Solução do Simulado PROFMAT/UESC 2012

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1 Solução do Simulado PROFMAT/UESC 01 (1) Encontre uma fração equivalente a 9/5 cuja soma dos termos é igual a 196: (A) 96/100 (B) 106/90 (C) 116/80 (D) 16/70 (E) 136/ = = () Um grupo de 6 pessoas é formado por André, Bento, Caio, Luisa, Maria e Neide. Apenas uma das três mulheres é irmã de um dos três homens. Bento é filho único, tal qual Neide. Maria é prima de Caio, André não tem irmãs e é tio de Maria. Os irmãos são (A) Caio e Luiza (B) Caio e Maria (C) André e Neide (D) André e Luiza (E) Bento e Maria Bento é filho único, tal qual Neide, diante disso, analisaremos André, Caio, Luiza e Maria. Como Maria é prima de Caio e André é tio de Maria, segue que André não é irmão de Caio. Também temos que André não é irmão de Luiza nem de maria pois ele não tem irmãs. Agora analisando Caio, Luiza e Maria, podemos concluir que os irmãos são Caio e Luiza pois Caio é primo de Maria. (3) A quantidade de números múltiplos de 4, com 4 algarismos distintos que se pode formar com os elementos do conjunto A = {1,, 3, 4, 6} é igual a: (A) 1 (B) 18 (C) 4 (D) 6 (E) 36 Um número será múltiplo de 4 quando seus dois últimos algarismos for um múltiplo de 4. Assim temos as seguintes possibilidades para os dois últimos algarismos: 1, 16, 4, 3, 36, 64. Então, para os três primeiros algarismo temos 3 = 6 possibilidades. Portanto, há 6 6 = 36 números múltiplos de 4, com 4 algarismos distintos. (4) Comparando os números x = 9, e y = 104 0,1.10 5, podemos afirmar que: (A) x= 43.y (B) y=43.x (C) x=4300+y (D) y= x (E) x= y x = 9, = 9 5/ 10 3 = = = e y = 104 0, = ( 10 ) 0, = 10 5 =

2 Logo, x = y. (5) A média aritmética de 10 números é,35. Retirando um desses números, a média passa a ser,75. O número retirado é igual a: (A) -1,5 (B) -0,4 (C) -,75 (D) -,5 (E) 3,3 Sejam a 1, a, a 3,..., a 10 tais que a 1 + a + a a que retiramos o número a 10 e, assim, a 1 + a + a a 9 =, Daí, =, 35. Suponha a 1 + a + a a =, 35 a 1 + a + a a 10 = 3, 5 a 10 = 3, 5 (a 1 + a + a a 9 ) = 3, 5, 75 9 = 3, 5 4, 75 = 1, 5 (6) O gráfico abaixo nos dar informações sobre a velocidade de conexão à internet utilizada em domicílios no Brasil. Analisando os dados do gráfico, podemos afirmar que: (A) Menos de 5% dos entrevistados tem em seus domicílios banda larga de conexão de pelo menos 56 kbps. (B) Mais de 7% dos entrevistados não sabem informar sobre a velocidade de conexão. (C) É predominante há banda larga de conexão de 1Mbps a Mbps. (D) Mais de 0% dos entrevistados tem em seus domicílios banda larga de conexão de Mbps a 8Mbps. (E) Menos de 0% dos entrevistados tem em seus domicílios banda larga de conexão de Mbps a 8Mbps. ANULADA (7) Dezoito litros de água foram dispostos em três garrafões. O maior deles tem o dobro da capacidade de um dos outros dois e a diferença entre os volumes dos dois menores é de dois litros. O volume do garrafão menor pode ser de: (A) 1

3 3 (B) (C) 3 (D) 4 (E) 5 ANULADA (8) Na figura a seguir, dois triângulos equiláteros são sobrepostos de modo que a região comum dos triângulos seja um hexágono com pares de lados paralelos e de perímetro 1 cm. Qual é o perímetro de cada um dos triângulos? (A) 1 cm (B) 16 cm (C) 18 cm (D) 4 cm (E) 36 cm (9) Renata pagou R$ 10, 00 ao comprar um celular devido ao fato de ter feito o pagamento à vista obtendo um desconto de 15%. Qual era o seu preço original? (A) R$ 10, 00 (B) R$ 117, 30 (C) R$ 110, 00 (D) R$ 117, 00 (E) R$ 11, 00 Valor à vista com o desconto = R$ 10, 00 Desconto = 15% Valor do preço original = x Assim, x 15%x = 10, 00 x 0, 15x = 10, 00 x(1 0, 15) = 10, 00 x = 10,00 0,85 x = 10, 00 (10) Seja ABC um triângulo retângulo em B. Sejam M e N os pontos médios de AB e BC, respectivamente. Dado que AN=19 e CM=, determine a medida do segmento AC. (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 30

4 4 (E) 3 Sejam AB = y e BC = x, como mostra a figura abaixo. Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos ABN e BM C, obtemos x + 4y = 19 4x + y =. Resolvendo o sistema, obtemos x = 105 e y = 64. Portanto, e, assim, AC = 6. (11) O número 16 3/4 é igual a: (A) 1 (B) (C) 3 (D) 1/16 (E) 1/3 AC = 4x + 4y = = 676 ( ) /4 = 16 = 3 (1) Assinale a alternativa verdadeira. (A) Se f for uma função, então f(u + v) = f(u) + f(v) (B) Se f(u) = f(v), então u = v (C) Se f for uma função, então f(3u) = 3f(u) (D) Uma reta vertical intercepta o gráfico de uma função no máximo uma vez (E) Se f e g são funções, então f g = g f (13) Considere três quadrados de área igual a 1 inscritos no retângulo, como mostra a figura abaixo. A área do retângulo é: (A) 3 (B) 4

5 5 (C) 6 (D) 6 (E) 8 Consideremos a figura abaixo. Usando o Teorema de Pitágoras, obtemos x = e y = 1, donde concluimos que x = e y =. Portanto, a área do retângulo é igual ao produto da base ( + ) pela altura ( + ), isto é, ( ( ) ) A = + + = 6. (14) Se a + b + c = 8, ab + ac + bc = 1 e abc = 4, o valor de a bc + b ac + c ab (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 10 é igual a: a bc + b ac + c ab = a + b + c = (a + b + c) (ab + ac + bc) = 10 abc abc (15) Qual dever ser o valor de y para o número de divisores do número A = y seja igual ao número de divisores do número B = (A) 1 (B) 13 (C) 14 (D) 15 (E) 16 Seja C = α 3 β 5 λ um número qualquer. O número de divisores de C é igual a (α + 1)(β + 1)(λ + 1). Assim, o número de divisores de B é igual a (4 + 1)(4 + 1)(8 + 1) = 5. Para que A tenha o mesmo número de divisores de B devemos ter Portanto, y = 14. ( + 1)(4 + 1)(y + 1) = 5. (16) Os valores de n R tais que a equação ( n)x + nx + n + = 0 tenha duas raízes reais distintas e maiores que zero devem pertencer ao intervalo: (A) (, ) (B) (, ) (, + )

6 6 (C) (, ) (D) (, ) (E) (, ) Para determinar o número de raízes de uma equação do segundo grau ax + bx + c = 0 calcula-se o valor do discriminante, isto é, o valor de = b 4ac. Se o valor encontrado for maior que zero então a equação do segundo grau tem duas raízes reais distintas. Portanto, é preciso que ou seja, o que implica (n) 4( n)(n + ) > 0, n > 0, n > ou n <. Agora, para as raízes serem positivas devemos ter que o produto e soma sejam maiores que 0. Assim, e c a > 0 n+ n > 0 n > b a > 0 n n > 0 n > 0 n < 0 Portanto, o intervalo ao qual devem pertencer as raízes reais distintas positivas é (, ). (17) Depois que o pai de Pedro faleceu, os dois irmãos de Pedro, sua mãe e ele receberam cada um uma parte da herança. A irmã de Pedro e o irmão ficaram com a metade, distribuída na proporção de 4 para 3, respectivamente. A viúva ganhou o dobro do que coube ao irmão de Pedro, e Pedro, R$ 800, 00. Qual o valor da herança? (A) R$ 7.00, 00 (B) R$ 8.400, 00 (C) R$ 11.00, 00 (D) R$ , 00 (E) R$ , 00 Sejam x o valor que a irmã de Pedro recebeu de herança, y o valor que o irmão de Pedro recebeu de herança, z o valor que a viúva recebeu de herança e w o valor total da herança. Assim, x + y + z + 800, 00 = w. Temos que a irmã de Pedro e o irmão ficaram com a metade, isto é, x + y = w. x Distribuída na proporção de 4 para 3, respectivamente. Assim, y = 4 3, e obtemos que x+y x = = w x. Isolando os valores de x e y obtemos x = w 7 e y = 3w 7. A viúva ganhou o dobro do que coube ao irmão de Pedro, isto é, z = y. Substituindo o valor de y temos z = 3w 7. Portanto,

7 7 x + y + z + 800, 00 = w w 7 + 3w w , 00 = w w 14 = 800, 00 w = 11.00, 00 (18) Camila comprou uma cartolina retangular de 10 centímetros de comprimento por 80 centímetros de largura. Ela pintou 0% da cartolina. Ela faz isso pintando-a em duas faixas de mesma largura nas laterais da cartolina, conforme mostra a figura. Qual é essa largura? (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 16 (E) 4 Seja x a largura de cada faixa. A área pintada por Camila é x 10. Por outro lado, Camila pintou 0% da área total, isto é, ela pintou 0% de = = 190 cm. Portanto, 40x = 190 e, assim, x = 8. (19) Sejam a e b números reais. Assinale a alternativa correta. (A) a + b = a + b 1 (B) a b = 1 a 1 b (C) ( ) a+b a +b (D) (a + b) = a + b (E) 1+T a a = 1 + T Como ( ) a b 0, para todo a, b números reais, segue que ou seja, Isto implica que a + b a + b ab 4 0, (a + ab + b ) 4 ( ) a + b a + b. 0.

8 8 (0) Considere o conjunto A = { r Q : r 0 e r < 3 }. As seguintes afirmações são feitas sobre A: I. 3 A e 1, A II. {x R : 0 < x < 3} A = φ III. ( + 7) 1 A Pode-se dizer, então, que é(são) verdadeira(s) apenas (A) I e II (B) I e III (C) II e III (D) I (E) II I é verdadeira. Com efeito, o conjunto A é dado por A = { r Q : r 0 e r < 3 } = [0, 3). Diante disso, é fácil ver que 3 A e 1, A. II é falsa. {x R : 0 < x < 3} A = (0, 3) φ III é falsa. 3 < = ( + 7) 1 (1) Para preparar um chocolate quente para 8 pessoas, foi necessário misturar 3 colheres de chocolate com 7 copos de leite. Então, para preparar esse mesmo chocolate para 4 pessoas, mantidas as proporções, seriam necessários (A) 6 colheres de chocolate e 14 copos de leite. (B) 6 colheres de chocolate e 1 copos de leite. (C) 9 colheres de chocolate e 14 copos de leite. (D) 9 colheres de chocolate e 1 copos de leite. (E) 1 colheres de chocolate e 8 copos de leite. () Sejam f(x) = x e g(x) = x x+1 duas funções reais. Assinale a alternativa correta. (A) Se x < 1, então f(x) < g(x) (B) Se x < 0, então f(x).g(x) > 0 (C) Para todo x R, f(x) > g(x) (D) Se 5/3 < x < 3, então g(x) f(x) (E) Se x < 0, então f(x) > g(x) (A) Verdadeira. De fato, para x < 1, f(x) g(x) = x Assim, f(x) < g(x). (B) Falso, pois para x =, x x(x + 1) x = = x x + 1 x + 1 x + 1 < 0. f( ) g( ) = ( ) = 4 < 0. (C) Falso, pois para x = 0, f(x) = g(x).

9 9 (D) Falso. Para x = 3, temos g ( 3/) = 3 e f( 3/) = 3/. Portanto, g(x) > f(x). (E) Falso, pois para x =, f( ) = e g( ) =, o que implica f( ) < g( ). (3) O perímetro de um retângulo é 100 centímetros e a diagonal mede x centímetros. Qual é a área do retângulo, em centímetros quadrados? (A) 65 x (B) 65 x (C) 150 x (D) 50 x (E) 500 x Sejam a e b as dimensões do retângulo. Sabendo que a+b = 50 e a +b = x, temos que a área A do retângulo é dada por A = a b = a(50 a) = 50a a = 50a x + b = 50a x + (50 a) = 50a x a + a = a + a x = 500 A x. Daí concluimos que A = 150 x. (4) Permutam-se de todas as formas possíveis os algarismos 1,, 3, 4, 5 e escrevem-se os números assim formados em ordem crescente. I. O número ocupa o 90 o lugar. II. O 85 o lugar é ocupado pelo número III. Podemos formar 10 algarismos distintos, usando-se estes algarismos. Podemos afirmar, que é(são) verdadeira(s) apenas: (A) I e II são verdadeiras (B) I e III são verdadeiras (C) II e III são verdadeiras (D) Nenhuma afirmação é verdadeira (E) Todas as afirmações são verdadeiras ANULADA (5) Nos três primeiros meses de funcionamento de uma pizzaria, 10 pizzas foram vendidas. Somando três pizzas ao número de pizzas vendidas no primeiro mês, subtraindo três pizzas ao número de pizzas vendidas no segundo mês e dividindo por três o número de pizzas vendidas no terceiro mês, obtém-se o mesmo número. Comparando o número de pizzas vendidas em cada um desses meses, o maior desses números é: (A) Ímpar (B) Menor que 40 (C) Divisível por 7 (D) Cubo perfeito

10 10 (E) Múltiplo de 8 Sejam x o número de pizzas vendidas no primeiro mês, y o número de pizzas vendidas no segundo mês e z o número de pizzas vendidas no terceiro mês. Temos que x+y+z = 10. Sabemos que somando três pizzas ao número de pizzas vendidas no primeiro mês, subtraindo três pizzas ao número de pizzas vendidas no segundo mês e dividindo por três o número de pizzas vendidas no terceiro mês, obtém-se o mesmo número. Logo, 3 + x = y 3 = z 3. Isolando os valores de y e z em função de x obtemos, y = 6 + x e z = 9 + 3x. Assim, x + y + z = 10 x + (6 + x) + (9 + 3x) = 10 5x = x = 1 Substituindo x em y e z temos que y = 7 e z = 7. Logo o maior desses números é um múltiplo de 8. (6) A figura ao lado é formada por dois quadrados de área 400 cm cada um, parcialmente sobrepostos, de modo que o perímetro da figura (linha mais grossa) é igual 100 cm. Qual é a área da região comum aos dois quadrados, em cm? (A) 50 (B) 100 (C) 00 (D) 400 (E) 450 Cada quadrado tem lado igual a 0 cm. Sejam X e Y as interseções dos quadrados, como mostra a figura abaixo. A reta XY divide a parte hachurada em triângulos retângulos de catetos 0 cm e 10 cm. Portanto, a área na região hachurada é 0 10 = 00.

11 11 (7) A subtração das soluções da equação x 6 4 x 6 5 = 0 é igual a: (A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 1 (E) 13 Consideremos w = x 6. Então w 4w 5 = 0 implica que w = 5 (w = 1 não satisfaz pois w 0). Assim, x 6 = 5 implica que x 1 = 11 e x = 1. Portanto, x 1 x = 10. (8) No conjunto R dos números reais, a alternativa falsa é: (A) Se 0 < x < 1 então x < x (B) Se x > 1 então x > x (C) Se x < y então x < x+y (D) Se x(x x ) = 0 então x = 0 ou x = ou x = 1 (E) Se x < y e u < v então xu < yv (A) Verdadeiro. Se 0 < x < 1, então 0 x < x x < 1 x, ou seja, x < x. (B) Verdadeiro. (C) Verdadeiro. x > 1 x x > 1 x x > x x < y x + x < x + y x < x + y x < x + y (D) Verdadeiro. De fato, qualquer um dos valores x = 0, x = ou x = 1 satisfaz a equação. (E) Falso. De fato, se x = 1, y =, u = 5, v = 1 então ( 1).( 5) = 5 >.1 =. (9) Em um curso de Inglês com 35 pessoas, 16 são homens e 11 são mulheres com 18 anos ou mais. Se nesse curso há 15 pessoas com menos de 18 anos, o número de homens com 18 anos ou mais é: (A) 10 (B) 9 (C) 8 (D) 7 (E) 6 O número total de pessoas é 35. Como 16 são homens, temos que 19 são mulheres. Sabemos que 11 mulheres tem 18 anos ou mais, logo 8 mulheres tem menos de 18 anos. Sabemos também que 15 pessoas tem menos de 18 anos, e 8 delas são mulheres, logo 7 são homens. Como há 16 homens e 7 deles tem menos de 18 anos obtemos que o número total de homens com 18 anos ou mais é igual a 9. (30) Para sua festa de aniversário Joana fez 144 brigadeiros para serem distribuídos igualmente entre todas as pessoas que foram convidadas. No dia da festa faltaram 1 pessoas, ela dividiu os 144 doces igualmente entre os convidados presentes, cabendo a cada convidado um doce a mais. O número de convidados que estavam presentes na festa era: (A) 36 (B) 40 (C) 4 (D) 48 (E) 50

12 1 Sejam x o número de convidados e d a quantidade de brigadeiros para cada pessoa da festa. A questão nos diz que 144 x 144 x 1 = d = d + 1. Resolvendo o sistema, obtemos x = 48 e d = 3. Logo, o número de convidados que estavam presentes na festa era x 1 = 36. (31) Um número é chamado capicua quando lido da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda representa sempre o mesmo valor, como por exemplo, o número 77. Quantos são os números de três algarismos que são capicuas e pares? (A) 40 (B) 50 (C) 69 (D) 99 (E) 10 Para formar um número temos os seguintes algarismos 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Como não podemos iniciar o número com o algarismo 0, restam 9 possibilidades para o primeiro algarismo do número, mas como queremos que o número seja par, restam 4 possibilidades para o último algarismo. Assim temos = 40 números de três algarismos que são capicuas e pares. (3) A nota de João na disciplina de Física será dada pela média aritmética das notas das provas. Depois das duas primeiras provas sua nota era 3, com a terceira prova sua nota aumentou um ponto. Que nota João tirou na terceira prova? (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9 Sejam n 1, n e n 3 as notas de João das 1 a, a e 3 a provas, respectivamente. Então n 1 + n = 3 Daí obtemos n 3 = 6. n 1 + n + n 3 3 = 4. (33) Na figura, todas as circunferências menores têm o mesmo raio r e os centros das circunferências que tocam a circunferência maior são vértices de um quadrado. Sejam a e b as áreas hachuradas indicadas na figura. Então a diferença a b é igual a:

13 13 1 (A) π (B) r (C) 0 (D) r (E) rπ Sejam S 1, S e S 3 as áreas hachuradas como mostra a figura abaixo. Daí vemos que S 1 = 1 πr, S = 1 4 πr e S 3 = 1 πr. Assim, S 1 + S + S 3 + b = 1 4 π(3r) b = πr. A área a é a área de uma circunferência de raio r, isto é, a = πr. Portanto, a b = 0. (34) Podemos garantir que o número x = é: (A) Irracional e positivo (B) Inteiro e negativo (C) Um número entre -1 e 0 (D) Múltiplo de 7 (E) Decimal e positivo x = (3 8) + (3 + 8) = 6 (3 8)(3 + 8) = = 4 x = ±. Como 3 8 < 3 + 8, segue que x < 0. Logo, x =, que é um número inteiro e negativo. (35) Quantos divisores positivos e pares o número 6! = possui? (A) 36 (B) 30 (C) 4 (D) 1 (E) 8