CPV - especializado na ESPM

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1 - especializado na ESPM ESPM NOVEMBRO/006 PROVA E MATEMÁTICA 0. Entre as alternativas abaixo, assinale a de maior valor: a) 8 8 b) 6 c) 3 3 d) 43 6 e) 8 0 Das alternativas a) 8 8 = 3 3 b) 6 = 8 c) 3 3 d) 43 6 = 3 30 e) 8 0 = 30 portanto o maior valor é O algarismo das unidades de é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) Observando as potências de base ou de base 4 = = = = 40 5 = 680 é o 3 o da seqüência.. 9 = termina em 3 Alternativa A e 4 = = = 64 é o o da seqüência = termina em 6 Logo = termina em 03. A administração dos.040 km de uma estrada de rodagem foi concedida a 3 empresas distintas. A primeira ficou com 60% do trecho concedido as outras duas e a segunda ficou com 30% do trecho concedido às outras duas. O comprimento do trecho concedido a terceira empresa é de: a) 440 km b) 380 km c) 40 km d) 50 km e) 450 km Temos que: A = trecho da a empresa B = trecho da a empresa C = trecho da 3 a empresa A + B + C = 040 A = 0,6( B + C) B = 0,3( A + C) Resolvendo o sistema acima, temos: A = 390 km, B = 40 km e C = 40 km 04. Considere as funções f : A R e g : A R tais que f (x) = 3x x e g (x) = 4x x + 5. Se A R é o mais amplo domínio de f, o conjunto imagem de g é: a) [0, 3] b) ], 9] c) [5, 8] d) [5, 9] e) [8, 9] f (x) = 3x x CE { 3x x g (x) = 4x x D = [0; 3] 3 5 Do gráfico acima resulta I (g) = [5, 9] Alternativa D

2 espm - 9//006 cpv - especializado na espm 05. O gráfico abaixo representa a função real f (x) = x + kx + p, com k e p reais. O valor de p k é: a) b) 5 c) 8 d) 8 e) 3 f (x) = x + kx + p Do gráfico, temos que f () = 4, portanto f [f ()] = f [4] = f () Dada a simetria de figura, temos: f() 3 = k + p = 0 3 = 4 f () = 4 + k + p = 4 Resolvendo o sistema, resulta p = 9 e k = 6 p k = A curva abaixo representa uma parte do gráfico da função f (x) = log (k. x), com k > 0. A área da região sombreada vale: a) 6,5 b) 8,5 c) 0,5 d) 9 e) f (x) = log (kx) Da figura, temos: f () = log k = 0 k = f (x) = log x Temos também f (4) = log 4 = Da figura, f(x) = log x = x = 4 + A área pedida é S = S + S = (4. ) + S = = 8,5 0. No triângulo ABC abaixo, os segmentos x, y, z e w possuem medidas inteiras de centímetros e são todos distintos entre si. A área desse triângulo, em cm, vale: a) 64 b) 48 c) 9 d) 84 e) 08 Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos ABH e ACH temos z = 8 + x 64 = z x w = 8 + y 64 = w y Fatorando, temos: 64 = (z + x) (z x) 64 = (w + y) (w y) Como x, y, z e w são inteiros positivos, temos que: ( ) 64 = 64. não convém 64 = = = 8. 8 ( não convém) Verificando as possibilidades, temos que: ( z + x)( z x) = 3. z = 0 e x = 6 ( w + y)( w y) = 6. 4 w = e y = 5 A área do triângulo é S = ( 6 + 5) 8 S = 84 Alternativa D 08. A soma dos n primeiros termos de uma seqüência numérica é dada pela expressão S n = 3n 5n. O vigésimo termo dessa seqüência é: a) b) c) 3 d) 46 e) 5 0 Se S n = 3n 5n então: a 0 = S 0 S 9 a 0 = ( ) ( ) a 0 = 0 6 H Alternativa A

3 cpv - especializado na espm espm - 9// O Sr. José possui o dinheiro necessário e suficiente para comprar uma mercadoria à vista, com 5% de desconto sobre o preço de tabela. Ele está pensando em fazer uma aplicação desse dinheiro à taxa de 5% ao mês e pagar essa mercadoria após 30 dias, com um desconto de 0% sobre o preço de tabela. Se escolher esta opção, ele: a) Terá um lucro de 0,5% sobre o preço de tabela. b) Terá um lucro de,5% sobre o preço de tabela. c) Terá um prejuízo de 0,5% sobre o preço de tabela. d) Terá um prejuízo de,5% sobre o preço de tabela. e) Não terá lucro nem prejuízo. 5% tabela à vista T V = 0,85 T Aplicação: 0,85 T Após mês: T + 5% m = 0,895 T (I) mês 0% V P = 0,90 T (II) Comparando, verificamos que o Sr. José terá um prejuízo de 0,5%T. 0. Em recente pesquisa eleitoral para o governo de um certo estado, as intenções de votos estavam assim distribuídas: Candidato A = 3% Candidato B = % Candidato C = % Candidato D = 4% Brancos ou nulos = 5% Segundo essa pesquisa, haveria o turno entre os candidatos A e B, pois nenhum deles superou a metade dos votos válidos. Com a desistência do candidato C, seus votos migraram diretamente para os candidatos A, B e D nas proporções de 5%, 5% e 0%, respectivamente. Com essa nova distribuição de intenção de votos e sem considerar a margem de erro, pode-se prever que: a) Haverá o turno entre os candidatos A e B. b) Haverá o turno entre os candidatos B e D. c) O candidato B vencerá no o turno. d) O candidato A vencerá no o turno. e) O percentual de votos válidos aumentará. Candidatos A = 3% B = % C = % D = 4% B/N = 5% Com a desistência do candidato C e a consequente distribuição de seus votos entre os demais, a nova distribuição será: A = 3% + 5%. % = 3,6% votos B = % + 5%. % = 3% votos D = 4% + 0%. % = 6,4% votos N/B = 5% votos O candidato A terá, tirando os votos brancos e nulos, aproximadamente 50,% dos votos válidos. Logo, ele será eleito em primeiro turno. Alternativa D. No círculo abaixo, de centro O e raio 0 cm, o ângulo x é tal que 0º < x < 90º. Podemos afirmar que a área do triângulo OAB: a) Tem valor máximo próximo de 00 cm. b) Tem valor máximo próximo de 50 cm. c) Tem valor mínimo para x = 45º. d) Tem valor máximo para x = 45º. e) Vale 5 cm para x = 60º. A base do triângulo é OA = 0 cos x A altura do triângulo é BQ = 0 tg x, A área do triângulo é 0 cos x. 0 tg x S = S = 50 sen x Analisando a expressão, concluímos que o valor máximo da área é próximo de 50, quando o valor do sen x se aproxima de. 0 0

4 4 espm - 9//006 cpv - especializado na espm x 3 y. Se y 0 =, com x 0, y 0 e z 0, x + z z x y z o valor de + + é: y z x a) b) c) 3 d) e) x 3 y y 0. = x + z z x + y + 3z = y (I) y + z = x + (II) x + y + 3z y = 0x y + z x + z x De (II) y + z = x + z x = y (III) = y Substituindo (III) em (I) temos ( y) + y + 3z = y z = y (IV) y = z z De (III) e (IV) temos x = z = x x y z Somando + + = + = y z x 3. Um grupo de pessoas é formado por 5 crianças e 4 adultos, dos quais 3 possuem habilitação para dirigir automóvel. De quantos modos distintos pode-se efetuar a lotação de um carro de 5 lugares ( na frente e 3 atrás) para uma viagem, sabendo-se que criança não pode viajar no banco da frente? a) 540 b) 630 c) 0 d) 60 e) Paulinho é uma das crianças da questão anterior. Escolhida ao acaso uma das maneiras de se efetuar a lotação do automóvel, a probabilidade de ele não fazer parte da lotação é de: a) 4/ b) 3/ c) 3/5 d) /5 e) / Paulinho excluído = = 080 possibilidades Portanto a P = = 4 Alternativa A 5. Na figura abaixo, cada quadrícula tem área igual a π m. A corda AB é tangente à circunferência interna da coroa circular de centro O. A área dessa coroa vale: a) m b) m c) 0 m d) 8 m e) 9 m A área da quadrícula é π m, então o lado mede a = R r 3a T π m. 4 adultos 3 habilitados não habilitado 5 crianças M P 3 3 T T T = 890 A área da coroa é S = πr πr S = π (R r ) (I) No ATO temos que R = r + (3a) R r = 3 R r = 9 π ð (II) 9 Substituindo (II) em (I) resulta S = π S = 9m ð

5 cpv - especializado na espm espm - 9// Um tanque com a forma de um cilindro circular reto tem,40 m de altura e raio da base igual a m, estando com a base apoiada num plano horizontal. Ao longo de uma geratriz (vertical), de baixo para cima, esse tanque possui 3 torneiras iguais, espaçadas de 60 cm, como mostra a figura abaixo. Cada torneira proporciona uma vazão de 0π litros por minuto. Estando completamente cheio de água e abrindo-se as 3 torneiras, o tempo necessário para o esgotamento completo do tanque será de:. A equação da reta r do plano cartesiano abaixo é: a) 3x 4y + 5 = 0 b) x 3y + 48 = 0 c) x 8y + 8 = 0 d) 9x y + 36 = 0 e) 6x y + 4 = 0 a) h40min b) 3h0min c) 3h40min d) 4h0min e) 4h40min E (x, 0) D (0, y) Temos que,40 m = 4 dm m = 0 dm 0 cm = dm 60 cm = 6 dm O volume V = π. (0). dm 3 O volume V = π. (0). 6 dm 3 O volume V 3 = 400 πl 0 cm V V V 3 V = πl V = 400 πl Os pontos A, D e C estão alinhados, então y 6 = 0 8y y + 6 = 0 y = 6 6 Logo D 0; O mesmo ocorre com os pontos A, E e B, então 8 6 x 0 = 0 3x 6x 4 = 0 3 Logo E ( 4; 0) 9x = 36 x = 4 O tempo para esvaziar o volume: a) V é T = 4800 π T 3. 0π = 80 min = h e 0min b) V é T = 400 π T. 0π = 60 min = h c) V 3 é T 3 = 400 π T 0π 3 = 0 min = h O tempo total é 4h 0min. A equação da reta DE é x y = 0 6 x 4y + 6 (4) = 0 6x 8y + 04 = 0 3x 4y + 5 = 0 Alternativa A Alternativa D

6 6 espm - 9//006 cpv - especializado na espm 8. Sejam Q(x) e R(x), respectivamente, o quociente e o resto da divisão do polinômio x 4 4x 3 + x + 3x 6 por x 3. Se m é o valor mínimo de Q(x), então R(m) vale: a) b) 3 c) d) e) 0 0. Se os números inteiros estritamente positivos forem escritos obedecendo a seqüência abaixo, o número 300 estará na: a) 5 a linha e 3 a coluna. b) 3 a linha e a coluna. c) a linha e 8 a coluna. d) 4 a linha e 5 a coluna. e) 3 a linha e 6 a coluna. Efetuando a divisão: x 4 4x 3 + x + 3x 6 x 3 x 4 + 3x Q (x) = x 4x + 5 4x 3 + 5x + 3x + 4x 3 x 5x + x 6 5x + 5 R (x) = x Se m é o valor mínimo de Q (x) = x 4x + 5, então: 6 0 m = = m =. 4a 4 Logo R () = 0 9. A soma de todos os números naturais de algarismos distintos é igual a: a) 4905 b) 4540 c) 440 d) 40 e) 4090 De a 99 há 99 inteiros. Portanto, a soma pedida é S 99 = ( + ) S 99 = 4905 (I) Como os algarismos devem ser distintos, devemos retirar os números compostos por algarimos iguais, isto é: S 9 = S 9 = ( + 99 ) 99 = 495 S 9 = 495 (II) Subtraindo (II) de (I), obtemos: S = S = 440 a L a L 4 a L Observando a tabela, concluímos que: as colunas alternadamente começam com os quadrados da ordem ímpar das colunas, isto é: a a coluna começa com, a 3 a coluna começa com 3, a 5 a coluna começa com 5, e assim por diante. O mesmo acontece com as linhas de ordem par, isto é: a a linha começa com, a 4 a linha começa com 4, a 6 a linha começa com 6, e assim sucessivamente. O número que inicia a a coluna é 89, portanto o número 300 estará na 8 a coluna. 3 a C 5 a C a C 8 a C a L