Matemática Unidade I Álgebra Série 15 - Progressão geométrica. a 4 = a 1 q 3 54 = 2 q 3 q 3 = 27 q = 3. a 5 = a 1 q 4 a 5 = a 5 = 162

Transcrição

1 0 a 4 = a q 3 54 = q 3 q 3 = 7 q = 3 a 5 = a q 4 a 5 = 3 4 a 5 = 6 Resposta: C

2 0 a 8 = a q 4 43 = 3 q = q 6 q 6 = 3 6 Como os termos são positivos, q > 0; assim: q = 3 a 5 = a q 3 a 5 = 3 33 a 5 = 3 Resposta: D Observação: Desconsidere o valor dado para os termos da P.G. no enunciado do Caderno de Exercícios e considere os seguintes: a = e a8 = 43 3

3 ,,,,... q = 3 = 3 Seja x o termo que precede o. x = x = x = 3 ( ) x = ( 3 + ) x = 3 + Resposta: E 3

4 04 q = 4 q = 3 a n = a q n a n = 4 3 n Resposta: C 4

5 05 a = q (I) a + a = 40 (II) Das equações (I) e (II), vem: q + a q = 40 q + q q = 40 q + q 40 = 0 q + q 0 = 0 Como q > 0, temos q = 4; assim: a 4 = a q 3 a 4 = q q 3 a 4 = a 4 = 5 Resposta: B 5

6 06 4x + + = 6x 3 x + 3 4x + (4x + ) = (x + 3) (6x + 3) 6x + 6x + 4 = 6x + 3x + 8x + 9 0x 5x 5 = 0 x x = 0 Assim: x = ou x = Se x =, os lados do triângulo são 4, 6 e 9 e seu perímetro vale: = 9 Se x =, os lados do triângulo são 5, 0 e 0, o que é impossível. Resposta: B Observação: Desconsidere a expressão final, antes das alternativas, no enunciado desta questão no Caderno de Exercícios, e considere a seguinte: 6. (...) A medida do perímetro desse triângulo é, em u.c., igual a: (...) 6

7 07 sen α sen α tg α = (com 0º < α < 90º) sen α sen α sen α = sen α = sen α cosα sen α cos α = α = 60º tg α Resposta: D 7

8 08 Considere esta figura: lado: l perímetro: 4l área: l A sequência (l. 4l, l ) é uma P.G., então: 4l l =l 4l 4 = l l 4l l = 6 diagonal: d Aplicando o teorema de Pitágoras no ADC, d = l + l d = l d = l d = l Como l = 6, vem: d = 6 Resposta: A 8

9 09 Considere esta figura. lado: l volume: l 3 A sequência (l, l, l 3 ) é uma P.G., então: 3 l l = l l l =l l = l Assim: Área total = 6 l = 6 = Resposta: E 9

10 0 Analisando o que se afirma em cada uma das alternativas: a) a 5 = a q = 79 q 3 q 3 = 8 q = (correta) a b) a a a 3 = q a a q = = (3 6 ) 3 = 3 8 (correta) 3 a = 79 3 = a c) a = q a = 79 (correta) d) Como a > 0 e q >, a progressão é crescente. (correta) e) a 7 = a 5 q a 7 = 5.83 a 7 = 3 38 (incorreta) Resposta: E 0

11 a a = 9 (I) a 5 a4 = 576 (II) Da equação (I), vem: a q a = 9 a (q ) = 9 (III) Da equação (II), vem: a q 4 a q 3 = 576 a q 3 (q ) = 576 (IV) Dividindo a equação (IV) pela equação (III), vem: a 3 q (q ) a (q ) q 3 = 64 q = 4 = Substituindo q = 4 na equação (III), vem: a (4 ) = 9 a = 3 Resposta: A

12 Observe que a figura apresenta triângulo escuro, a figura apresenta 3 triângulos escuros, a figura 3 apresenta 9 triângulos escuros. Dessa forma, a figura 4 deve apresentar 7 triângulos escuros, o que ocorre na alternativa c. Resposta: C

13 3 a = q = n = 00 S 00 = 00 ( ) S 00 = 00 Resposta: A 3

14 4 (, 3, 9, 7,...) P.G. a = q = 3 Sn = 380 n (3 ) 3 80 = = 3 n 3 n = n = 3 8 n = 8 Resposta: B 4

15 5 x + x + x 4 + x 8 + x 6 + = 40 Observe que: x x x,,,... 4 é uma P.G. com a = x e q = Assim: x = 40 x = 40 x = 0 Resposta: C 5

16 6 Observe que (0,5; 0,05; 0,005; ) é uma P.G. com: a = e q = 0 Assim: 0,5 + 0,05 + 0, = 0 = 5 9 Resposta: B 6

17 7 4 Observe que,,,... 3 x x x é uma P.G. com: a = x e q = z x Daí: x + x x = x x x +... = é equivalente a: = x x + = x x 3 x = x = 3 Resposta: C 7

18 8 a = q S = a = q a q = q a = S = a 4 = a q 3 = Resposta: B a q = q = 3 a 4 = 8 8

19 9 S 3a = q = a S = 3a a 3 a a = = 3 3a 3a = a = 3 a + a + a 3 = a + a a + a a a + a + a 3 = a + a + a 3 = a + a + a 3 = a + a + a 3 = 38 7 Resposta: E 9

20 0 Considere a figura. P ABC = = cm P DEF = + + = 6 cm P GHI = + + = 3 cm Observe que (, 6, 3, ) é uma P.G. com a = e q =. Queremos calcular a soma ; assim: = = 4 cm Resposta: D 0

21 Seja x reais o valor que deve ser disponibilizado mensalmente. Do enunciado, devemos ter: Depósito inicial: x Após mês:,0 x + x Após meses:,0 (,0x + x) =,0 x +,0x + x Após 360 meses:,0 360 x +,0 359 x ,0x + x Observe que (x;,0x;,0 x;... ;,0 360 x) é uma P.G. com: a = x, q =,0 e n = 36. Daí: 36 x (,0 ) = ,0 x (36 ) = ,0 x 35 = x 86 Resposta: B

22 Depósito inicial: real Após mês: reais Após meses: 4 reais Após n meses: 048 reais Observe que (,, 4,..., 048) é uma P.G. com a =, q = e a n = 048. Daí: 048 = n = n n = Dessa maneira, temos:,, 4,..., 048,,, 4,..., 048,...,, 4,..., 048 o aniversário = o aniversário ( ) o aniversário = O montante total dos depósitos é dado por: = Resposta: D

23 3 Considere estas figuras. A = = A = A 3 = = 4 = 4 6 Observe que,,,... 4 x é uma P.G. com a = e q = 4. Daí: = 4 = 4 3 Resposta: E 3

24 4 V = 3 = 3 = 8 V = 3 = V 3 = 3 8 Observe que Daí: 8,,,... 8 é uma P.G. com a 8 e q = = 8 = Resposta: C 4

25 5 Os divisores positivos de são: 3 0, 3, 3, 3 3,..., Ou seja, formam uma P.G. com a = 3 0 =, q = 3 e n = 005. Assim: = Resposta: C 005 (3 ) 3 =

26 6 a = 5 = 5 a = 5 = 4 5 = a 3 = 4 5 = 8 5 = Queremos calcular , ou seja, Observe que,,, é uma P.G. com a = e q =. Daí: = = 4 8 Dessa forma: = 5 = 5 Resposta: E 6

27 7 Do enunciado, temos: (x r, x, x + r) P.A. x r + x + x + r = 5 x = 5 ( 7 r,0,8 + r) P.G r = 0 = (7 r) (8 + r) 7 r 0 00 = 6 + 7r 8r r r + r 6 = 0 Daí: r = 3 (Não convém.) ou r = Para r =, a P.G. é (5, 0, 0); logo, seu maior número vale 0. Resposta: A 7

28 8 (, a, b) P.A. a = b a b = a (I) (, 7, a + 46) P;G; 7 a + 46 = 7 7 = a + 46 a = 3 7 Substituindo a = 3 na equação (I), vem: b = 3 = 5 Assim, a + b = = 8 Resposta: B 8

29 9 a = 9, b =, c = 6 Como (a, b, c) é uma P.G. de razão q = 4 3, temos: b = 4 3 a c = 6 9 a A sequência (a, b, c) é uma P.A., então: b (a ) = c b b a + = c b b a + = c 4 3 a a + = 6 9 a 8 3 a a + = 6 9 a 6 9 a 8 3 a + a = 6a 4a + 9a = a = 9 9 Portanto: b = 4 3 c = = b = 9 = 6 c = 6 Resposta: a = 9, b =, c = 6 9

30 30 3,3,3 Assim: x+ y x x+ y x 3 3 = 3 3x + x+ y 3 x = 3 x = + x + y 3x = y (I) P.G. (, y, 3x) P.A. Assim: y = 3x y y = 3x + (II) Das equações (I) e (II) (3x ) = 3x + 6x 4 = 3x + 3x = 6 x = Substituindo x = na equação (I), y = 3 y = 4 Portanto: y x = 4 = Resposta: D 30

31 3 (x r, x, x + r) P.A. x r + x + x + r = 30 x = 0 (4 r, 6, + r) P.G. 6 + r = 4 r 6 6 = ( + r) (4 r) 36 = 4 r + 4r r r 3r + = 0 r = ou r = Se r =, temos a P.A. (8, 0, ) Se r =, temos a P.A. (, 0, ) (Não convém) Resposta: C 3

32 3 (a, b, a + b) P.A. b a = a + b b b = a (I) ( a, 6, b ) P.G. b 6 = a 6 6 = a b 8 = a + b a + b = 8 (II) Das equações (I) e (II), vem: a + a = 8 a = 8 3 Resposta: E 3

33 33 (a, a, a 3,...) P.G. com a > 0, a 6 = 9 3 e razão q. (a, a 5, a 9,...) P.G. com q = 9, a 5 = 9a Mas: a 5 = a q 4 a q 4 = 9 4 q = 9 a Como a > 0 e a 6 = 9 3, temos q < 0. q = 4 3 q = 3 a = a = a q = ( 3 ) = 3 a 7 = a q 5 = 3 ( ) 5 3 = 7 a a 7 = 3 7 Resposta: A 33

34 34 k = 0 x k 9 = 8 x 0 + x + x 4 x = 9 8 Observe que (x 0, x, x 4, x 6,...) é uma P.G. com a = x 0 = e q = x Assim: 9 = x 8 8 = 9 9x 9x = x = 9 x = ou x = = Resposta: D 34

35 35 Lembrando que o comprimento de uma circunferência de raio r vale πr, o comprimento da trajetória descrita pela partícula é dado por: R π π π πr πr + πr + πr πr πr Observe que πr,,,... 4 é uma P.G. com a = πr e q =. Assim: πr + πr + πr = πr = πr Resposta: E 35