CPV O cursinho que mais aprova na fgv

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1 CPV O cursinho que mais aprova na fgv FGV economia a Fase 9/novembro/009 MATEMÁTICA 0. Uma empresa desconta do salário anual de seus funcionários certa porcentagem para um plano de previdência privada. O desconto é de p% sobre R$ 8.000,00 de renda anual, mais (p + )% sobre o montante anual do salário que ecede R$ 8.000,00. João teve desconto total de (p + 0,5)% do seu salário anual para o plano de previdência privada. O salário anual de João, em reais, sem o desconto do plano de previdência é 8.000, ,00. c) 5.000, ,00. e) ,00. Chamando de S o salário anual de João e de D o desconto anual, temos: D = p% + (p + )% (S 8000) Como D = (p + 0,5)% S resulta: (p + 0,5)% S = p% + (S 8000)(p + )% p. S + 0,5S = 8000 p + S. p + S 8000p S = 000 O salário anual de João é R$ 000,00 Alternativa B 0. Sejam e y a soma e o produto, respectivamente, dos dígitos de um número natural. Por eemplo, se o número é 4, então = 7 e y = 8. Sabendo-se que N é um número natural de dois dígitos tal que N = + y, o dígito da unidade de N é.. c) e) 9. N = ab, com a 9 e 0 b 9, são os dígitos de N. Então: N = 0 a + b Do enunciado, temos que: = a + b y = a. b Portanto: N = + y Þ 0 a + b = a + b + ab 9a ab = 0 Û a (9 = 0 de onde resulta: a = 0 (não convém) ou b = 9 O dígito da unidade de N é 9. Alternativa E CPV fgv09fnoveco

2 fgv 9//009 CPV o cursinho que mais aprova na fgv 0. Em um quadrado mágico, como o indicado na figura, a soma dos números em cada linha, em cada coluna e em cada diagonal assume o mesmo valor. Se as letras A, B, C, D e E representam números, então D+E é igual a c) e) 47. Do quadrado da figura, temos que: A = A B (I) A + C + = A (II) De (I), obtemos B = 9. De (II), obtemos C =. Na diagonal secundária: B + C + 5 = Soma Þ Soma = 66 Assim podemos obter D = 6 e E = 0. Portanto: D + E = 46 A 4 B 8 C D 5 E ( a coluna = a linh (diagonal principal = a colun Alternativa D 04. Deslocando-se a vírgula 4 posições para a direita na representação decimal de um número racional positivo, o número obtido é o quádruplo do inverso do número original. É correto afirmar que o número original encontrase no intervalo real c), , , 00 00, 0 0 e) [,] Chamando o número original de, o novo número obtido será Logo, temos: 0000 = 4. Þ = pois é racional positivo. Desta forma, Þ = 00, < 00 < < < 00 Alternativa C CPV fgv09fnoveco

3 CPV o cursinho que mais aprova na fgv Fgv 9// A soma dos 00 primeiros termos de uma progressão aritmética é 00, e a soma dos 00 termos seguintes dessa progressão é 00. A diferença entre o segundo e o primeiro termos dessa progressão, nessa ordem, é c) e). S 00 = ( ) a + a00 00 = 00 Portanto a + a 00 = 06. Na equação k = 6, na variável, k é um parâmetro real. O produto dos valores de k para os quais essa equação não apresenta solução real em é 0.. c) e) 0. k = 6 Þ ( ) ( 6) = ( k) ( ) = (k + ) + k Þ (k 5) = k 6 (I) S' 00 = ( ) a0 + a00 00 = 00 Se k = 5, a equação (I) não tem solução. Pela equação inicial, temos CE: ¹ e ¹ 6 Portanto a 0 + a 00 = 4 a + a 00 = Þ a + 99 r = a 0 + a 00 = 4 a + 99 r = 4 Portanto r = 00 Logo: a a = r = r = 0 00 Substituindo = em (I), resulta (k 5). = k 6 Þ 0 = 6 Portanto, não eiste k para =. Substituindo = 6 em (I), temos (k 5). 6 = k 6 Þ k = 6 Para k = 5 ou k = 6 a equação não tem solução. Produto = 5. 6 = 0 Alternativa E Alternativa C CPV fgv09fnoveco

4 4 fgv 9//009 CPV o cursinho que mais aprova na fgv 07. A representação gráfica da equação ( + y) = + y no sistema cartesiano ortogonal é o conjunto vazio. um par de retas perpendiculares. c) um ponto. um par de pontos. e) um círculo. 08. A figura indica a planificação da lateral de um cone circular reto: O cone a que se refere tal planificação é ( + y) = + y Û + y + y = + y Û y = 0 de onde resulta: = 0 ou y = 0 No plano cartesiano, = 0 ou y = 0 representa um par de retas perpendiculares. Alternativa B c) e) A área lateral do cone é igual ao setor circular dado, portanto: p. r. g = 5. p. g 60 de onde resulta r = 7. Þ p. r. 0 = 5. p. ( 0) 60 Alternativa B CPV fgv09fnoveco

5 CPV o cursinho que mais aprova na fgv Fgv 9// Os pontos A, B, C, D, E e F estão em AF e dividem esse segmento em 5 partes congruentes. O ponto G está fora de AF, e os pontos H e J estão em GD e GF, respectivamente. 0. O perímetro de um triângulo equilátero, em cm, é numericamente igual à área do círculo que o circunscreve, em cm. Se GA, HC e JE são paralelos, então a razão HC JE 5.. c) e) 6 5. G é Assim, o raio do círculo mencionado mede, em cm, p. p. c). 6 p. e) p. Chamemos de a a medida do lado do triângulo equilátero AB. Chamemos de R o raio AO. A B a H R O a C H J Na figura, O é o circuncentro e o baricentro do triângulo ABC. Portanto, se AO = R, então OH = R. De onde resulta AH = R (I). Na figura, consideremos AB = BC = CD = DE = EF = k. Temos AG // CH Þ DADG ~ DCDH HC k GA = HC = GA k k k k k k A B C D E F Da mesma forma, temos AG // EJ Þ DAFG ~ DEFJ JE k GA = JE = GA 5k 5 GA Portanto HC = 5 = JE GA 5 Alternativa A AH é também a altura do triângulo equilátero: AH = a Igualando as equações (I) e (II), temos: R a = Þ a = R (II). Do enunciado, temos: p. R = a Þ R = p Alternativa B CPV fgv09fnoveco

6 6 fgv 9//009 CPV o cursinho que mais aprova na fgv. Dados os números reais positivos e y, admita que y = y. log log Se ( + y) = 6 ( y), então - y igual a log 7 7. log 5 5. c) log 5. log. e) log 4. Do enunciado, temos que: (+y) = 6 ( y) Þ + y = 6 y Þ + y y Þ 4 = ( ) Þ Þ ( + y) = 4 4y Þ + y = 8 8y Þ Þ 9y = 7 Þ Logo: y = 9 7 log log y = log = log 9 log log y y = = é Alternativa A. Um dado possui seis faces numeradas de a 6. As probabilidades de ocorrências das faces com os números,, 4, 5 e 6 são, respectivamente, 6,, 8, 7 e 6. Lançando duas vezes esse dado, a probabilidade de que a soma dos números obtidos em cada lançamento seja é c) e) Seja a probabilidade de ocorrência da face com o número. Assim, temos que: X = Þ X = 7 7 A probabilidade pedida é a de ocorrência do par (; ) ou do par (; ) nos lançamentos desse dado. Desta forma, tal probabilidade é dada por P soma = P(). P() + P(). P() = = Alternativa D CPV fgv09fnoveco

7 CPV o cursinho que mais aprova na fgv Fgv 9// A média aritmética dos elementos do conjunto {7, 8, 0,, 7, } supera em uma unidade a mediana dos elementos desse conjunto. Se é um número real tal que 8 < < e 7, então a média aritmética dos elementos desse conjunto é igual a c) e) 0. Seja MA a média aritmética e MD a mediana MA = = 6 6 Organizando os elementos em ordem crescente, e sabendo que 8 < <, o elemento deve ocupar a a ou 4 a posição: {7, 8,, 7,, 0}. Então: MD = Sorteados ao acaso dentre os 9 pontos marcados no plano cartesiano indicado na figura, a probabilidade de que eles estejam sobre uma mesma reta é c) e) No total, há C 9, = 84 maneiras de escolhermos dos 9 pontos dados e 8 maneiras dessas retas conterem pontos, com a seguinte distribuição: nas horizontais, nas verticais e nas diagonais. 8 Portanto, a probabilidade pedida é P = = 84 Alternativa C Do enunciado, temos MA = MD + Portanto: = + 6 Þ = Logo MA = 96 6 = 6 Alternativa A CPV fgv09fnoveco

8 8 fgv 9//009 CPV o cursinho que mais aprova na fgv 5. Os anos N, e N têm 65 dias cada um. Sabendo-se que o 00.º dia do ano N é uma terça-feira, o 00.º dia do ano N foi uma segunda-feira. terça-feira. c) quarta-feira. quinta-feira. e) seta-feira. Desde o 00 o dia de um ano (N ) até o 00 o dia do ano seguinte (n), passaram-se = 565 dias. Como esse número não é múltiplo de 7, é claro que esses dias não podem cair em dias da semana iguais. Entretanto, como ao dividir 565 por 7, sobra um resto 5, podemos perceber que há uma defasagem de 5 dias de semana entre a primeira e a segunda datas. Assim, para que a segunda data ocorra numa a feira, é necessário e suficiente que a primeira data tenha ocorrido numa 5 a feira. Alternativa D CPV fgv09fnoveco

9 CPV o cursinho que mais aprova na fgv Fgv 9// Seja ABC um triângulo retângulo em B tal que AC = 7 e BP =, em que BP é a altura do triângulo ABC pelo vértice B. A menor medida possível do ângulo A^CB tem aproimação inteira igual a: Dados: 5º. 5º. c) 4º. 4º. e) 49º. 7. A figura indica uma circunferência de diâmetro AB = 8 cm, um triângulo equilátero ABC e os pontos D e E pertencentes à circunferência, com D em AC e E em BC. Em cm, a área da região hachurada na figura é igual a: Observe a figura a seguir, em que é a medida do segmento PC. B c) 8 π. 4 π. e) 4 π. A P C 7-4 O 4 Pelas relações métricas no triângulo retângulo ABC, temos: 60º 60º (BP) 7 60º = (AP). (PC) Þ 9 =. De onde resulta que = ou = Como queremos a menor medida para o ângulo A^CB, sua tangente também deve ser mínima. Portanto, = e tg (A^CB) = =. Observando a tabela fornecida, temos 4º Alternativa C DABC é equilátero S ADO = S EOB = S S DEC = S ABC S S DOE S DEC = p. 6 = 8 π Alternativa C CPV fgv09fnoveco

10 0 fgv 9//009 CPV o cursinho que mais aprova na fgv 8. A soma cos 0º + cos º + cos 4º + cos 6º cos 58º + cos 60º é igual a c) e) 9. Se 0 < a < 90º, temos: cos a = cos (60º cos a = cos (80º cos a = cos (80º + Então: 80º a 80º + a sen a cos 60º a 9. Sendo um número positivo tal que + o valor de + é: c) e) 60. Temos que + = + + = + Como + + = 4, = 4 então + = 4 + \ + = 4 cos a = cos (80º = cos (80º + = cos (60º Logo Temos que + = cos º = cos 78º = cos 8º = cos 58º cos 4º = cos 76º = cos 84º = cos 56º cos 6º = cos 74º = cos 86º = cos 54º. cos 88º = cos 9º = cos 68º = cos 7º Portanto: cos 0º + cos º + cos 4º + cos 6º cos 58º + cos 60º = = cos 0º + cos 90º + cos 80º + cos 70º + cos 60º (cos º + cos 4º + cos 6º cos 88º) (I) 4 = = + (4) + \ + = 5 Alternativa A Como cos a = sen (90º, temos: cos º = sen 88º cos 4º = sen 86º cos 6º = sen 84º. cos 44º = sen 46º igualdades Então, a soma (I) pode ser escrita como: S = (sen 88º + sen 86º cos 86º + cos 88º) S = + 4. = 9 \ S = 9 Alternativa E CPV fgv09fnoveco

11 CPV o cursinho que mais aprova na fgv Fgv 9// Os pontos A ( ; 4), B (; ) e C não são colineares. O ponto C é tal que a área do triângulo ABC é 5. Nas condições dadas, o lugar geométrico das possibilidades de C é representado no plano cartesiano por um(: par de pontos distantes 5 um do outro. reta perpendicular a AB que passa por, 0. 7 c) reta perpendicular a AB que passa por,. par de retas paralelas distantes uma da outra. e) par de retas paralelas distantes uma da outra. Observe a figura a seguir, em que AB = + = 0 e h é a distância entre as retas paralelas r e s. A C 4 0 Todo triângulo ABC com C pertencente a r ou s tem mesma área. Como essa área deve ser 5, temos B 0. h = 5 Þ h =. Assim, o lugar geométrico das possibilidades de C são duas retas paralelas, distantes uma da outra. Alternativa E C h C h s r. Um número real, 0 0, é tal que ( 0)% da diferença entre 4 e, nessa ordem, é igual ao número real y. Nessas condições, o valor máimo que y pode assumir é: 0. c) e) Pelas informações do enunciado, temos: ( 0) ( 4 ) = y 00 As raízes de y = 0 são = 0 e = 4. Portanto, o valor máimo de y será obtido para = : ( 0) 4 y = ( 4 ) = = Alternativa D + ( k ) y =. Para que o sistema linear! ( + k! ) + y = de solução (; y) não seja possível e determinado, o parâmetro k Î tem de ser igual a:.. c) e) 6. O sistema linear dado não é possível e determinado se k! = 0 + k! Fazendo k! = t, com k! > 0, temos: t = 0 Û t t + 4 = 0 Û t = 6 ou + t t = 7 (não convém) Portanto k! = 6 =.. =! Logo, k = Alternativa B CPV fgv09fnoveco

12 fgv 9//009 CPV o cursinho que mais aprova na fgv. Fatorando completamente o polinômio 9 em polinômios e monômios com coeficientes inteiros, o número de fatores será: c) 4.. e). Utilizando as propriedades de fatoração, temos que: 9 = ( 8 ) = = ( 4 + ) ( 4 ) = = ( 4 + ) ( + ) ( ) = = ( 4 + ) ( + ) ( + ) ( ) que tem 5 fatores. Alternativa B 4. Considere o gráfico das funções reais f () = log e g() = log, nos seus respectivos domínios de validade. A respeito dos gráficos de f e g, é correto afirmar que: não se interceptam. se interceptam em apenas um ponto. c) se interceptam em apenas dois pontos. se interceptam em apenas três pontos. e) se interceptam em infinitos pontos. Para saber o número de pontos nos quais os gráficos de f () = log e g() = log se interceptam, devemos saber o número de soluções da equação f () = g(). Assim: log = log (CE: > 0) log = log Þ = Þ = 0 (não convém) ou = Portanto, como há apenas uma solução para a equação f () = g(), os gráficos de f () e de g() interceptam-se apenas num ponto. Alternativa B 5. Sendo i a unidade imaginária, então ( + i) 0 ( i) 0 é igual a: i. c) e) 04i. ( + i) 0 ( i) 0 = [( + i) ] 0 [( i) ] 0 = = [i] 0 [( i)] 0 = = 0 i 0 0 i 0 = 0 Alternativa C 6. Se m, n e p são raízes distintas da equação algébrica + = 0, então m + n + p é igual a:.. c). 4. e) 5. Inicialmente, equacionamos as relações de Girard: m + n + p = mn + mp + np = mnp = Na equação original, isolamos e substituímos as raízes: + = 0 = + m = m m + n = n n + ( + ) p = p p + m + n + p = (m + n + p ) (m + n + p) + 6 m + n + p = (m + n + p) (mn + mp + np) (m + n + p) + 6 m + n + p =. + 6 m + n + p = 4 Alternativa D CPV fgv09fnoveco

13 CPV o cursinho que mais aprova na fgv Fgv 9// A caderneta de poupança teve rendimento de 0,68% e 0,54% nos meses de janeiro e fevereiro de 009, respectivamente. Um índice de preços ao consumidor, nesses mesmos meses, foi de 0,46% e 0,7%, respectivamente. Ao final de fevereiro de 009, o ganho real de uma aplicação em caderneta de poupança (ganho da poupança descontando-se a inflação medida pelo índice de preços ao consumidor) acumulado desde janeiro de 009 foi de: 8. A figura indica o gráfico da função f, de domínio [ 7; 5], no plano cartesiano ortogonal. (00,68., ,46.,007)%. (00,68. 00,54 00,46. 00,7)%. c) (,0068.,0054,0046.,007)%. (0, ,0054 0, ,007)%. e) (0,68. 0,54 0,46. 0,7)%. O ganho real da caderneta (ganho nominal menos inflação) pode ser obtido por meio de cálculos com juros compostos: i = ( + 0,0068). ( + 0,0054) ( + 0,0046). ( + 0,007) i =,0068.,0054,0046.,007 Vertendo para porcentagem, temos: i = (,0068.,0054,0046.,007). 00% i = (00,68., ,46.,007) % Alternativa A O número de soluções da equação f(f()) = 6 é:. 4. c) e) 7. Observe que, segundo o gráfico, há somente dois valores para os quais a função retorna o valor y = 6: k = f(k) = 6 Þ ou k = Assim, devemos ter: k = Þ f () = há duas raízes ou k = Þ f () = há outras quatro raízes Portanto, temos um total de 6 raízes no domínio considerado. Alternativa D CPV fgv09fnoveco

14 4 fgv 9//009 CPV o cursinho que mais aprova na fgv 9. Uma matriz 4 4 que admite inversa é: c) e) Uma matriz M admite inversa quando det M ¹ 0. det A = det B = det C = det D = Como L =. L Þ det A = 0. Como L + L = L Þ det B = 0. Como L =. L Þ det C = 0 4 L L = 9 0 L L Como L = L 4 Þ det D = 0 Como as matrizes das alternativas a, b, c e d não admitem inversa, por eclusão o gabarito é E. Alternativa E 0. Em um DABC, o lado AC e a mediatriz de BC interceptam-se no ponto D, sendo que BD é bissetriz do ângulo A^BC. Se AD = 9 cm e DC = 7 cm, a área do DABD (em cm ) é:. 4. c). 8. e) 4 5 y A 7 7 a a a C B No DBCD, a altura relativa ao vértice D coincide com sua mediana. Portanto, o DBCD é isósceles com base BC. A^DB é eterno ao DBCD Þ A^DB = a. A^DB º A^BC DADB ~ DABC Þ AD AB DB Þ AB = AC = BC A^BD º A^CB (por AA) Substituindo valores: 9 y 7 = =, donde y = e = 8 y 6. Aplicando a Lei dos Senos no DABD, resulta: 9 y 9 = = cosα = senα sen α senα senα cosα sen a + cos a = Þ senα = 5 A área do DABD será: senα. 7. S = = = a Alternativa E COMENTÁRIO DA PROVA DE MATEMÁTICA Na avaliação da equipe de Matemática do CPV, o Vestibular para ingresso em Economia FGV 00 apresentou uma boa distribuição de temas, cobrindo o programa proposto com adequação e mantendo o grau de eigência das provas anteriores. Esperava-se do candidato além de domínio ferramental etenso capacidade de leitura, interpretação e modelagem, habilidades úteis a alunos de graduação para a área. Consideramos a prova de boa qualidade e adequada a uma seleção eficaz. Destacamos ainda que algumas questões poderiam ser resolvidas contornando cálculos etensos, como as questões 7,, 5, 7, 0,, 8 e 9, que dependiam mais de percepção de propriedades do que de trabalho algébrico. D CPV fgv09fnoveco

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