TIPO DE PROVA: A. Questão 1. Questão 3. Questão 2. alternativa E. alternativa C. alternativa E
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- Bernadete Antas Pinho
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1 Questão TIPO DE PROVA: A Pedro e Luís tinham, em conjunto, a importância de R$690,00. Pedro gastou de seu 5 dinheiro e Luís gastou do que possuía, ficando ambos com quantias iguais. Pedro ti- nha a quantia de a) R$ 50,00. b) R$ 70,00. c) R$ 50,00. d) R$ 50,00. e) R$ 80,00. Sejam e 690, em reais, as importâncias que Pedro e Luís tinham, respectivamente. Como Pedro gastou de seu dinheiro, restou-lhe 5 5 do mesmo e, analogamente, restou a Luís do que tinha. Dessa forma, 5 (690 ) 50 reais. n(a) + n(b) + n(c) 50 n(a) 7 Temos n(b) n(a) + 6 n(c) n(a) + n(b) 87. n(c) 9 Observando que 7 é primo, 87 9 e 9, as afirmações I, II e III são verdadeiras. Como 7 < 87 < 9, 87 é o único número que poderia ser a média aritmética dos outros dois. Sen do 87, a afirmação IV também é verdadeira. Questão A figura mostra os esboços dos gráficos das funções A() e B(), que fornecem os preços que as copiadoras, A e B, cobram para fazer cópias de uma folha. Para fazer 60 cópias, a copiadora A cobra R$ 7 0 B() A() Questão Uma empresa distribuiu 50 candidatos para estágio em três salas A, B e C, de modo que a sala B ficou com 6 candidatos a mais que a sala A, e a sala C, com candidatos a mais que a sala A. Sendo n(a), n(b) e n(c), respectivamente, os números de candidatos de cada uma das salas A, B e C, considere as afirmações abaio. I. Dos números n(a), n(b) e n(c), apenas um é par. II. Não eiste fator primo comum aos números n(a), n(b) e n(c). III. Dos números n(a), n(b) e n(c), apenas um é primo. IV. Nenhum dos números n(a), n(b) e n(c) é média aritmética dos outros dois. O número de afirmações corretas é a) 0. b). c). d). e). a) R$ 7,00 a menos que B. b) R$ 5,00 a mais que B. c) R$ 0,00 a menos que B. d) do que cobra B. e) o mesmo preço cobrado por B. 0 0 Temos que, para0 50, A() 50 0 A() Dessa forma, A(60)
2 matemática Para 00 00, temos B() ( 00) B() Assim, B(60) Portanto, para fazer 60 cópias, a copiadora A cobra o mesmo preço cobrado por B. Questão No triângulo retângulo ABC da figura, AM é a mediana e AH é a altura, ambas relativas à hipotenusa. Se BC 6 cm, a área do triângulo AMH, em cm, é B 0 a) 8 9. b) 8 5. c) 9 8. d) 5 8. e) 9. M Sendo AM mediana relativa à hipotenusa BC do triângulo ABC, então AM BM BC 6 cm. Portanto o triângulo BMA é isósceles com m ( MAB ) m ( ABM ) 0 o. O ângulo AMH éeterno de BMA, logo mede m (ABM) + m (MAB) o o o. No triângulo retângulo AMH, AH AM sen 60 o cm e MH AM cos 60 o AH MH cm. Conseqüentemente, sua área é 9 8 cm. H A C Questão 5 Os pontos (,) e (5,0) pertencem ao gráfico de f() a b log. O valor de a + b é a). b). c) 6. d) 8. e) 5. Das condições dadas: log f() a b a f(5) 0 a b log 5 0 b log 5 5 a a b log 5 log 5 b Logo a + b. Questão 6 Sendo f() + e g() +, a soma dos valores inteiros de tais que f() g() 0 é a). b). c) 0. d). e). alternativa A f() g() 0 ( + )( + ) 0 ( ( )) ( ) 0 A soma dos valores inteiros de que satisfazem a inequação dada é + ( ) Questão 7 A soma das soluções da equação sec tg 0, no intervalo π π,, é a) π. b) π 5π. c) π. d). e) π. Sendo sec α tg α + para todo α real diferente de π π π + k π,k Z, temos, para π π, sec tg 0 (tg + ) tg 0 tg 0 πou π ou π π ou πou π.
3 matemática A soma das soluções da equação é π π + π + π. Questão 8 Se, na figura, o lado do triângulo eqüilátero ABC mede 6 cm, então a área da região sombreada, em cm, é igual a A log ( ) b + logb logb log b b b Questão 0 Na figura, ABCD é um quadrado e APD é um triângulo eqüilátero. A medida do ângulo α, em graus, é A B O B C P a) π. b) π. c) 5 d) π. e)π. O ângulo BAC do triângulo eqüilátero ABC está inscrito na circunferência, logo m (BOC ) m(bac ) 60 o 0 o. Sendo R o raio da circunferência, aplicando a lei dos co-senos ao triângulo BOC obtemos o BC OB + OC OB OC cos R R R R R. A região sombreada é um setor circular de raio R e ângulo de0 o e tem área 0 o π R o 60 π π cm. Questão 9 Se log b 7 + log b log b, 0<b, o valor de b é a). b). c) 9. d). e) 8. logb 7 + logb logb π. a) 65. b) 55. c) 80. d) 60. e) 75. Como APD é um triângulo eqüilátero, AP AD e m (PAD ) 60 o. Sendo ABCD um quadrado, AB AD e m (BAD ) 90 o. Portanto AP AB e m (BAP ) m(bad ) m (PAD) 90 o 60 o 0 o, ou seja, o triângulo ABP é isósceles, com α m (APB) m (ABP ) o 80 m (BAP) o o o. Uma loja colocou à venda 7 calças jeans, das quais 6 apresentam defeito. Escolhendo-se calças ao acaso, a probabilidade de as estarem com defeito é a) 5 5. d) 585. D Questão b) 9. e) 65. c) 6 7. Podemos escolher calças dentre as 7 à venda de 7 maneiras. Como 6 calças apresentam C
4 Um frasco de perfume de forma esférica, com raio de cm, contém perfume em de seu volume total. Se uma pessoa utilizar, todos os dias, m do perfume, das alternativas abaimatemática defeito, há 6 escolhas nas quais todas são defeituosas. A probabilidade pedida é, portanto, 6 6 5! ! Questão O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua diagonal principal. O traço da matriz A (a i, j), tal que j ai, j i, é: a). b) 5. c)5. d). e) 6. O traço da matriz A é igual a a, + a, + a, Questão Um polinômio p(), de grau maior que, deia resto, quando dividido por, e deia resto, quando dividido por. O resto da divisão de p() por é a). b) +. c). d). e). Temos que p() e p(). Sabemos ainda que o resto da divisão de p() por é da forma a + b, com a, b R. Assim, como p() ( 5 + 6) Q() + a + b: p() ( 5 + 6) Q() + a + b p() ( 5 + 6) Q() + a + b a + b a a + b b Logo o resto da divisão de p() por é. Questão a + ay a Considere o sistema, com a + ay 5 a6 (a,a,a,a,a 5,a6), formando uma P.A. de razão r. Pode-se afirmar que o sistema a) não tem solução, se r > 0. b) tem infinitas soluções, qualquer que seja r. c) tem solução única, se r 0. d) não tem solução, se r 0. e) tem uma única solução, se r 0. Seja C a matriz completa do sistema. Temos: C a a a L L a a a a a5 a 6 r r r ( ) Temos então dois casos para analisar: r 0 a a a L ( ) L /r L a a a L a L 0 r r L /r L /r 0 Portanto o sistema é equivalente a + y y V {( ; )} y r 0 ( ) a a a Assim, se a 0, V R ;esea 0, o sistema é equivalente a a + ay a + y y, V {(; ) t.q. R}. Questão 5
5 matemática 5 o, a que indica o maior período de tempo de duração do perfume é a) 6 dias. d) 5 dias. b) dias. e) dias. c) 6 dias. O volume de perfume no frasco é dado por 6π cm 6π π m. Como são utilizados m por dia, o número de 6π dias de duração do perfume é π dias. Questão 7 Se f() a, g() b e f(g()), então f(g(0)) é a). b). c). d). e). alternativa A f(g()) f( b ) a ( b ) a b + b a b + a b b b Logo f(g(0)) f( b ) a ( b) a b. Questão 6 Considere os compleos u + i, v + i e w 6 + i, cujos afios, em relação a um sistema de eios perpendiculares, são, respectivamente, P, Q e R. Sendo O a origem do sistema, a área do quadrilátero OPRQ é a) 8. b) 9. c) 5. d). e) 0. Observando que w u + v, podemos concluir que o quadrilátero OPQR é um paralelogramo: Im Q P R Questão 8 Se f() +, g() e satisfaz a igualdade f().g(), então log é igual a a). b). c). d). e). f() g() ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Então log log. ou O 6 Re Assim, a área de OPRQ é igual ao dobro da área de OPQ, ou seja, é: Questão 9 A quantidade de pontos, pertencentes à curva y, que distam 5 do ponto (,), é a). b). c). d) 0. e).
6 matemática 6 alternativa A Um ponto pertencente à curva y tem coordenadas (t ; t ), t R. Um ponto dessa curva dista 5 de (; ) se, e somente se: (t ) + (t ) 5 t t + + t t + 5 t(t t ) 0 t 0 ou t t t 0 t 0 ou t(t ) (t + ) 0 t 0 ou t(t )(t + ) (t + ) 0 t 0 ou (t + )(t t ) 0 t 0 ou t + 0 ou t t 0 t 0 ou t ou (t ou t ) t 0 ou t ou t Assim, há pontos da curva que distam (; ), a saber (0; 0),( ; ) e (; ). Questão 0 5 de Consideremos, em R, as operações e definidas por y + ye y + y. O valor de ( ) é a) 0. b) 8. c) 6. d). e). Tem-se que: + 9. Conseqüentemente, ( )
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