Matemática Unidade I Álgebra Série 14 - Progressão aritmética. a 2 = 2 + a 1 = 3 a 3 = 3 + a 2 = 6 a 4 = 4 + a 3 = 10 a 5 = 5 + a 4 = 15.

Transcrição

1 01 a 2 = 2 + a 1 = 3 a 3 = 3 + a 2 = 6 a 4 = 4 + a 3 = 10 a 5 = 5 + a 4 = 15 Resposta: C 1

2 02 a 3 = a 2 + a 1 = 2 a 4 = a 3 + a 2 = 3 a 5 = a 4 + a 3 = 5 Resposta: D 2

3 03 O que Ronaldo percebeu é que a soma dos elementos da linha é dado por a n = n 2, veja: a 1 = 1 a 2 = 4 = 2 2 a 3 = 9 = 3 2 Assim: a 9 = 9 2 = 81 Resposta: D 3

4 04 a 3 = a 1 a 2 a 4 = a 2 a 3 Como a 1 = 26 e a 2 = 14, a 3 = = 12 a 4 = = 2 a 5 = a 3 a 4 = 12 2 = 10 a 6 = a 4 a 5 = 2 10 = 8 O sexto termo é o primeiro termo negativo Resposta: A 4

5 05 Como se trata de uma P.A., temos: 2 (m + 1) = 3m + 5 m = 3 Assim, a P.A. ( 9, 2, 5) tem razão igual a 7 Resposta: C 5

6 06 Como se trata de uma P.A., temos: 2(4x) = (2x + 2) + (2x 2 + 2) 2x 2 6x + 4 = 0 x 2 3x + 2 = 0 x = 2 ou x = 1 Se x = 1, temos os seguintes valores: 4, 4 e 4. Mas, como a razão deve ser não nula, então não convém. Se x = 2, temos os seguintes valores 6, 8 e 10. Portanto, os três estudantes juntos reservaram um total de 24 livros. Resposta: D 6

7 07 Seja a n o número de passagens vendidas no mês n, em que n = 1 representa janeiro, n = 2 representa fevereiro, e assim por diante. Note que a razão da P.A., é Assim, em julho, foram vendidas: a 7 = a 1 + 6r = = Resposta: D 7

8 08 Do enunciado, r = 15 e a 10 = 595. a 10 = a 1 + 9r 595 = a = a 1 Resposta: A 8

9 09 Da figura temos a seguinte P.A. (4, 7, 10,...) Como Q é a quantidade de quadrados e C a quantidade de canudos, temos, pela expressão do tempo geral da P.A.: C = 4 + (Q 1) 3 C = 3Q + 1 Resposta: B 9

10 10 Como foram interpoladas 7 meios aritméticos entre 10 e 98, temos: a 1 = 10 e a 9 = 98. Como se trata de uma P.A., o termo do meio é a média aritmética dos termos que equidistam dos extremos, isto é: a1 + a a5 = = = Resposta: C 10

11 11 a1 + a5 = 9 a 1 + (a1 + 4r) = 9 2a1 + 4r = 9 (I) a2 + a3 = 8 (a1 + r) + (a1 + 2r) = 8 2a1 + 3r = 8 (II) Subtraindo (II) de (I), obtemos: 5 r = 1 a1 = 2 Portanto: 5 23 a10 = a1 + 9r = + 9 = 2 2 Resposta: B 11

12 12 Do enunciado: (5, 7, 9,..., a 15,...) P.A. r = 7 5 =2 a 1 = 5 a 15 = a r a 15 = a 15 = 33 Assim, no décimo quinto dia, serão soltos 33 pássaros. Resposta: C 12

13 13 Do enunciado: a 1 = 46 r = 6 a n = 136 Assim: a n = a 1 + (n 1) r 136 = 46 + (n 1) 6 n = 16 Portanto, passaram-se 16 sábados, sem contar o da inauguração, para atingir a cota máxima da pizzaria. Resposta: B 13

14 14 (600, 597, 594,..., a 100 ) r = = 3 a 100 = ( 3) a 100 = = 303 Resposta: C Observação: Desconsidere os valores as prestações, dadas no enunciado desta questão, no Caderno de Exercícios, e considere o seguinte: 14. (...) A primeira prestação é de R$ 600,00; a segunda é de R$ 597,00; a terceira é de R$ 594,00; a quarta é de R$ 591,00; e as demais obedecerão ao mesmo critério de cálculo. (...) 14

15 15 a 1 = 3, r = 0,3 e a n = 27 Assim: a n = a 1 + (n 1) r 27 = 3 + (n 1) 0,3 n = 81 Sabemos então que, 81 dias após o domingo mencionado, a planta atingirá 27 cm. Como os dias da semana têm um ciclo de 7 dias e a divisão de 81 por 7 dá resto 4, a planta atingirá a altura de 27 cm no 4º dia a partir de domingo, isto é, na quarta-feira. Resposta: C 15

16 16 Primeiro múltiplo (a 1 ) é 25, o último múltiplo (a n ) é 1 875, e r = 5. Assim, temos: a n = a 1 + (n 1) r = 25 + (n 1) 5 n = 371 Resposta: B 16

17 17 Sobre os múltiplos de 7: Primeiro múltiplo: a 1 = 21 Último múltiplo: a n = 994 Com r = 7, vem: a n = a 1 + (n 1) r 994 = 21 + (n 1) 7r n = 140 Sobre os múltiplos de 3: Primeiro múltiplo: b 1 = 102 Último múltiplo: b n = 399 Com r = 3, vem: b n = b 1 + (n 1) r 399 = (n 1) 3r n = 100 A soma dos valores é = 240. Resposta: B 17

18 18 Seja a P.A. (x r, x, x + r). Do enunciado: x r + x + x + r = 15 3x = 15 x = 5 Assim, os termos da P.A. são (5 r, 5, 5 + r). Também do enunciado, temos: (5 r) (5 + r) 2 = r 2 = 107 r = ±4 Como a P.A. é crescente, temos r = 4. Logo, a P.A. é (1, 5, 9). Resposta: D 18

19 19 Sejam os lados dos triângulos (x r, x, x + r). Pelo Teorema de Pitágoras: (x + r) 2 = x 2 + (x r) 2 4 x r = x 2 x = 4r Assim, os lados do triângulo são (3r, 4r, 5r). Dado que o menor lado mede 6, temos: 3r = 6 r = 2 Portanto, os lados do triângulo são (6, 8, 10) e a sua área é obtida por: 6 8 = 24 2 Resposta: D 19

20 20 Primeira progressão: a 1 = 2, r = 7, a n = k a n = a 1 + (n 1) r k = 2 + (n 1) 7r k = 7n 5 (I) Segunda progressão: b 1 = 382, r = 12, b n = k b n = b 1 + (n 1) r k = (n 1) ( 12)r k = n (II) Igualando (I) e (II): n = 7n 5r 19n = 399r n = 21 Substituindo em (I) k = = 142 Resposta: D 20

21 21 Daqui a n meses a doação da empresa A será dada por: a n = (n 1) ( 600)r a n = n Daqui a n meses a doação da empresa B será dada por: b n = (n 1) (300)r b n = 300n O depósito da empresa A será igual ao de B quando a n = b n, isto é: n = 300nr = 900nr n = 14 Ou seja, daqui a 14 meses, as doações de ambas as empresas serão iguais. Como n = 1 representa o mês de janeiro de 2 010, n = 14 representa o segundo mês do ano subsequente, isto é, fevereiro de Resposta: Fevereiro de

22 22 1 a camada cinza: 4 ladrilhos 2 a camada cinza: 20 ladrilhos 3 a camada cinza: 36 ladrilhos Assim: (4, 20, 36,...) P.A. r = 20 4 = 16 a 10 = a 10 = 148 A 10 a camada cinza possui 148 ladrilhos. Resposta: D 22

23 23 (cos 15º, cos a, cos 75º) P.A. cos a cos 15º = cos 75º cos a 2 cos a = cos 15º + cos 75º 2 cos a = cos(45º 30º) + cos (45º + 30º) 2 cos a = cos 45º cos 30º + sen 45º sen 30º + cos 45º cos 30º sen 45º sen 30º 2 cos a = 2 cos 45º cos 30º cos a = cos a = 6 4 Resposta: D 23

24 24 (3, x, cos θ) P.A. x 3 = cos θ x 2x 3 = cos θ Como 1 cos θ 1 e cos θ = 2x 3, temos: 1 2x x x x x 2 Resposta: D 24

25 25 a 1 = = 5 a 20 = = 62 ( ) a1 + a20 20 S20 = = ( ) 10 = Resposta: E 25

26 26 a 1 = 1, a 2 = 3, a 3 = 5, r = 2 Assim: a 20 = a r a 20 = a 20 = 39 ( ) a1 + a20 20 S20 = = ( 1+ 39) 10 = Resposta: A 26

27 27 a 1 = 1, r = 2 Daí: a = a r a = = ( ) a + a S1000 = = ( ) 500 = Resposta: A 27

28 28 Sejam T n os números triangulares. Assim: T 1 = 1 T 2 = = 3 T 3 = = 6 T 4 = = 10 T 5 = = 15 Observe que T n é a soma dos n primeiros termos de uma P.A. de a 1 = 1 e r = 1; portanto T n = S n. ( ) a + a 20 ( ) 1 20 T20 = S20 = = = 210 Resposta: D 2 28

29 29 Seja a 1 a receita no mês de janeiro, a 2 a no mês de fevereiro, e assim por diante. Do enunciado, temos a 1 = ,00 e que se te trata de uma P.A. de razão ,00. Assim, em dezembro a receita será: a 12 = a r a 12 = = No final do ano, será obtida uma receita de: ( a1 + a12 ) 12 S12 = = ( ) 6 = Resposta: E 29

30 30 Temos, a 1 = 5 e S 20 = 480. Assim: ( ) a1 + a20 20 S20 = 480 = ( 5 + a20 ) 10 a20 = 43 2 a 20 = a r 43 = r r = 2 a 10 = a 1 + 9r a 10 = = 23 Resposta: D 30

31 31 Seja a n o juro pago na prestação de ordem n, isto é, a 1 é o juro pago na primeira prestação. Assim, a 1 = 2 000,00, r = 20,00. a 100 = a r a 100 = ( 20) a 100 = 20 ( ) a1 + a S100 = = ( ) 50 = Resposta: B 31

32 32 Seja a n a importância arrecadada no dia n. Assim, a 1 = 120 e r = 40, logo: a n = a 1 + (n 1) r a n = n 40r a n = n i ( + ) ( + + ) a a n n n = = n + 100n = 0 1 n S n Daí: n = 20 ou n = 25 (não convém) Assim, o montante da arrecadação atingiu 10 milhões de reais no 20º dia. Resposta: D 32

33 33 Do enunciado, S p = p (p 2). Como a 11 = S 11 S 10, temos: a 11 = = 19 Resposta: C Observação: Desconsidere o gabarito dado para esta questão no Caderno de Exercícios e considere a resposta acima. 33

34 34 Sabe-se que S n = 3n a soma dos n primeiros termos, que a soma dos oito primeiros é dado por S 8 e que a soma dos sete primeiros é por S 7. Então, a diferença S 8 S 7 é o próprio oitavo termo: a 8 = S 8 S 7 = ( ) ( ) = = 45 Resposta: E 34

35 35 Em um P.A., a soma dos termos que equidistam dos extremos é constante, isto é: a 1 + a 10 = a 2 + a 9 = a 3 + a 8 =... Do enunciado, temos: ( a1 + a10 ) 10 S 10 = 500 = ( a1 + a10 ) 5 a1 + a10 = a + a = Resposta: B 35

36 36 Em uma P.A., a média aritmética dos termos que equidistam dos extremos é o termo do meio, isto é: a1 + a15 a2 + a14 = =... = a8 2 2 Do enunciado, temos: ( a1 + a15 ) 15 ( a1 + a15 ) 15 a1 + a15 S 15 = 150 = = a = 10 8 Resposta: A 36

37 37 ( ) n 15 = 30 = 10 n n = 3 2 Ainda: a n = a 1 + (n 1) r a 1 = 5 a n = 15 n = 3. Daí: 15 = 5 + (3 1) r r = 10 Portanto: r r = 10 3 = 30 r n = 30 Resposta: D Observação: Desconsidere o gabarito dado para esta questão no Caderno de Exercícios e considere a resposta acima. 37

38 38 a21 = r = 100 a 21 = a r = a a 1 = (a1 + a 21) 21 S21 = 2 ( ) 21 S21 = 2 S 21 = m Resposta: B 38

39 k= 1 (2k + 5) = (2 1+ 5) + ( ) + ( ) ( ) 100 k= 1 ( ) 100 = = = Resposta: C 39