4.6. 2x 1. 2x 1 = 10 2x = x = C.S. = (x 5) = x 4 2x 10 = x 4 2x + x = x = (x 1) + 3 = 2 ( 2) ( 2) ( 2)

Transcrição

1 Matemática 9.º Ano 1 Tema Álgebra Praticar páginas 88 a x (x + 0) x 1.. x ,0 1 representa a poupança em 1 kg. Então em 0 kg poupa 0 (1,0 1,0) Logo, a opção correta é a [A]. 1.. x (1,0 1,0) = x 0,10 = 0,10x = x x 6 x x x = (x 6) = x 1 x 1 = x 1 x x = x = x + 7 = 7 C.S. = { }.. x 11 = C.S. = {}.. x 1 = x + x x = + 1 0x = C.S. = { } Equação impossível... x = C.S. = {6}.. x = 11 C.S. = {}.6. x 1 = x 1 = C.S. = 1.7. (x ) = x x 10 = x x + x = C.S. = {}.8. (x 1) + = x x = x ( ) ( ) ( ) x = x x x = 6 x = 8 8 C.S. = 8.9. x 1 1 = x + 1 ( ) x = x + 1 x x = 1 + C.S. =. [A] ( ) + = 9 + = 1 1 [B] ( ) + = + = 8 [C] ( + ) = 1 =, a afirmação é verdadeira. [D] 11 + ( ) = 8 1 Logo, a opção correta é a [C]. 6. Para verificar se 8 é solução de equação, basta substituir x por 8 e verificar a veracidade. (8 1) = 8 ( 8 )

2 A_Prova 7 = (16 ) 1 = (1) 1 = 10 Falso Então, 8 não é solução da equação. 7. u n = n 7.1. u 8 = 8 = 7.. u n = 78 n = 78 n = n = n = 0 n = 0 n = 11 R.: 78 é o termo de ordem Seja x a idade atual da Maria. Assim, x + é a idade da Maria daqui a anos e x é a idade da Maria há anos. x + = (x ) x + = x 1 x x = 1 x = C.S. = {10} R.: A idade atual da Maria é 10 anos. 9. Seja x o peso de uma esfera Como o peso total é 1 kg, então + x + 6 = C.S. = {} R.: A esfera pesa kg. 9.. x = x + x x =, C.S. = {,} R.: Cada esfera pesa, kg. 9.. x + = C.S.: = 1 R.: Cada esfera pesa 1 kg. 10. P pentágono = P triângulo = x 9x = x = C.S. = 1 Logo, P = 1 0 = 10 R.: P = 10 cm O perímetro é igual à soma de todos os lados do polígono. Logo, P = x + x + + x x 1 = = x + x + x + x = = 7x Se x = P = = 0 cm Logo, a opção correta é a [B] P = 17, 7x + 9 = 17, 7x = 17, 9 7x = 8, 7 1 x = ( ) x = 7 6 1, C.S. = {1,} 1. f(x) = g(x) x + = 6x 1.1. a) primeiro membro: x + b) incógnita: x c) segundo membro: 6x = = 1 = 0 Falso R.: não é solução da equação f(x) = g(x). 1.. f(x) = g(x) x + = 6x

3 Matemática 9.º Ano x 6x = x = 8 8 C.S. = {} 1. Sejam n, n + 1 e n + três números inteiros consecutivos. Assim, n + n n + = 99 n + n + n = 99 1 n = 96 n = 9 6 n = C.S. = {} Logo, n = n + 1 = n + = R.: Os números são, e Como 0 é um valor constante e os 1 é em função do tempo, C = 0 + 1n. Logo, a opção correta é a [B]. 1.. n = C = = 0 + = 8 R.: O Guilherme pagará C = n = 190 1n = n = 10 n = n = 10 C.S. = {10} R.: A intervenção em casa do André demorou 10 horas x = x + 8 x x = C.S. = {1} 1.. x 11 = x + 1 x + x = C.S. = {} 1.. x = x x x = + 0x = 1 Equação impossível. C.S. = { } 1.. (x ) = x x 6 = x x x = + 6 0x = 1 Equação impossível. C.S. = { } 1.. (x ) = (x 1) x x = x x x x + x = + 0x = 0 Equação possível e indeterminada. C.S. = Q x x 1.6. = ( ) ( ) x 8x = 1 7x = C.S. = x + 1 = 1 x + 1 = C.S. = {9} ( ) 1.8. x 1 = 10 ( ) ( ) 1 x + 1 = 0 x = x = C.S. = 1 7 x x 1.9. ( x) = x x 6 x = ( 6) ( 6) ( ) ( )

4 A_Prova 6 1x x = x 9 1x x x = x = 17 C.S. = x 1 = (x + 1) 1 1 x 1 = x + ( ) ( ) x + 1 = 6x + 6 x 6x = 6 1 7x = C.S. = Se a imagem é zero, então g(x) = 0. ( x) = x = 0 ( ) 9 + 6x 6x = 9 + 6x = 6 C.S. = 6 R.: é o zero da função g f(x) = g(x) (x ) + 1 = ( x) = + 6 x ( 6) ( 6) ( ) ( 6) ( ) ( ) 1x 6 + = x 1x 1x = x = Equação impossível. C.S. = { } 17. A opção [A] não é correta porque ( ) = ( ( ) 1) 0 = ( 10 1) = ( ) Falso As equações são equivalentes se tiverem o mesmo conjunto-solução. Resolvendo-as, x = (x 1) x = 10x 6 x 10x = 6 + 6x = C.S. = {10} (x + ) = 8 x + = 8 1 ( ) x + = C.S. = {10} Logo, as equações são equivalentes e a opção [B] é a correta. A opção [C] não é a correta porque a equação é possível e determinada, C.S. = {10} A opção [D] não é a correta porque a equação é possível e determinada, C.S. = {10} Logo, a opção correta é a [B]. 18. Seja x a herança deixada à Teresa. Assim, x representa a herança deixada à Ana. x + x = Logo, x = = R.: A herança da Ana foi Como A = b h e a área é igual a 0 cm, então 0 = b 8 b = 8 0 b = 10 cm 8 R.: A base tem 10 cm de comprimento.

5 Matemática 9.º Ano 0. Seja x o número de rosas vermelhas. Assim, x é o número de rosas amarelas. Como existem 6 rosas no total, temos: x + x = Logo, x 1 = R.: O ramo tem rosas amarelas. 1. votaram 1 = = não votaram, que são 81 alunos 81 : = 81 = 1, total de alunos. R.: A escola do Francisco tem 1 alunos.. Como a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 o, então x x + x + 0 = 180 x + 6x + x = x = C.S. = {10} Como x = 10, então x + 0 = = 90 o 6x = 6 10 = 60 o x + 0 = = 0 o O triângulo [ABC] é retângulo, porque um dos ângulos internos tem 90 o de amplitude.. 16 = 1 Como são três autocarros, 1 : = 8. Logo, 8 é o número de alunos de dois autocarros. 8 + = 0 R.: O autocarro mais cheio transportou 0 alunos.. (x ) + 1 = k x.1. k = (x ) + 1 = x x = x x + x = x = 7 C.S. = 7.. x = ( ) + 1 = k + 1 = k k = 1 k = 0 k = 0. d = 100 cm Se um dos quadrados tem mais 0 cm de perímetro, x + x + 0 = C.S. = {10} Assim, x = 0 cm e x + 0 = 60 cm. R.: O fio de 100 cm foi dividido em dois fios com 0 cm e 60 cm. 6. Seja x o valor do aluguer de uma loja. Assim, x + 0,x representa o aluguer da loja mais cara. Logo, x + x + 0,x = 000,x = 00 k = C.S. = {16 000} x = x + 0,x = 1900 R.: A renda mensal de cada uma das lojas é e (x 1) + x + x = (x ) x + x + x = x + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1x 1 + x + = x x x + x x + x = x = C.S. = 1 9

6 A_Prova (x 1) x + = 0 x x + = 0 ( ) ( ) 9x x = 0 9x + x = 9 7x = C.S. = x x x x = ( 0) ( 6) ( ) ( ) 10 6x + 1 x + 0 = 6 6x x = x = C.S. = x x x = ( x ) x x 6 x = x + 6 x x + 6 = x ( 9) ( 9) ( 9) 6x x 6 = 18x + 6x x 18x = x = C.S. = 1 x 1 + = 0, x = Seja x o número de eleitores. 8.. x + 1 x + 80 = x 6 ( ) ( 6) ( 6) x + x + 80 = 6x x + x 6x = 80 x = C.S. = {80} Como são 80 eleitores, a lista B recebeu 80 votos 1 6 x = = Seja x o valor que o Pedro recebeu. x x = x ( ) ( ) ( 6) ( 6) x + x = 6x x + x 6x = 6000 x = C.S. = {6000} Como pagou % de imposto, x 0,x = Assim, 0,77x = ,1 R.: O Pedro recebeu 779,1 pela venda dos relógios. 0. Como f(x) = g(x) f(x) g(x) = 0, o conjunto- -solução é o mesmo, ou seja, {1,, }. Logo, a opção correta é a [D]. 1. Traduzindo o problema por uma equação, temos: x + = (1 + x) + (1 + x) x x x = x = 1 1 C.S. = {1} R.: Daqui a 1 anos a idade da mãe será igual à soma das idades dos filhos.. Sabemos que f(x) = x g(x) = 7 e x =. Então, por exemplo, g(x) = x Por exemplo, x 1 = x 1 é uma equação impossível, então g(x) = x 1... Por exemplo, x 1 = 6x é uma equação possível e determinada. Então, g(x) = 6x. x + 1 x + 80 = x 6

7 Matemática 9.º Ano 7. Para que f(x) g(x) seja igual a zero é necessário que f(x) seja igual a g(x), ou seja, f(x) g(x) = 0 f(x) = g(x) Como f() = g() = e f(0) = g(0) =, então f(x) g(x) = 0 0 x = C.S. = {0, }. x 1 (x 1) = 0 x 1 x + 1 = 0 ( ) ( ) x 1 x + = 0 x 1 x + = 0 x x = 1 x = 1 C.S. = {1} A afirmação falsa é a da opção [B].. Seja x o valor que cada um recebeu. Assim, 6 7 x é o valor que o João gastou e 1 8 x é o valor com que o Filipe ficou. Como o João gastou 6 7 x, então ficou 1 x x + 1 = 1 7 x (7) (6) (8) 7x + 6 = 8x 7x 8x = 6 6 C.S. = {6} R.: O avô deu a cada um dos netos = 0 cm : = 0 Cada fita tem (0 + 10) cm = 0 cm de comprimento. 6.. Como cada fita mede 0 cm = 60 cm 60 6 = cm, sobrepostos. R.: A zona sobreposta tem cm de comprimento. Monómios Praticar páginas 98 a Parte numérica: 1 Parte literal: y 1.. Parte numérica: 1 Parte literal: não tem 1.. Parte numérica: 17k 7 Parte literal: x 1.. Parte numérica: 7a Parte literal: b A = b b = b.. A = x y x y = x y.. A = t t y = t y..1. a) A + B = = 6x x + ( x + x x + 1) = = 6x x 6x + x 6x + = = x 9x + b) B C = = x + x x + 1 ( x + x) = = x + x x x x = = x + x 7x + 1 c) B + A = = ( x + x x + 1) + 6x x = = x x + x 1 + 6x x = = 9x x 1.. O simétrico de B é: B = x x + x 1.. Se x = B = ( ) + ( ) ( ) + 1 = = ( 8) = = = = (x + 1) = x + x (x 1) = x x (x ) = x x +.. (x + ) = x + x +.. (x ) = x 6x (x + ) = x + 10x +.7. (x + 10) = x + 0x + 100

8 A_Prova 8.8. (x 7) = x 1x x 1.. x.. x.. x 6.. x x (x ) = x 10x (x 7) = x 1x (x 6) (x + 6) = x (x 7) (x + 7) = x x = x = (x ) 7.. x 1x = x x 1 x = x(x 1) 7.. y 7y = y y 7y = y(y 7) 7.. t t = t t t = t (1 t) abc 7ab = ab(80c 7) 7.6. (x 1) x(x 1) = (x 1)( x) 8. [A] (x 6x + 9) = x 1x + 18 [B] (x ) = (x 6x + 9) = x 1x + 18 [C] (x ) (x ) = (x 6x + 9) = x 1x + 18 [D] (x ) (x + ) = (x 9) = x 18 A opção correta é a [D] x 16 = (x )(x + ) 9.. x 10x + = (x ) = (x )(x ) 9.. a 6 = (a 6)(a + 6) x = (10 x)(10 + x) 9.. t + 6t + 9 = (t + ) = (t + )(t + ) 9.6. x + x + 1 = (x + 1) = (x + 1)(x + 1) (x ) = x x 6 x = 0 x + x 6 = (x ) x = x 10x + x + = 0 x 1x + 8 = x x + = 1 9 x = 0 9 x 7 = (x 1) (x ) = 0 x 1 = 0 x = 0 1 x = C.S. = {1, } 11.. (x ) (x 1) = 0 x = 0 x 1 = 0 x = 1 x = 1 x = 1 C.S. = {1, } x 1 = x x = 0 x 1 = 0 x = x = 1 6 x = C.S. = {, 6} 11.. (7x 6) (x ) = 0 7x 6 = 0 x = 0 7x = 6 x = 6 7 C.S. = 6 7, x = x 11.. ( x) + = 0 + x = 0 x + = 0 x = x = 9 C.S. = { 9, } (x + 11) (x ) = 0 x + 11 = 0 x = 0 11 x = 11 x = C.S. = 11, x = 0

9 Matemática 9.º Ano Substituindo x por 0 obtém-se: 0 = 0 = 0 Falso Assim, concluímos que 0 não é solução da equação. 1.. x = (x 16) = (x ) (x + ) = = (x 8) (x + ) 1.. x = 0 (x 16) = 0 (x ) (x + ) = 0 x = 0 x + = 0 x = C.S. = {, } 1. A = b h e A = Logo, A = (x y)(x + y) e A = x. Então, A amarelo = (x y)(x + y) x = = x + xy yx y x = = xy y 1. A equação que traduz o problema é (x + ) = 18. Resolvendo a equação temos: x + 10 = 18 x = x = 8 x = x ± x = C.S. = {, } R.: Existem dois números nestas condições, e. 1. x = 0 x = 100. Equação impossível C.S. = { } Logo, a opção correta é a [B]. 16.? kw = 16 w ou seja, 16 kw = kw kw Monómios semelhantes são monómios com a mesma parte literal. Por exemplo, a b e a b a = 1 e b = ( 1) = 8 = Por exemplo, xy Por exemplo, x Por exemplo, x + x Por exemplo, y (x 6) (x + 6) (x ) = = + x 6 (x 6x + 9) = = + x 6 x + 6x 9 = = x + 6x 19.. ( x + 1) (x 1)(x + 1) = = x x + 1 (x 1) = = x x + 1 x + = = x x + 0. Consideremos, por exemplo, os polinómios x x + x + e x x + x 1 x x + x + (x x + x 1) = = x x x + x + x x = = x + Ou seja, a diferença entre os dois polinómios é um polinómio do 1. o grau. Nota: Basta que a parte numérica dos termos de grau e de grau seja igual nos dois polinómios. 1. P = b h. Assim, P = x ( x + ) = x(x + ) = x + 10x. A área do setor circular é igual a da área do círculo. Assim, x π r = π x = π Logo, a opção correta é a [D].. V paralelepípedo = c h Logo, V caixa = (x ) x x = (x ) x = = x 8x..1. A = b h Logo, A = (x + ) (x ) = x x + x 10 = = x + x 10.. A = 6 x = 6 6 O perímetro do retângulo que se obtém é: P = (x + ) + (x ) = = x x = = x + 6 Para x = 6, temos P = = + 6 = 0 R.: P = 0 u.c.

10 A_Prova (x 8) (x ) = 0 x 8 = 0 x = 0 8 x = 8 x = x = C.S. = {, }.. 9x + 16 = x 9x x + 16 = 0 (x ) = 0 (x ) (x ) = 0 x = 0 C.S. =.. 1x = 7x 1x 7x = 0 7x(x 1) = 0 7x = 0 x 1 = 0 0 x = 1 0 x = 1 C.S. = 0, 1.. x 6 = 0 (x 6) (x + 6) = 0 x 6 = 0 x + 6 = 0 6 x = 6 6 x = 6 x = C.S. = {, }.. 7x = x = x = x = C.S. = {, } x = 0 9x = 9 x = 9 9 ± C.S. = 7, 7 x = 7 6. Seja x o comprimento do lado de um quadrado e x o comprimento do lado de um outro quadrado. Assim, (x) x = 7 x x = 7 x = 7 x = 7 x = 9 ± C.S. = {} Como x > 0, então x = cm. Logo, o quadrado maior tem 6 cm de lado ( = 6), e o seu perímetro é igual a cm (6 = ). 7. A [ABCD] = (x + + x) (x + + x + ) = = (x + ) (x + ) = = x + 8x + 6x + 1 = = x + 1x + 1 A [BGFE] = (x + ) (x + ) = = x + x + x + 6 = = x + x + 6 Logo, A verde = x + 1x + 1 (x + x + 6) = = x x + 1x x = = x + 9x Se não tem termo independente, a = 0 a = a = a = C.S. = {, } R.: a = ou a = 8.. a = 0 a =, mas se a = o polinómio não tem termo independente. R.: Impossível, não existe nenhum valor de a nas condições pedidas Por exemplo, x x e x + x Por exemplo, x + x + x e x + x Por exemplo, x + x + 7 e x + x + x Se P é do. o grau, então k = 0 k = 0.. Se k = e k = 0 k =

11 Matemática 9.º Ano 11 Não é possível porque se k = o polinómio é do. o grau e se k =, o polinómio é do. o grau x (x 6) (x 6) 7 = (x 6)(x 7) 1.. y 8xy + x = (y x)..1. (x ) = 1 (x ) = 1 (x ) = x = x = + x = + x = 8 C.S. = {, 8}.. (x ) (x ) = 0 (x ) (x ) = 0 x = 0 x 8 = 0 x = 8 C.S. = {, 8}.. (x ) = 19 + (x 1) (x + 1) (x 6x + 9) = 19 + x 1 x 1x x + 1 = 0 x 1x = 0 x(x 1) = 0 0 x 1 = 0 0 x = 1 C.S. = {0, 1}.. x = (x ) x x + 8 = 0 (x 8x + 16) = 0 (x ) = 0 x = 0 C.S. = {}. (x n) = 9x x + n = = x ( n) = = 6xn x = 6xn n = x n = 7 6x Logo, a opção correta é a [D]...1. x + x 18 = = (x x) + (6x 18) = = x(x ) + 6(x ) = = (x )(x + 6).. x = (x 6) x + (x 6) = 0 x + x 18 = 0 (x )(x + 6) = 0 x = 0 x + 6 = 0 x = 6 C.S. = { 6, }..1. (ax y)(bx cz + ) + 16(y cyz) = = abx aczx + 9x 1bx y + 16czy 16y + +16y 16cyz = = abx + ax aczx 1bx y.. ax(x by + 1) x(aby) + 7ax = = ax abxy + ax abxy + 7ax = = ax 7abyx + 6ax 6. Se A = 18x então, como A = b h, 18x = x h h = 18x h = 18x x 7. A [ABCD] A [EFGH] = g h = (g h)(g + h) a) Se t = 0, então h = ( 0 ) + 10 h = + 0 h = 6 m b) Se t = 1, então h = (1 ) + 10 h = h = 9 m 8.. h = 0 (t ) + 10 (t ) = 10 (t ) = 10 t = 10 t = 10 t = 10 t = 10 + < 0 Logo, t, s. 9. (x ) + 7(x ) = = (x ) (x + ) + 7(x ) = = (x )(x ) = = (x )(x + 17) As dimensões do paralelepípedo II são x y, y e y, então o volume é igual a V = (x y) y y = xy y

12 A_Prova V III = (x y) y (x y) = (x y) y = = (x xy + y )y = x y xy + y V IV = (x y) (x y) y = (x y) y = = = x y xy + y 0.. V cubo V I V II V III V IV = são iguais = x y (xy y ) (x y xy + y ) = = x y xy + y x y + xy + y = = x y + xy + y x y y = = x y (x xy + y ) 1. A = 9 (x ) (x + ) = 9 (x ) (x + ) = 9 x 16 9 = 0 x = 0 x ) (x + ) = 0 x = C.S. = {, } Como x > 0, então x = cm. O cateto maior mede 9 cm (x + = + = 9).. Como A = 900 cm, então (a 0) = 900 (a 0) 0 = 0 (a 0 0) (a 0 + 0) = 0 a 60 = 0 a = 0 a = 60 a = 0 a = 60 R.: a = 60 m a > 0 Equações literais. Sistemas de duas equações Praticar páginas 106 a x y = 0, se x = 1 e y = ( 1) = 0 1 = 0 0 = 0 Verdade ( 1, ) é solução da equação x y = 0. x y = 6 Por exemplo, (1, ) é solução de equação: 1 ( ) = + = 6 x y (, ) é solução de equação: ( ) = + = 6 x y (, 1) é solução de equação: ( ) ( 1) = = 6 x y Logo, (1, ), (, ) e (, 1) são soluções de equação x y = 6.. Por exemplo, (, 1) x y ( ) + 1 = = 9, então x + y = 9. x y..1. x y 7 = 0 y x 8y = 10 8y y + 10 y +.. y = x 11 x 11 = x = y + 11 y Verificar se (, ) é solução do sistema é verificar se é solução das duas equações. Concluímos que (, ) não é solução do sistema porque não é solução de uma das equações. 6. [A] (8,) 8 = 7 6 = 7 Falso 8 + = Logo, (8, ) não é solução do sistema. [B] (10, ) = 1 16 = 1 1 = 1 Falso + = = V 10 =7 7 = 7 7 = 7 V 10 + = = = V Logo (10, ) é solução do sistema.

13 Matemática 9.º Ano 1 [C] (, 8) 8 = 7 6 = 7 Falso + 8 = Logo, (, 8) não é solução do sistema. [D] (, 10) 10 = 7 7 = 7 Falso + 10 = Logo, (, 10) não é solução do sistema. A opção correta é a [B] Forma canónica x + y = 9 x (1 x) = 9 x 1 + x = 9 x + y = 1 y = 1 x x + x = x = x = x = 1 y = C.S. = {(1, )} 7.. Forma canónica x + y = 1 y = 1 x x + y = 9 x + 1 x = 9 x = 9 1 y = 1 ( ) y = 8 x = x = x = C.S. = {(, )} 7.. Forma canónica x + y = 10 x x = 10 x x = 10 + x + y = y = x x = 7 x = 7 y = ( 7) y = C.S. = {( 7, )} 7.. Forma canónica y x = 7 x + y = 7 ( 1 + y) + y = 7 y + x = 1 x y = 1 x = 1 + y 1 y + y = 7 y + y = 7 1 y = 6 y = 6 x = x = C.S. = {(, 6)} 7.. Forma canónica x + y = x + y = y = x 7y x = x 7y = x 7( x) = y + y = 7 1 x 1 + 1x = x + 1x = + 1 y = 1 11x = 11 x = x = 1 y = y = 0 x = 1 C.S. = {(1, 0)} 7.6. Forma canónica x y = 1 x y = 7 ( y) y = 7 y + x = x + y = x = y 8 y y = 7 y y = y = 1 y = 1 y = y = x = ( ) x = C.S. = {(, )} Por exemplo, (0, ) porque 0 + = 8 8 = 8 Verdadeiro e = 0 = Falso 8.. Por exemplo, (, ) porque = = Verdadeiro e + = = 8 Falso 8.. A solução do sistema é o par ordenado (, 1). É o ponto de interseção das duas retas. 8.. Resolvendo o sistema pelo método de substituição, x + y = 8 x + y = 8 x + ( + x) = 8 y = x x + y = y = + x

14 A_Prova 1 x 6 + x = 8 x + x = x = 1 x = x = y = + y = 1 C.S. = {(, 1)} 9. Como o perímetro é igual a 100 cm, P = 100 (x + y) + (x + y) = 10 x + y + 6x + y = x + 6y = 10 x + y = Se x =, + y = y = 0 y = 0 0 y = 0 y = 0 y = Se y =, x + = 0 x + 1 = 0 x = 0 1 x = 7 Como x = 7 e y = A = (x + y) (x + y), ou seja, A = ( 7 + ) ( 7 + ) = = (1 + 10) (1 + ) = 1 19 = 89 R.: A = 89 cm 10. Para determinar o par ordenado (x, y) basta resolver o sistema pelo método de substituição. Forma canónica (x 1) = + y x y = x y = + y x = 1 x y = 1 x y = 6 ( y 1) y = 6 x y = 1 x = 1 + y y = 8 y = 8 x = 8 1 x = 8 y = 8 x = C.S. =, Para x = e y = 8, temos x + y = + 8 = Para x = e y = 8, temos x y = 8 = 6 = Para x = e y = 8, temos (x + y) = + 8 = 8 = = = ( 1) = 1 1 = 6 = x: idade do Fernando y: idade da filha mais velha do Fernando x + y = x + idade do Fernando daqui a anos. y + idade da filha mais velha do Fernando daqui a anos x + = (y + ) Resolvendo o sistema com as duas equações x + y = x + y = x + y = x + = (y + ) x + = y + 1 y = 8 Forma canónica x + y = 1 x = y x y = 10 y y = 10 y = x = 8 x = y = 8 y = 8 C.S. = {(, 8)} R.: O Fernando tem anos Como as retas são estritamente paralelas, o sistema é impossível. 1.. x y = x = =

15 Matemática 9.º Ano 1 y O y = x + 1 y = x x y = x + 6 Logo, a reta contém os pontos (0, 6) e (, ). 1.. a) Por exemplo, y = x + 6 porque são retas concorrentes y = x + 1 b) Por exemplo, y = x 1 porque são retas coincidentes y = x 1 1. Sejam x o preço de cada martelo e y o preço de cada chave inglesa x + y = 9 x = 9 y x= 9 y y x + y = y = y = 1 8 y + 9y = 9 x = 9 7 y + 9y = 9 8 y = y = 7 x = 1 x = y = 7 Como cada martelo custa e cada chave inglesa 7. martelos custam = e cada chave inglesa 7. Então martelos e chave inglesa fica por = R.: O novo pack custará. n = 11 n = 11 + n = 1 R.: O polígono tem 1 lados. 1.. Como se trata de um pentágono, n = S = ( ) 180 S = 0 o O pentágono tem cinco ângulos internos então, cada ângulo tem 108 o (0 o : = 108 o ). 1.. S = (n ) 180 o (n ) 180 o = S n = 1 S 80 n = 1 S Se x =, y x = y = y = + y = 6 Se x = 6, y x = y 6 = y = + y = 8 Se, por exemplo, x = 9, y x = y 9 = y = + 6 y = 10 Então x y Marcar, por exemplo, os pontos (0, ) e (, 6) no referencial e traçar a reta que contém esses pontos. y O1 6 y = x + x + y = A solução do sistema é (, 6), ponto onde as duas retas se intersetam. 1.. Por exemplo, y = x. Basta que as duas retas tenham o mesmo declive. x Como se trata de um hexágono, n = 6 S = (6 ) 180 o = 70 o 1.. Como x = 1080 o, (n ) 180 o = 1980 o n = y O x + y = x y = x

16 A_Prova 16 Como as retas são estritamente paralelas, o sistema é impossível. 16. Para que (, ) seja solução de um sistema é necessário que seja solução das duas equações. k + y = + ( ) = 6 = V [A] x + y = + ( ) = = F (, ) não é solução da. a equação. Logo, não é solução do sistema. x y + = + = [B] 0 = Falso Como (, ) não é solução da 1. a equação não é solução do sistema. x y = ( ) = [C] (x y) + 1 = = Falso Como (, ) não é solução da 1. a equação não é solução do sistema. x = 1 y = 1 ( ) = V [D] y = x + 1 = + 1 = V (, ) é solução do sistema, porque é solução das duas equações. Logo, a opção correta é a [D]. 17. (1, 7) e (, ) são pontos da reta r. Assim, o declive da reta é: a = ( 7) 1 = 1 = Substituindo, por exemplo, x = e y =, na equação y = ax + b obtemos: = b b = 16 + b = 11 Logo, a = e b = O sistema III, porque está escrito na forma ax + bx = c a x + b y = c 18.. x 1 (y ) = x 1 y + = ( ) ( ) x y = x y = 18 ( ) ( ) ( 6) x y = 1 (Forma canónica) x y = [A] (1, ) 1 1 = = 9 Falso 1 = Logo, (1, ) não é solução do sistema II porque não é solução da 1. a equação do sistema. [B] ( 1, 1) 1 ( 1) = 1 + ( 1) 1 = F 1 ( 1) = = V Logo, ( 1, 1) não é solução do sistema II porque não é solução da 1. a equação do sistema. [C] (, 1) 1 = = 1 V 1 = = V Logo, (, 1) é solução do sistema II porque é solução das duas equações do sistema. [D] (1, 1) 1 1 = = 1 F 1 1 = = F Logo, (1, 1) não é solução do sistema porque não é solução das duas equações. Assim a opção correta é a [C].

17 Matemática 9.º Ano Escrevendo o sistema na forma canónica, obte mos 1 x = 1 + y x= + 10y x 10y = ( ) ( ) x y = x y = x y = Resolvendo as duas equações em ordem a y 10y = x y= x 1 0 x = 1 + x 1 0 y = x y = x y = + x x y = 1 + x = = = = 0 1 y = + x 10 Sistema possível e determinado. C.S. = {(, 1)} 18.. x y = x ( + x) = x + y = y = + x x x = x 1x = x = 6 x = x = y = + y = x = 1 y = y = C.S. =, 1 1 y 1 1 O 6 8 x y = + x 0 + = = 1 y = + x x ( 1) 19. O sistema I é impossível porque as retas r e s são estritamente paralelas. O sistema II é possível e indeterminado porque as retas r e s são coincidentes. Os sistemas III e IV são possíveis e determinados porque as retas r e s são concorrentes. 0. Sejam x o preço de um par de calças e y o preço de uma blusa x + y preço de um par de calças e de uma blusa. x + y = 8 x 6 = y x + y preço de um par de calças e de uma blusa. x + y = 8 x + y = 8 x + y = 8 x 6 = y + 7 x y = 1 8 y y = 1 y y = 1 8 y = 7 x = 8 6 x = 9 y = 6 y = 6 C.S. = {(9, 6)} R.: As calças custaram 9 e a blusa Seja x a idade do João e y a idade do Filipe x + representa a idade do João daqui a anos e y + representa a idade do Filipe daqui a anos. x + y = x + + y + = 1.. x + y = x + y = x + y = 10 x + y = Como as equações são equivalentes, o sistema é possível e indeterminado, o que significa que o sistema tem uma infinidade de soluções. 1.. Por exemplo, (10, ), (1, 7), (0, ) e (1, 1).

18 A_Prova 18. Seja x o número de notas de 0 e y o número de notas de x + 100y = (6 y) + 100y = 1000 x + y = 6 x = 6 y 0 0y + 100y = y + 100y = y = 80 y = 80 y = 6 y = 6 80 x = 6 6 x = 0 C.S. = {(0, 6)} O Pedro tem 0 notas de 0 e 6 notas de 100. Em notas de 0, o Pedro tem 0 0 = 00, ou seja, a quantia é inferior a 19,99. R.: O Pedro não consegue comprar a bicicleta, apenas com as notas de 0.. Para determinar as coordenadas de A basta resolver o sistema. y = x 8 x + = x 8 x x = 8 y = x + x = 11 x = 1 1 x = 1 1 y = y = 11 + y = 1 1 C.S. = 1, 1 1 Logo, A = 1, 1 O ponto B é um ponto do eixo Ox, ou seja, tem de ordenada zero. A abcissa de B é igual à abcissa de A, Logo, B tem coordenadas 1, 0. A [OBA] = b h A [OBA] = = 1 = 8, u.a...1. Como a 1. a equação, y = ax +, tem ordenada na origem, corresponde à reta vermelha. Determinando o declive, o valor de a: a reta contém por exemplo, o ponto (1, 0), então 0 = a 1 + a = y = x + Os pontos (, ) e (6, 0) pertencem à reta de equação bx + cy = d e é a ordenada na origem, então bx + cy = d y = b c x + d c e d =. c Assim, y = b x c Utilizando, por exemplo, os pontos (, ) e (6, 0), podemos determinar o seu declive. 0 ( ) = 6, ou seja, b c =. Escrevendo a equação y = x na forma bx + cy = d, temos: y = x x + y = x + y = 1 ou seja, b =, c = e d = 1. R.: a = e, por exemplo, b =, c = e d = 1... O sistema é possível e determinado porque as retas são concorrentes. Como as retas se intersetam no ponto de coordenadas (, ), a solução do sistema é C.S. = {(, )}... Como a = (por.1.), pretendemos representar a reta de equação y = x. x y O sistema é impossível porque as retas de equações y = ax + (a vermelho) e y = ax (alínea..) são paralelas.. [A] 1 + ( ) = = = Falso. 1, não é solução da equação. [B] ( ) = = Falso y O y = ax x

19 Matemática 9.º Ano 19 1, não é solução da equação. [C] 1 ( ) = = 0 Falso 1, não é solução da equação. [D] 1 + ( ) = 1 = 1 Verdadeiro y Assim, a outra equação é x + = 1 e a opção correta é a [D]. 6. A = π r r = A π r = A π Logo, a opção correta é a [B]. 7. x + y = 11 x + y = 11 x + (6 x) = 11 x + y = x + y = 6 y = 6 x x + 1 x = 11 x x = 11 1 x = 1 x = 1 x = 1 y = 6 1 y = 1 C.S. = {(1, )} Como (k p, k p) é solução do sistema, temos: k p = 1 k = 1 + p k = 7 k p = 1 + p p = p = Logo, k = 7 e p =. 8. 6x + y = 1 ax + y = b 8.1. Por exemplo, a = 1 e b =. 8.. a = e, por exemplo, b =. 8.. Por exemplo, a = e b =. 9. Seja x o número de adultos e y o número de crianças. x + y = 00 x = 00 y 10x + y = 0 10(00 y) + y = y + y = 0 7y = 60 x = x = 0 y = 80 y = 80 C.S. = {(0, 80)} R.: Assistiram à peça 80 crianças x + y = 6 1 x + y = 6 1 ( ) ( ) x 6 = x + y x x 6 = x + y x 8 x y = 1 x y = 1 8 x = x + y x x x + x y = x y = x ( ) = 0x y = y = y = x + = x = x = 1 x = 1 y = C.S. = {( 1, )} 0.. x 1 + y = x 1 + y 1 = 1 ( ) ( ) x 1 = y (x 1) x 1 = y x ( ) ( ) ( ) x 1 + y = 6 x + y = x + 1 = 6y 6x + x + 6x 6y = 1 x + y = x = y x = y x 6y = y 6y = y 6 y = 1y 18y = ( ) ( ) ( )

20 A_Prova 0 x = 1 9 ( 11) y = 19 y = 1 9 x = 1 9 x = 6 x = 1 11 y = 1 9 C.S. = 1, Como x + y = x y = 6 podemos escrever x + y = 6 x + y = y + y = 18 x y = 6 x = 6 + y 6y = 1 y = y = x = 6 + x =10 C.S. = {(10, )} R.: x = 10 e y =.. Seja y x a fração pedida. x 6 = 1 x = y y x = 1 x = y + x = x + y + 11 = y x x = + x = x = 11 y = 0 x = 11 C.S. = {(11, 0)} R.: A fração é x + y = y x x + x + y y = 8 ( 10) ( ) ( ) ( 10) ( 10) 10x + x + y 0y = 80 1x y = 80 Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 o e o triângulo é retângulo, ou seja, um dos ângulos tem de amplitude 90 o, temos: y x x + + y = 180 o 1x y = 80 x y x + + = 88 ( 10) ( ) ( ) ( 10) ( 10) 1x y = 80 10x x + y + 0y = 880 8x + y = 880 ( 10) ( ) ( ) ( 10) ( 10) x = 80 + y 1 + y y = y + y = 880 ( 1) ( 1) y + 0y = y = 990 y = 16 y = 16 x = x = 0 1 C.S. = {(0, 16)} R.: x = 0 e y = 16. Seja x o número de quilogramas de café da Colômbia e y o número de quilogramas de café de São Tomé e Príncipe. Assim, podemos construir a seguinte tabela: CAFÉ Número de quilogramas Logo, ficamos a saber que x + y = 6 e x + y = 19. Para determinar x e y basta resolver o sistema. x + y = 6 x = 6 y x + y = 19 (6 y) + y = y + y = 19 Preço do quilograma Custo total Colômbia x kg x São Tomé e Príncipe y kg y Mistura 6 kg 19

21 Matemática 9.º Ano 1 y + y = y = 18 x = 6 9 x = 1 x =, y = 9 y = 9 y = 1,8 C.S. = {(,; 1,8)} R.: A mistura deve conter, kg de café da Colômbia. Equações completas do. o grau Praticar páginas 11 a x x + 8 = (x x) + 8 = = (x x + ) + 8 = = (x ) x + 16x = (x + 16x) = = (x 16x + 6) 6 = = (x + 8) x 10x + 1 = (x 10x) + 1 = = (x 10x + ) + 1 = = (x ) 1.. x + 8x = (x + 8x + 16) + 16 = = (x ) 16.. x x + 1 = (x x) + 1 = = (x x + 1) = = (x 1) x x + 1 = (x x) + 1 = = x x = = x x + x 1 = 0 x + x 6 = 0 x x = 0 x 1 = x 1 = x + 1 = x + 1 = 1 x + 1 = x = 1 x = 6 x =. [A] ( ) + ( ) 1 = = 0 1 = 0 Falso não é solução da equação x + x 1 = 0. [B] ( ) ( ) + = = 0 Falso não é solução da equação x x + = 0. [C] ( + ) ( 1) = 0 0 ( ) = 0 Verdadeiro é solução da equação (x + ) (x 1) = 0. (1 + ) (1 1) = 0 0 = 0 Verdadeiro 1 é solução da equação (x + ) (x 1) = 0 { ; } é o conjunto-solução da equação. [D] ( ) ( + 1) = 0 ( 1) = 0 Falso não é solução da equação (x )(x + 1) = 0 (1 ) (1 + 1) = 0 ( 1) = 0 Falso Assim, 1 não é solução da equação (x )(x + 1) = 0. Logo, a opção correta é a [C]...1. x + x + = 0 ± 1 1 ± 16 1 ± x = + 6 x = x = 1 C.S. = {, 1}.. k 0 = 0 k = 0 k = 0 k = k = k = k = k = C.S. = {, }.. c + 1 = 7c c 7c + 1 = 0 c = c = ( 7) ± ( 7) ± 9 8

22 A_Prova c = 7 ± 1 c = 8 c = 6 c = c = C.S. = {, }.. (t + 1)(t 1) = 0 t + 1 = 0 t 1 = 0 t = 1 t = 1 t = 1 C.S. = 1, 1 t = 1.. x x 1 = 0 ( ) ± ( ) 1 ( 1) 1 ± + 6 ± 81 9 x = + 9 x = 1 x = C.S. = {, 7}.6. x x = 0 x(x 9) = 0 0 x 9 = 0 0 x = 9 C.S. = {0, 9}.7. x + x 8 = 0 ± ( 7) ± + 6 ± 81 9 x = x = 7 x = 1 C.S. = 7, 1.8. a 8a + 7 = 0 ( 8) ± ( 8) a = ± 6 8 a = 8 ± 6 a = a = 8 6 a = a = a = 1 a = 1 a = 7 C.S. = {1, 7}.9. x(x 1) = 6 x x x x 6 + x + x = 0 x x 6 = 0 1 ± 1 ( 6) 1 ± ± x = x = 1 C.S. = 6, (x x) = 16 x x = 8 x x 8 = 0 ± ( ) 1 8) ( 1 ± + ± 6 6 x = + 6 x = C.S. = {, } 6. Para determinar as coordenadas dos pontos A e B, basta resolver a equação. x = x + 1 x + x 1 = 0

23 Matemática 9.º Ano 1 ± 1 1 1) ( 1 1 ± ± 9 1 ± x = x = 6 x = C.S. = {, } Como a abcissa do ponto A é, então a ordenada é 16 (y = ( ) y = 16). Logo, A (, 16). A abcissa do ponto B é, então y = y = 9, a ordenada é 9. Logo, B (, 9). R.: A(, 16) e B(, 9) 7. Para determinar o número de soluções de uma equação do. o grau é necessário verificar o sinal do binómio discriminante = b ac x + x + 1 = 0, a = 1, b = e c = 1 = 1 1 = 16 8 = < 0, então a equação x + x + 1 = 0 é impossível, logo não tem soluções. 7.. x x 8 = 0, a =, b = e c = 8 = ( ) ( 8) = = = = Como > 0, então a equação é possível. Logo, tem duas soluções distintas. 7.. x x + 6 = 0, a = 1, b = e c = 6. = ( ) 1 6 = = = = 0 = 0, então a equação é possível e tem apenas uma solução. 8. Duas equações são equivalentes se tiverem o mesmo conjunto solução. x x 6 = 0 ( 1) ± ( 1) 1 6) ( ± 1 ± 1 x = 1 + x = 6 x = C.S. = {, } [A] x + x 6 = 0 1 ± 1 1 6) ( 1 1 ± x = C.S. = {, } x + x 6 = 0 não é equivalente à equação dada. [B] x x + 6 = 0 1 ± ( 1) ± ( 1) equação impossível. C.S. = { } 1 ± x x + 6 = 0 não é equivalente à equação dada. [C] 7(x )(x + ) = 0 x = 0 x + = 0 x = 7(x )(x + ) = 0 é equivalente à equação dada. [D] (x + )(x ) = 0 x + = 0 x = 0 x = C.S. = {, } (x + )(x ) = 0 é equivalente à equação dada. Logo, a opção correta é a [C]. 9. Verificar se é solução, é substituir o x por, = 0 7 = 0 Falso. não é solução da equação x 7x + = 0

24 A_Prova 10. g(x) = x x + 6 Se a imagem é 0, então g(x) = 0. x x + 6 = 0 ( ) ± ( ) ± 1 x = 6 x = C.S. = {, } R.: Os objetos e têm imagem x 6x + k = Se k = 0 x 6x = 0 x(x 6) = 0 0 x 6 = 0 0 x = 6 C.S. = {0, 6} 11.. Se x = 6 + k = 0 0k = 0 k = C.S. = {} Substituindo k por, x 6x + = 0 ( 6) ± ( 6) ± ± 6 ± 6 0 x = x = C.S. = {1, } A outra solução é Seja a largura do terremo e c o comprimento do terreno. = c 160 e A = 8000 então, = c 160 c = 8000 c(c 160) 8000 c 160c 8000 = ± (160) 1 ( 8000) ± 0 c = c = 00 = = 0 c = 00 R.: O terreno tem 0 metros de largura e 00 metros de comprimento. 1. A área do retângulo é dada por A = b h ou seja, A(x ) (x + 6). A área do quadrado é dada por A =, ou seja, A = (x ). Como os dois polígonos têm a mesma área (x ) (x + 6) = (x ) Resolvendo a equação, obtemos x + 1x x 18 = x 8x + 16 x x + 1x x + 8x = 0 x x 1 = 0 ( ) ± ( ) 1 1) ( 1 ± 6 x = + 11 x = 1 Como x > 0, então x >. Logo, x = 1. R.: x = 1 1. Recorrendo ao sistema, x y x y = 8 y y = 8 y = 16 x = ( ) x = y = y =

25 Matemática 9.º Ano x = 1 x = 1 y = y = C.S. = {( 1, ), (1, )} R.: Como os números são positivos, então são 1 e x 0x + = (x 0x) + = = (x 10x) + = = (x 10x + ) + 0 = = (x ) 1.. x + 1x 1 = (x + 1x) 1 = = (x x) 1 = = (x + x + ) 1 1 = = (x + ) x + 0x 1 = (x + 0) 1 = = (x + 10) 1 = = (x + 10x + ) 1 0 = = (x + ) x 18x + 1 = (x 18x) + 1 = = (x 6x) + 1 = = (x 6x + 9) = = (x ) x x 0 = ( x x) 0 = = (x + x) 0 = = (x + x + ) 0 + = = (x + ) x x 17 = (x x) 17 = = (x x) 17 = = x x = = x (x ) = = x = x + x = + 1 x = 9 C.S. = { 1, 9} 17.. x + 8x 9 = 0 x + 8x = 9 x + 8x + 16 = (x + ) = x + = x + = x = 9 x = 1 C.S. = { 9, 1} 17.. x = (x + ) x = x + 1 x x = 1 x x + = 1 + (x ) = 16 x = 16 x = 16 + x = + x = 6 C.S. = {, 6} 17.. x 0x + 7 = 0 (x 10x) + 7 = 0 (x 10x + ) = 0 (x ) = 0 x = 0 C.S. = {} (x + ) = x x + x + x + = x + x x x + x x + = 0 x + x + = 0 ± ( ) ) ( ( ) ± + ± 6 x = 8 1 x = C.S. = { 1, } 18.. (x ) x = 1 1 ( ) ( 8) ( ) x 8x x = x x 8 = 0 ± ( ) 8) ( ± 10 8 x = x = 7 C.S. = { 1, 7}

26 A_Prova (x + ) + = x + x + x + 6x x x = 0 x + x + 6 = 0 ± 1) ( 6 ( 1) ± + ± 7 1 x = 6 x = 1 C.S. = { 1, 6} 18.. (x 1) (x + 1) = x (x 1) x = 0 x x = 0 x x = 0 ± x = + 1 x = C.S. = 1, 19. Como o ponto A pertence ao gráfico da função f, para determinar o valor de a basta substituir x e y na expressão f(x) = x, pelas coordenadas do ponto A. Ou seja, f(x) = x y = x a = + 1 a a = a + 1 a a 1 = 0 a = a = a = ( ) ± ( ) ) ( ± ( 1) ± ( 1) 1 1) ( ± 9 a = 1 ± 7 a = 6 a = 8 a = a = C.S. = {, } Se a, A + 1 ; ( ) = (6,9) Se a =, A + 1, = 1 9, A equação tem uma solução dupla se = 0, então, como = b ac, temos b ac = 0. ( 1) k = 0 8k = 1 k = 1 8 C.S. = 1 8 R.: k > A equação admite duas soluções distintas se > 0, ou seja, 8k + 1 > 0 8k > 1 8k < 1 k < 1 8 C.S. =, 1 8 R.: k +, A equação é impossível se < 0, ou seja, 8k + 1 < 0 8k < 1 k = 1 8 C.S. = 1 8, + R.: k 1 8, Se é solução da equação então ( ) ( ) + k = k = 0 k = C.S. = { } R.: k =

27 Matemática 9.º Ano 7 1. Como A sombreado = A [ACEF] A [BCDG], então A [ACEF] = x x = x cm A [BCDG] = 10 = 100 cm A [ACEF] A [BCDG] = x 100 Com a área da região sombreada é igual a 16 cm, então x 100 = 16 x = 6 ± 6 16 x = 16 Como x > 10, então x = 16. R.: x = 16 cm. Como é solução da equação, basta substituir x por. k + ( + ) = 0 16k + = 0 k = C.S. = {} Substituindo k por na equação kx + (x + ) = 0 obtemos: x + x + 16 = 0 ± ) ( 16) ( ( ) ± 1 1 x = + 1 x = C.S. = {, } R.: A outra soluçao é.. y = x e y = (x + 1) 7 Para determinar a abcissa do ponto de interseção das duas parábolas, basta resolver a equação. x = (x + 1) 7 x = (x + x + 1) 7 x = x + x + 7 x x x + 7 = 0 x x + = 0 ( ) ± ( ) 1) ( ( 1) ± 6 ± 6 x = x = C.S. = {, 1} Como a abcissa do ponto A é 1, então a ordenada é y = 1 y = 1 R.: As coordenadas do ponto A são (1, 1).. Considerando x e y as dimensões do terreno e sabendo que o terreno tem 00 m de área, obtemos a equação x y = 00. Como foi utilizado 0 metros de rede, x + y + y 0 = 0 x + y = 0 x + y = 10 Escrevendo o sistema x y = 00 x + y = 10 Para obter o valor de x e o valor de y resolvemos o sistema x y = 00 (10 y) y = 00 x + y = 10 x = 10 y 10y y = 00 y 10y + 00 = 0 ( 10) ± ( 10) y = ± y = y = x = 10 ± 0 y = 0 y = 80 x = 80 x = 0 R.: As dimensões do terreno são 0 metros de largura e 80 metros de comprimento.. A área atual do parque é 700 m, ou seja, 0 y = 700. O novo parque terá 1000 m de área, ou seja, (x + 0) (x + y) = 1000 Como 0 y = 700 então y =. Substituindo o y por na equação (x + 0) (x + y) = 1000 obtemos

28 A_Prova 8 (x + 0) (x + ) = 1000 x + x + 0x = 0 x + x 00 = 0 ± 1 00) ( 1 ± ± ± 6 60 x = C.S. = { 60, } Como x > 0 então x =. x + 0 = + 0 = e y + x = + = 0 R.: As dimensões do novo parque de estacionamento são metros de largura e 0 metros de comprimento. 6. Como x = x =, então (x + )(x ) = 0, simplificando a equação temos x x + x 10 = 0 x x 10 = Substituindo k por, obtemos x x + = 0 ( ) ± ( ) ) ( ( ) ± + ± 6 8 x = 1 x = C.S. = {, 1} 7.. Uma equação do. o grau admite duas soluções distintas se > 0, então b ac = ( k) ( ) = k + k + é sempre maior do que zero. 8. Escrevendo o sistema, x + y = x = y x y = ( y)y = y y = y + y = 0 ± y = 1) ( ) ( ( 1) x = 1 x = ± 16 1 y = y = y = 1 Obtêm-se os pontos (1, ) e (, 1). Se x = 1 e y =, x y = 1 = 7. Se x = e y = 1, x y = 1 =. 9. Uma equação do. o grau admite duas soluções distintas se > 0, então ( a) ( 1) = a + 0. a + 0 é sempre maior do que zero. 0. Como a equação admite duas soluções distintas, > 0, com a =, b = e c = b. = ( b) = 9 + 8b Por exemplo, se b = 1, 9 + 8b > (x + 1x + ) (x ) = 0 x + 1x + = 0 x = 0 1 ± 1 1 () x = 1 1 ± 1 18 x = ± 1 ± 16 x = x = 1 x = 1 + x = x = 8 x = x = x = C.S. = { 8,,, } 8 ( ) ( ) = 160. Considerando c o comprimento e a largura, como o seu comprimento é igual a 00 cm, então c + = 00. Se a área é igual a 00 cm, c = 00. O sistema que traduz o enunciado é c + c = 00 c = 00

29 Matemática 9.º Ano 9 Resolvendo o sistema, obtém-se: 00 c = c = 100 (100 ) = = = ± 100 = 1) ( 00) ( ( 1) 100 ± 00 = = 10 0 ± 0 c = c = = 60 = 0 c = 0 c = 60 = 60 = 0 R.: As dimensões do retângulo são 0 cm de largura e 60 cm de comprimento...1. Os pontos A e B são os pontos de interseção dos dois gráficos, então: x + = x x + x + = 0 Basta substituir y por zero e determinar as abcissas de C e de D. y = x + x + = 0 x = ± x = C.S. = {, } As abcissas dos pontos C e D são respetivamente e. C(, 0) D(, 0) A [BCD] = b h A [BCD] = R.: A [BCD] = u.a. =..1. A área do quadrado de lado [AP] é igual a = 9 u.a... PB = AB AP PB = 1 x Então a área do quadrado de lado [PB] é igual a (1 x) A = (1 x).. A área do quadrado de lado [PB] é igual a (1 x). A área do quadrado de lado [AP] é igual a x. Então, (1 x) = x. Para determinar o valor de x basta resolver a equação anterior. 1 x + x x = 0 x x + 1 = 0 x + x 6 = 0 1 ± 1 1) ( 1 ± 1 1 6) ( ( 1) 1 1 ± ± 1 ± 1 ± 1 x = x = C.S. = { 1, } C.S. = {, } As abcissas dos pontos A e B são respetivamente 1 Como 0 < x < 1, então x =. e. Para determinar as ordenadas, basta substituir o valor de cada uma das abcissas numa das equações,.1. Recorrendo ao teorema de Pitágoras, y A = ( 1) = 1, a ordenada de A é 1. h = c 1 + c y B = =, a ordenada de B é. = + CD Logo, A( 1, 1) e B(, ). CD = 9.. Os pontos C e D têm ordenada nula e pertencem ao gráfico de função f. = CD 16

30 A_Prova 0 CD = ± 16 CD = CD > 0 R.: CD = u.c... Como os triângulos são semelhantes, então h x = h = 1 x h = 1 x h = x.. A total = A [ABC] = b h A [ABC] = 6 = = 1 u.a. A área ocupada pelo preçário é dada por A = b h. x h = x x = x x A área destinada às fotografias é igual à diferença entre a área total e a área do preçário. Então, 1 x x = x x Como a expressão de área do preçário é igual a x x, então x x = 6 x + x 6 = 0 x + 1x 18 = 0 1 ± 1 ) ( 18) ( ( ) 1 C.S. = {} R.: x = 1 ± Como a abcissa de A é x e pertence ao gráfico da função y = x, então A(x, x ). 6.. Os pontos A e B têm a mesma ordenada, então B(0, 18). Como A pertence ao gráfico da função y = x, então x = 18 x = 9 ± (x > 0) Logo, A(, 9). A [AOB] = b h A [AOB] = 18 9 = 81 u.a. 6.. Como B tem a mesma ordenada que A, então B(0, x ). Logo, A [AOB] = x x = x 7. A caixa tem 88 cm de volume e os quadrados cortados têm 9 cm de área 9 = cm, lado do quadrado recortado x 6, lado da base da caixa V = 88 (x 6)(x 6) = 88 (x 1x + 6) 88 = 0 x 6x = 0 x 6x 80 = 0 6 ± ± x = 0 0 cm x > 0 R.: A folha de papel tinha 0 cm de lado Para determinar a altura do. o poste, basta 1 substituir x por 0 na expressão (x 10) +, ou 0 seja, 1 (0 10) 1 + = 0 + = 00 + = R.: O. o poste tem 1 metros de altura. 8.. Se o ponto situa-se a metros de altura, basta 1 igualar a expressão (x 10) + a, e resolver 0 a equação 6 ± ( 6) 80) ( 1 (x 10) + = 0 1 (x 10) = 0 0 (x 10) = 0 x 10 = 0 10 C.S. = {10} R.: O ponto situa-se a 10 metros de distância do 1. o poste.

31 Matemática 9.º Ano 1 Relação de ordem. Intervalos. Inequações Praticar páginas 1 a Se y < 11 y + < 11 + y + < Se y < 11 y < 11 y < 1.. Se y < 11 y < 11 y < y 10 < 10 y 10 <..1. < x < 10 < x < 10 8 < x < 7.. < x < 10 < x < < x < 0.. < x < 10 < x < 10 0 < x < < x 1 < < x 1 < O perímetro é igual à soma de todos os lados P = = +.. Se 1,1 < < 1,1 então + 1,1 < + < + 1,1,1 < + <,1..1. a > b a > b.. a > b a < b.. a > b a > b a < b.. a > b a > b.. a > b a < b a + < b +.6. a > b a > b a > b.. ], [.. ], 6].6. [, 1] x > x 1 < x 1 R.: ], 1] e < x x 7 x 7 x R.: [ 7, ] e 7 x 6.. ] 7, + [ e x > ], ] e x 6.. x > 11 x 11 < x R.: [ 11, ] e 11 < x 6.6. ], 700] e x C = [, 10[, 10, São todos os números inteiros compreendidos entre e, ou seja,, 1, 0, 1, e. 8.. c = {x R: x 10} Geometricamente: [, 6].. [, ] Na forma de intervalo: [0, 10] 9.. Geometricamente:.. [, [ Na forma de intervalo: ], 7[ 1 0 1

32 A_Prova 9.. Geometricamente: Na forma de intervalo: ] 1, 7] 9.. Geometricamente: Na forma de intervalo: [6, 18] 9.. Geometricamente: Na forma de intervalo: [, 11[ 9.6. Geometricamente: Na forma de intervalo: ], 17] 9.7. Geometricamente: Na forma de intervalo: ], +[ 9.8. Geometricamente: Na forma de intervalo: 9.9. Geometricamente: f 10 < 0 f < 10 f < 1 0 f < C.S. = ], [ 10.. g + < 1 g g + g > 1 6g > 1 g > 1 6 g > C.S. = ], +[ 10.. x 10 x + 16 x x x 6 x 6 x 1 C.S. = [1, +[ 10.. x 7x 8 x 7x 8 x 8 x 8 x 8 x C.S. = ], ] x + > 7 + x x x > 7 x > x < x < Na forma de intervalo: {} Geometricamente: Na forma de intervalo: ], ] x x + x 6 x 6 x C.S. = [, +[ 1 x < 1 C.S. = ], 1[ a < a a < 19 + a < 1 a > 1 C.S. = ] 1, +[ a 1 a + a a + 1 a > a > C.S. =, +

33 Matemática 9.º Ano a 11 > 7a a + 7a > a > a < a < a < 6 C.S. = ], 6[ (a 1) < a + a + < a + a a < a < 1 a > 1 a > 1 C.S. = 1, (x 6) > ( x + ) x 1 > x x x > + 1 x > 8 C.S. = ]8, +[ não é solução da inequação porque o intervalo do conjunto solução é aberto em 8, logo 8 não é elemento desses conjunto O menor número inteiro é 9, porque é o menor número inteiro maior do que x 1 7 x 1 x x 1 x 8 x 6 x 8 x 6 x x 6 [, +[ ], 6] = [, 6] C.S. = [, 6] 1.. (x ) < 1 x x x 1 < 1 x x x < x x < 0 x x < 0 x ], 0[ ], +[ = ], +[ = R C.S. = R 1.. x < 8 (x ) x < 8 + x 6 x < x + 6 x < x 10 x < x 1 0 x < x ], [ ], ] = ], [ C.S. = ], [ 1. [A] é um número irracional. [B] x > 7 x < 7 x < 7 x < 9 [C] 1 não pertence a A porque o intervalo é aberto em 1. [D] [ 1; [ [; 7] = [; [, verdadeira. Logo, a opção correta é a [D]. 1. P = x + x + x x +, simplificando a expressão P = x Como o perímetro é inferior a, P < x + 10 < x < 10 x < 1 x < 1 x < C.S. = ], [, como x > 0, então x ]0, [. 1. Se a b e b a, então a = b. 16. [A] a < a a a < 0 0 < 0 falso [B] a a a a 0 0 < 0, a é um valor indefinido [C] a > a a a > 0 0 > 0 falso [D] a > 0, a é um número positivo. Logo, a opção correta é a [B]. 17. [A] a b a b verdadeiro [B] c d c d falsa, porque c d [C] a + c b + d verdadeiro [D] 6a 6b a b verdadeiro Logo, a opção correta é a [B] , 18.. ], [

34 A_Prova {x R: x > 1} = ]1, +[ 19.. {x R: x < 17} = ], 17[ 19.. {x N: x < } = {1,,, } 19.. {x Z: < x } = { 1, 0, 1, } 0. Por exemplo, {x R: x x < 7}. 1. Por exemplo, {x R: x > 6 x < }.. A trapézio = B + b h ou seja, x x, simplificando-a obtemos 7x + 1 = 1 x + Como a área é inferior a 19, temos: 1 x + < 19 1x + < 8 1x < 8 1x < x < 1 x < C.S. =, Como x > 0, então x 0,.. ( d + 6) = d + = d Um valor não negativo é um valor superior ou igual a zero. Logo, d d 19 d 19 d 1 9 C.S. =, 1 9 d, Se o valor da expressão pertence ao intervalo [, +[, então é superior ou igual a. Assim, d + 19 d 19 d d d d 1 1 C.S. =, 1 1 d, Se a expressão assume um valor positivo, então d + 19 > 0. Se a expressão é menor do que 10 então d + 19 < 10. Então, obtemos a conjunção d + 19 > 0 d + 19 < 10 d > 19 d < d < 19 d < 9 d < 1 9 d > 9 d < 1 9 d > 9 C.S. = 9, 1 9 Logo, d 9, A B = ], [ [, 6[ = [, [ Logo, a opção correta é a [C]... a) A R = ], [ R = = ], [ b) A B = ], [ [, 6] = = ], 6] c) B R + = [, 6] R + = = ]0, 6]. [A] [0, [, porque o intervalo é aberto em. [B] [; 7[, porque > e < 7. [C] {, 7} [D] { + 1} Logo, a opção correta é a [B]. 6. I. x 6 (x ) x 6 x + 6 x + 6 x + 9 x + x x x C.S. =, +

35 Matemática 9.º Ano II. ( x + ) < x 1 x x + 8 < 1 x + 16 < x x x < 16 x < 18 x > 18 x > C.S. = 1,+ III. x 1 ( x) + 1 x x x x + x 6x x 17 7x 17 x C.S. = 1, Sendo x o número de bilhetes, temos: 0 + x 1x 1x + x 0 10x 0 10x 0 x C.S. = [, +[ R.: O Filipe terá de assistir a mais de cinco jogos para que compense tornar-se sócio. 8. Seja x o peso de cada esfera. x + 10 < x + 17 x x < x < 7 x < 7 C.S. = ; 7 Cada esfera pesa menos do que, kg. Então, k =. Logo, a opção correta é a [C]. 9. O perímetro do triângulo é dado pela expressão x + x + + x + 1 = x + O perímetro do hexágono é dado pela expressão x 6 = 6x. Então, x + > 6x. x 6x > x > x < C.S. = ], [ Como x > 0 então, x ]0, [. 0. [A] A afirmação é verdadeira. [B] A afirmação é falsa. Se a < b então a b. [C] A afirmação é falsa porque a < b a > b. [D] A afirmação é falsa porque + a > + b a > b. Logo, a opção correta é a [B]. 1. Seja x o preço dos sapatos e o y o preço da blusa. Como os sapatos custam mais 0 do que a blusa, então x = 0 + y. A Margarida pretende comprar uns sapatos e uma blusa, sem gastar mais de 00, então x + y 00. Como x = 0 + y, temos: 0 + y + y 00 y 00 0 y 180 y 18 0 y 90 C.S. = ], 90] R.: A blusa custará, no máximo, {x R: x 1} [x R: (x ) < 7} x 1 + x 10 < 7 x 16 x < x 1 6 x < 0 x 8 x < 0 x 8 x < 10 [8, +[ ], 10[ = [8, 10[ C.S. = [8, 10[.. {x Z: x 11} [x R: x < 1} x 11 x < 1 11 x < 1, x Z x {11, 1, 1}.. {x N: (x + ) 1} {,, 1} x 6 1 x x 8

36 A_Prova 6 x 8 x 8 x, x N {1,,, } {,, 1} = {,, 1, 1,,, } C.S. = {,, 1, 1,,, }. Se Q. o Quadrante, então as coordenadas têm valor negativo. Logo, (m 1) < 0 m + < 0 m < 0 m < m 9 < 0 m > m < 9 m > m > 9 m > < m < 9 m, 9. Se C.S. =, 7, então x < 7 x < 7 (x 6) + 1 < 7. (x ) < 0 x 1 0 x (x ) > 8 x > 8 x > 8 + x 1 x x x > x > x > C.S. = { 1, 0, 1,,, } 6. x x = k x x + k = 0 A equação é impossível se b ac < 0, ou seja, ( ) k < k < 0 1k < 16 1k > 16 k > k = C.S. =, + k, + 7. x + 1, x + e x + são três números ímpares consecutivos. x x + + x + > 6x > 1 6x > x > 6 x > C.S. =, + Como 7,(), então os três números são = = = 1 R.: 17, 19 e 1 8. B = ] 8, π[ B N = ] 8, π[ {1,,,,, } = {1,,} Os elementos comuns aos dois cojuntos são 1, e t t (:) t t t t t 18 0 t 18 0 ( ) t Começando por resolver a inequação, temos (x ) < 11 x + 8 < 11 x < x < 6 x > 6 x > 6 x > ], +[ Z = {, 1} Logo, há dois números, e 1, que satisfazem a condição (x ) < 11.

37 Matemática 9.º Ano x < x x x < 0 0 < 0 Inequação impossível. C.S. = { } 1.. x x x x 0 0x > 0 C.S. = R 1.. x 1 < x x x < 1 0x < 1 C.S. = R. Como π,11 [A] π ] ;,1] porque π >,1. [B] π ]0; π[ porque o intervalo é aberto em π. [C] π ],1; +[, porque π >,1. [D] π ]π; +[, porque o intervalo é aberto em π. Logo, a opção correta é a [C].. w + 1 ( w) > 8 w w > 8 w + 1 w 8 8 w + 1 w 0 w + 1 w 0 w [ + 1; 0] Como + 1 0,7, então, por exemplo: w = 0, = 1 R.: w = 1. [A] I A = [ 1, +[ ] 1, ] = [, ] [B] I A = [ 1, 8[ ] 1, ] = [ 1, ] [C] I A = [ 1, [ ] 1, ] = [ 1, ] [D] I A = [ 1, [ ] 1, ] = [ 1, ] Logo, a opção correta é a [B].. Seja c o comprimento do retângulo e a largura do retângulo. Sabemos que c = 7 + e P = + c. Então, P = + (7 + ) = = = = + 1 Como P, temos: [10, +[ A largura tem, no mínimo, 10 cm. c = 7 + c = c = 17 cm R.: As dimensões mínimas do retângulo são 10 cm de largura e 17 cm de comprimento. 6. A média dos três valores é dado pela expressão 8,11 + 8, + x = 1 x + +,1 Como a média deve ser inferior a 8,6 e superior a 8,, então: 1 x + +,1 > 8, 1 x +,1 < 8,6 1 x >,79 1 x <,09 x > 8,7 x < 9,7 C.S. = ]8,7; 9,7[ R.: Na última medição o valor de PH poderá estar entre 8,7 e 9,7. Praticar + páginas 10 a Como as retas r e s são paralelas, então têm o mesmo declive. Sendo r : y = + 10x, então s: y = 10x + b. A reta s interseta o eixo Oy no ponto (0, 0). Logo, a ordenada na origem é 0. s: y = 10x A abcissa do ponto A é e A é um ponto de reta r. Logo, y = + 10 y = + 0 y = Então, A(, ) 1.. O sistema é impossível porque as retas são estritamente paralelas.. Substituindo a por 7 e b por na expressão a b + (a + b), obtém-se: 7 + (7 + ) = = = = = = 101 Logo, 7 Ψ = 101

38 A_Prova 8. Resolvendo o sistema x y = 8 ( y) y = 8 10 y y = 8 x + y = x = y y y = 8 10 y = x = y = x = 1 x = 1 C.S. = 1, (x, y) = 1,. Seja x a quantidade procurada. Assim, 1 x é terça parte dessa quantidade x x = ( ) ( ) x + x = C.S. = {00} R.: A quantidade procurada é 00.. A opção [A] não é a correta porque π A, uma vez que π >. Como A, as opções [B] e [C] não são corretas. Logo, a opção correta é a [D]. 6. A média dos três números é dada pela expressão (x + 9) + (7x ) + (x) x + 7x + x + 9 = = = 10x + 6 = 1 0 x + Como a média é igual a x, então 1 0 x + = x ( ) ( ) 10x + 6 = 1x 10x 1x = 6 x = 6 6 C.S. = {} x + 9 = + 9 = 1 7x = 7 = 18 x = = 6 R.: Os números são 6, 1 e f(a) = g(a) a + = a a + a = 0 a a + = 0 (a ) = 0 a = C.S. = {a} Logo, a opção correta é a [B] (x ) = x 1 x 6 = x 1 x x = x = C.S. = { } Equação impossível x 6 = (x 1) 1 1 x 6 x 1 = ( ) ( ) ( ) x + 6 = x + x + x = C.S. = { } Equação possível e determinada. 8.. (x ) = x 6 x = x 6 1 ( ) ( ) ( ) x 1 = x 6 6 x x = x = 0 C.S. = R Equação possível e indeterminada.