CPV 82% de aprovação na ESPM

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1 8% de aprovação na ESPM ESPM NOVEMBRO/008 PROVA E MATEMÁTICA. A produção total de uma fábrica de calçados no ano passado foi de 80 mil pares, sendo que os modelos infantis atingiram 0% da produção de todos os outros modelos. O número de pares de calçados infantis produzidos foi de: a) 0 mil b) 30 mil c) 0 mil d) 5 mil e) 5 mil Seja n o número de calçados infantis. Temos: n 0, (80 n) n 36 0, n, n 36 n 30 mil. Num certo dia a cotação do ouro em dólar era de para 5, isto é, g de ouro custava 5 dólares, e a cotação do dólar em relação ao real era de para,6, isto é, dólar equivalia a R$,60. A partir daí houve um aumento de 0% na cotação do ouro em dólar e um aumento de 0% na cotação do dólar em real. Dessa forma, o grama de ouro passou a custar: a) 8,5 dólares b) 8, reais c) 3, dólares d) 5,8 reais e) 6, reais 3. Num mesmo momento, cada um dos produtos A e B teve aumento equivalente a 0% do preço do outro. Podemos afirmar que a diferença de preços entre eles: a) aumentou 0% b) aumentou 0% c) diminuiu 0% d) diminuiu 0% e) permaneceu a mesma Chamemos os preços iniciais de: P Ainicial a e P Binicial b Após o aumento: P Afinal a + 0, b P Bfinal b + 0, a P Af P Bf 0,8 a 0,8 b A diferença de preços diminuiu em 0 %. P Af P Bf 0,8 (a b) P Af P Bf 0,8 (P Ai P Bi ) Alternativa C. Seja A {0,,, 3,, 5, 6}. As funções f : A R e g : A R são 30 tais que f () 5 3 e g () O número de soluções em A, da equação f() g() 0 é: a) b) c) 3 d) e) 5 f (0) e g (0) f () 3 e g () 3 f () e g () 30 7 f (3) 5 e g (3) 5 O custo inicial de g de ouro em reais é: C i 5.,6 0,00 reais Após os aumentos, o custo passa a ser: C f (,. 5). (,.,6) 5,80 reais f () e g () 30 7 f (5) 3 e g (5) 3 f (6) e g (6) Na equação f () g() 0, temos que 0 e f () g () Portanto a equação admite apenas as soluções abaio: S {, 3, 5, 6} Alternativa A

2 espm 6//008 cpv especializado na espm 5. Os lados AB e AC de um triângulo eqüilátero de perímetro 8 são divididos em 3 partes iguais pelos pontos M, N, P e Q, como mostra a figura abaio. As retas PN e MQ interceptam a reta suporte do lado BC nos pontos D e E, respectivamente. 7. Um terreno retangular foi dividido em 5 lotes quadrados, A, B, C, D e E, como mostra a figura abaio. Sabe-se que o valor de cada lote é diretamente proporcional à sua área e que os lotes de esquina têm uma sobrevalorização de 0%. Se o lote A vale R$ 30.00,00, o valor do lote B é: a) R$ ,00 b) R$. 800,00 c) R$ ,00 d) R$ 0.00,00 e) R$ 3.000,00 O comprimento do segmento DE é igual a: a) b) 0 c) d) 8 e) 9 3 ) ) 6 Na figura, notamos que os triângulos NMP e NBD são congruentes (ALA) e portanto DB. Da mesma forma, os triângulos QPM e QEC também são congruentes, donde vem CE. Assim, DE DB + BC + CE Num cofrinho há somente moedas de 5 e 0 centavos que perfazem eatamente R$,35. A probabilidade de haver mais moedas de 5 do que de 0 é igual a: a) 0 % b) 0 % c) 5 % d) 30 % e) 0 % Considerando : número de moedas de 5 centavos y: número de moedas de 0 centavos Temos: 5 + 0y 35 Þ y 7 5 ;, y IN Os pares ordenados (, y) que satisfazem a equação são: (; ), (3; 6), (5; ), (7; 6) e (9; ). Então, a probabilidade de que seja maior que y é: P 5 0 % Alternativa E Se chamarmos o lado de cada um dos lotes C, D e E de, concluímos que o lado do lote B vale 3 e que o lado do lote A mede. Então, o valor da área 3000 vale,. ( ) 000 reais O valor do lote B, onde a área é equivalente a 9, é: reais. Alternativa A 8. Na figura abaio, as medidas dos segmentos colineares PA e PB são as raízes da equação Além disso, sabe-se que OP e que os ângulos AÔD e BÔC são retos. A medida do segmento CD é igual a: a) 5 b) 3 c) 6 d) e) 7 Utilizando as relações métricas do triângulo retângulo, temos: OP OP PD. PA PD PA PA OP OP PC. PB PC PB PB O segmento CD é igual a soma das medidas de PC e PD. PA + PB Assim, CD + PA PB PA. PB No entanto, PA e PB são raízes da equação , donde calculamos a soma e o produto de suas raízes: PA + PB ( 0 ) 0 e PA. PB 5 Portanto a medida do segmento CD é: PA + PB 0 CD PA. PB 5

3 cpv especializado na espm espm 6// Se a + b + c + + para qualquer real não nulo, o valor da epressão (b c) a é igual a: a) b) c) d) e) Temos: ( + + ) + ( + ) a b c a + a + a + b + c ( a + b) + ( a + c) + a Se a igualdade é válida para qualquer valor de, temos uma identidade e portanto: a a + b 0 a + c 0 b a c Do enunciado, temos: Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: + y + y + y y + m y + y m y m m y Portanto, m é a média geométrica entre e y. Alternativa A 3. Na figura abaio estão representados um retângulo, um círculo de centro O e raio e um semi-círculo de centro B e raio. Dois móveis partem de A e B num mesmo instante e, com velocidades constantes, percorrem as trajetórias circulares indicadas pelas setas. Se após segundos eles se encontram no ponto D, a distância entre eles segundo após esse encontro será de: a) b) c) d) e) m y +y Portanto, (b c) a + Alternativa E Em segundos, o móvel que parte de A percorre do semi- 30. Dados dois números reais estritamente positivos e y, construímos um triângulo retângulo em que a medida da hipotenusa é a média aritmética entre eles e a medida de um dos catetos é a semi-diferença entre eles. A medida do outro cateto é: a) a média geométrica entre e y. b) a média harmônica entre e y. c) a média ponderada entre e y, com pesos e, respectivamente. d) a média aritmética entre e y. e) a média geométrica entre e y. círculo de raio, ou seja,. π. π; e o móvel que parte de B percorre do círculo de raio, ou seja,. π. π. Em segundo, os móveis estarão nas seguintes posições indicadas na figura: Assim, d XY d BX d BY Alternativa C Y X

4 espm 6//008 cpv especializado na espm 3. A organização de uma eposição industrial estabeleceu que as placas de publicidade nos estandes deveriam ser retangulares, ter área igual a m² e seus perímetros não poderiam eceder 6 m. Se chamarmos o comprimento de uma dessas placas de, a epressão que melhor representa a sua variação é: a) b) c) d) 0 < e) 0 < Admitindo-se que o comprimento é maior ou igual a largura y de um retângulo, temos que:. y y + y 6 y 3 y y Esse sistema determina a seguinte região do plano cartesiano: y 3 y 3 y y Sejam n, k e AB, o número de pessoas no grupo de amigos, o número de amigos que deiam o grupo e a importância, em reais, cabida a cada um deles inicialmente. Assim, 6 n AB 6 AB n 6 6 n k BA BA n k Como n e n k são inteiros, temos que AB e BA pertencem ao conjunto dos divisores positivos de 6: {,, 3,, 6, 8, 9,, 8,, 7, 36, 5, 7, 08, 6}. Logo, AB 7 e BA 7 e, desta forma, n 8 e n k 3 k 5. Alternativa C 3. A figura abaio representa parte da planta de uma cidade bastante peculiar. Nela só eistem companhias de táis que operam em regiões eclusivas: a companhia Oeste trabalha somente à esquerda da rua R e a companhia Leste somente à direita dessa rua. Suas tarifas, em moeda local, são calculadas pelas epressões y 0 n e y (n + 3), respectivamente, onde n é o número de quarteirões percorridos. Um matemático deseja ir do ponto A ao ponto B, utilizando-se dos serviços das duas companhias para todo o percurso. Com alguns cálculos ele descobriu que o menor custo possível para isso seria igual a: 3 a) 3 b) 36 c) 30 d) 3 e) 38 Logo, 33. Uma conta de restaurante no valor de R$ 6,00 seria dividida igualmente entre um grupo de amigos, dando para cada um deles, uma importância igual a um número inteiro de reais, formado por algarismos. No momento do pagamento, decidiu-se que essa conta seria dividida por um número menor de pessoas, o que acabou resultando para cada um, uma importância formada pelos mesmos algarismos anteriores, mas em ordem inversa. O número de pessoas que deiou de pagar a conta foi: a) 3 b) c) 5 d) 6 e) 8 Sejam n e n o número de quarteirões percorridos pela companhia oeste e leste respectivamente, partindo de A para B. Logo o matemático, de qualquer forma, percorrerá 8 quarteirões e, assim, n + n 8. Como queremos minimizar o custo, devemos minimizar a função C 0n + (n + 3) C(n ) 0. (8 n ) + (n + 3) C(n ) n n ( ) A função C(n ) será mínima para n 7 e, desta forma,. seu valor mínimo é C(7) 30. Alternativa C

5 cpv especializado na espm espm 6// Uma seqüência numérica (a n ) é tal que a e a n n + a n. O centésimo termo dessa seqüência vale: a) 5050 b) 5500 c) 6500 d) 950 e) 650 a Como a n, temos: an n + an a a + a a a a + a 3 + a a 99 a ( + 00). 00 a Alternativa A 36. No plano cartesiano, o simétrico do ponto (0, 8) em relação à reta de equação y k + 3 é um ponto do semi-eio positivo das abscissas. O valor de k é: a) b) /3 c) / d) / e) 8 3 Seja B (a, 0) simétrico do ponto A (0, 8). a Temos que M é o ponto médio de AB M,. A reta de equação y k + 3 passa pelo ponto C (0, 3). Como AB e CM são perpendiculares, temos: m AB a 0 a e m CM 3 a a k 0 m AB. m CM 8 a. a a a 6 a (NC) k k A C M B 0 a 37. Os gráficos abaio mostram o consumo de energia elétrica de uma máquina usada para a produção de um determinado artigo conforme o tempo de funcionamento e conforme o número de unidades produzidas. Com base nesses gráficos, podemos afirmar que o número de unidades produzidas em h5min de funcionamento dessa máquina é: a) 0 b) 00 c) 30 d) 90 e) 0 A relação entre tempo (t) e consumo (c) é dada por c 80t (I) A relação entre número de unidades (n) e consumo (c) é dada por c n (II). Igualando (I) e (II), temos 80t n e conforme enunciado t h 5min h. Assim, 80. n n 0 Alternativa E 38. Um cubo de cm de aresta tem duas faces adjacentes pintadas de azul e as demais são pintadas de branco. Esse cubo é, então, dividido em 8 cubinhos de cm de aresta, como mostra a figura abaio. Se um desses cubinhos for escolhido ao acaso e lançado sobre uma mesa, a probabilidade de que a face voltada para cima esteja pintada de azul é: a) /3 b) / c) / d) / e) /6 Fazendo a análise da figura, temos a seguinte distribuição: cubinhos com duas faces azuis. cubinhos com uma face azul. cubinhos com nenhuma face azul. Assim a probabilidade de cair face azul voltada pra cima é: P(A) Alternativa E 6 Prob. de cair um dado com duas faces azuis. Prob. de cair um dado com duas faces azuis.

6 6 espm 6//008 cpv especializado na espm 39. A soma das medidas de todas as arestas de um paralelepípedo reto-retângulo é 8 cm e o seu volume vale 6 cm 3. Além disso, sabe-se que as áreas (em cm ) de suas 3 faces distintas formam uma PG. A menor aresta desse paralelepípedo mede: a) cm b), cm c) cm d) cm e) 0,5 cm COMENTÁRIO Embora a prova de Matemática da ESPM-009 o semestre tenha mantido o tradicional nível de dificuldade dos últimos anos, neste ano, ela se mostrou mais adequada ao propósito de seleção dos candidatos mais bem preparados. Algumas questões, tais como 7, 8, 3 e 3 se destacaram pela criatividade e pela originalidade. Já na 3, observamos um pequeno detalhe que poderia ter confundido o vestibulando. Quando o enunciado se refere ao comprimento, o candidato deve pressupor que este é sempre maior ou igual a largura. Sendo a, b e c as medidas das arestas desse paralelepípedo, do enunciado, temos: PG (ab; bc; ac) bc ac a ab bc bc Como a. b. c 6 e a b. c vem: a. a 6 a temos ainda: a + b + c b + c 7 b a. b. c 6 b. c 6 c 6 a a a a menor aresta desse paralelepípedo é cm. 0. Os pontos A (, + ), B (0, ) e C (, ) são vértices de um triângulo de área situado no primeiro quadrante do plano cartesiano. A medida do lado AB é igual a: a) 5 b) 0 c) 7 d) e) 3 D + 0 D + + Sendo A a área do triângulo ABC, vem: A. D ou 3 ( I Q) ou 8 7 ( IR) logo: A(3, ) e B(0, 3) AB ( 3 0) ( 3) + AB 0