos a cos a 0 e 4 cos c sen c sen c Logo o sistema é equivalente a: + z 0 + (cos b)y + (sen b)z 0 y 4 + z 0 z y 4z z + (cos b)( 4z) + ( cos b)z 0 z y 4z ( ) (cos b)z 0 Portanto, nas condições dadas: se cos b 0, ( ) equivale a y z 0, ou seja, V {(0, 0, 0)}; se cos b 0, então V {( z, 4z, z) R tq z R} a) Os pontos A e B correspondem às soluções do sistema: y y 6 y + y y y(6 y) (6 y) y y y 6 y ( 4 y ) ( y ) Assim podemos ter A (4; ) e B (; ) b) Como os coeficientes angulares de AB e OB são iguais a e 0, respectivamente, o triângulo ABO é retângulo de hipote- 4 0 nusa OA Assim, circunferência de diâmetro 4 OA 4 + e centro P ; (; ) passa por O, A e B y B P A Questão 0 O 4 a) Determine os pontos A e B do plano cartesiano nos quais os gráficos de y e + y 6 0se interceptam b) Sendo O a origem, determine o ponto C no quarto quadrante que satisfaz AOB ACB e que pertence à reta C Como AOB ACB, o ponto C é a intersecção, no quarto quadrante, da circunferência com a reta, que contém o centro P Sendo OA PC, a ordenada de C é e, portanto, C (; )

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