MATEMÁTICA. A(6; 5) t IV) m t. c) Para 0 < θ <, resolva a equação: θ + cos θ + 1 =. sen 2 1

Transcrição

1 MATEMÁTICA A diferença entre dois números inteiros positivos é. Ao multiplicar um pelo outro, um estudante cometeu um engano, tendo diminuído em 4 o algarismo das dezenas do produto. Para conferir seus cálculos, dividiu o resultado obtido pelo menor dos fatores, obtendo 9 como quociente e como resto. Determine os dois números. Se a e b, com a > b, forem os dois números naturais, então: a b ab 4 b. 9 a b a 4 b 9b b Respostas: e 4 A hipotenusa de um triângulo retângulo está contida na reta r : y 5x, e um de seus catetos está contido na reta s : y x. Se o vértice onde está o ângulo reto é um ponto da forma (k, 5) sobre a reta s, determine a) todos os vértices do triângulo; b) a área do triângulo. A(; 5) t IV) y 5 (x ) y x mt (t) y x V) x 4 e y 7 B(4;7) (r) y 5x b) A ABC u.a. Respostas: a) A(; 5) B(4;7) C(; ) b) A ABC u.a. a) Calcule cos θ em função de sen θ e de cos θ. b) Calcule sen θ em função de sen θ e de cos θ. c) Para < θ <, resolva a equação: sen sen θ cos θ θ cos θ. sen θ cos θ a) cos(θ) cos (θ θ) cos(θ). cos θ sen (θ). sen θ ( cos θ ). cos θ sen θ. cos θ. sen θ cos θ cos θ sen θ. cos θ cosθ. ( cos θ sen θ ) b) sen(θ) sen (θ θ) sen(θ). cos θ cos (θ). sen θ senθ. cos θ. cos θ ( sen θ). senθ senθ. cos θ senθ sen θ senθ. ( cos θ sen θ ) c) Para < θ <, temos: a) I) A(k; 5) s 5 k k Então: A(; 5) (r) y 5x II) x e y C(; ) (s) y x m III) s m t t s sen sen(θ) cos(θ) θ. cos θ senθ cosθ sen θ. cos θ senθ. ( cos θ sen θ ) senθ cosθ. ( cos θ sen θ ) cosθ FUVEST (ª Fase) Janeiro/

2 cos θ. cos θ cos θ sen θ cos θ sen θ cos θ. cos θ cosθ. (cosθ ) cosθ, pois cosθ Portanto: θ Respostas: a) cos(θ) cosθ. ( cos θ sen θ ) b) sen(θ) senθ. ( cos θ sen θ ) 4 c) Na figura abaixo, tem-se um cilindro circular reto, onde A e B são os centros das bases e C é um ponto da intersecção da superfície lateral com a base inferior do cilindro. Se D é o ponto do segmento BC, cujas distâncias a AC e AB são ambas iguais a d, obtenha a razão entre o volume do cilindro e sua área total (área lateral somada com as áreas das bases), em função de d. Da semelhança dos triângulos ABC e EBD retângulos AB EB h h d tem-se AC ED R d R h d h R A razão entre o volume V do cilindro e sua área total A t é V R R h d h. A R h R t h R Resposta: 5 d Considere dois números reais e µ tais que, µ e µ. a) Determine uma relação entre e µ, para que as equações polinomiais x µx x ( ) e x x ( ) possuam uma raiz comum. b) Nesse caso, determine a raiz comum. a) Se, µ e. µ, então as equações polinomiais possuem raiz comum, que é a raiz do sistema determinado pelas duas equações: x x ( ) (II) x µ x x ( ) (I) x µ x x ( ) x x ( ) x ( µ) x x. x ( µ)] µ x ou x Para x, resulta e portanto não serve, de acordo com o enunciado. µ Para x, temos em (II): ( ) ( ). µ µ ( ) µ µ µ µ µ µ, pois ( µ). (µ ) µ, pois µ. b) Para µ temos µ. Assim a raiz comum µ ( ) x será x Respostas: a) µ b) x FUVEST (ª Fase) Janeiro/

3 No plano complexo, cada ponto representa um número complexo. Nesse plano, considere o hexágono regular, com centro na origem, tendo i, a unidade imaginária, como um de seus vértices. a) Determine os vértices do hexágono. b) Determine os coeficientes de um polinômio de grau, cujas raízes sejam os vértices do hexágono. a) O hexágono regular é o da figura seguinte, cujos vértices A, B, C, D, E e F são, respectivamente, os afixos dos números: cos i sen i cos 9 i sen 9 i i cos 5 i sen 5 i cos i sen i cos 7 i sen 7 i i cos i sen i 7 Um agricultor irriga uma de suas plantações utilizando duas máquinas de irrigação. A primeira irriga uma região retangular, de base m e altura m, e a segunda irriga uma região compreendida entre duas circunferências de centro O, e de raios m e m. A posição relativa dessas duas regiões é dada na figura, onde A e B são os pontos médios das alturas do retângulo. Sabendo-se ainda que os pontos A, B e O estão alinhados e que BO m, determine a) a área da intersecção das regiões irrigadas pelas máquinas; b) a área total irrigada. Utilize as seguintes aproximações:,4,,4 e arc sen,4rad. b) Esses números são as raízes sextas de e, portanto um polinômio de grau, cujas raízes sejam os vértices desse hexágono, é x ou seja. x. x 5. x 4. x. x. x Respostas: a)os vértices do hexágono são os afixos dos números complexos: i; i; i; i; i; i b),,,,,, FUVEST (ª Fase) Janeiro/

4 I) Cálculo da base x, em metros, do retângulo FEDC GH. HI CH. HF ( x) (5 x). x 4x 5 x 4x x x ( ) x, II) Cálculo da área S, em metros quadrados, do retângulo FEDC S x.,. 4 III) Cálculo da área S, em metros quadrados, do triângulo FOC CF. HO. ( x) S x IV) Cálculo da área S, em metros quadrados, do segmento circular limitado pelo arco CGF e pela corda CF..arc sen S.. S, Assim: a) A área S i, em metros quadrados, da intersecção das regiões irrigadas é dada por: S i S S 4 4 b) A área total S t, em metros quadrados, da região plana irrigada é dada por: S t. ( ) S i Respostas: a) m b) 44m Um dado, cujas faces estão numeradas de um a seis, é dito perfeito se cada uma das seis faces tem probabilidade / de ocorrer em um lançamento. Considere o experimento que consiste em três lançamentos independentes de um dado perfeito. Calcule a probabilidade de que o produto desses três números seja a) par; b) múltiplo de. a) Se p for a probabilidade do produto dos três números ser ímpar então p será a probabilidade desse produto ser par. Logo: 7 p.. e p b) ) A probabilidade de se obter uma face 5 e duas faces pares é... ) A probabilidade de se obter uma face 5, uma par e uma ímpar diferente de 5 é... ) A probabilidade de se obter uma face par e duas vezes a face 5 é ) A probabilidade de se obter um produto múltiplo de é, portanto, igual a. 4 7 Respostas: a) b) 9 Dado um número real a, considere o seguinte problema: Achar números reais x, x,, x, não todos nulos, que satisfaçam o sistema linear: (r ) (r ) x r ((r ) (r ) (r 4) (r ) a ( ) r ) x r (r ) x r, para r,,,, onde x x 7. a) Escreva o sistema linear acima em forma matricial. b) Para que valores de a o problema acima tem solução? c) Existe, para algum valor de a, uma solução do problema com x? Se existir, determine tal solução. (r )(r )x r ((r )(r )(r 4)(r )a ( ) r )x r (r )x r ) r ( ) ( )x (. ( ). ( ). ( 5)a ( ) ) x ( )x ) r. ( )x (. ( ). ( ). ( 4)a ( ) ) x ( )x 4 FUVEST (ª Fase) Janeiro/

5 ) r ( ).. x (.. ( ). ( ). a ( ) ) x. x 4 4) r 4 (). (). x (... ( ). a ( ) 4 ) x 4. x 5 5) r 5 ().. x 4 ( 4... ( ). a ( ) 5 ) x 5. x ) r 4.. x 5 ( a ( ) ) x. x 7 7) Para x x 7 tem-se: x x ( a )x x x x x 4 x 5 x 4 ( a )x 5 x x 5 x ( a ) ] ] ) O sistema linear acima é sempre possível e admite a solução trivial x x x x 4 x 5 x. Para que existam x, x, x, x 4, x 5, x, não todos nulos, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser zero. ( a ) a a ] x x x x 4 x 5 x ( ). ( ). ( a ) a ( a ). ( a ) a ou a 9) Para x e x x 7, o sistema é: x ( a )x x x x x 4 x 5 x 4 ( a )x 5 x x 5 x Este sistema terá solução se a pois para x e x tem-se x e ( a ) x x a. A solução será x, x, x x 4 x 5 x Respostas: a) O sistema é ] ] x ( a ) x x x 4 a x 5 x ] b) O problema tem solução para a ou a a a ( ) ( a ) a c) Para a a solução do problema é x, x, x x 4 x 5 x 5 FUVEST (ª Fase) Janeiro/

6 São dados os pontos A e B e um segmento contendo os pontos G, H e I. Sabe-se que A e B pertencem, respectivamente, às diagonais CE e DF de um quadrado CDEF, cujo centro é O. A distância de A a O é igual a GH e a medida do lado do quadrado é igual a GI. Construa, usando régua e compasso, um quadrado CDEF, satisfazendo as condições acima. Descreva e justifique as construções utilizadas. Justificativa da contrução ) O centro O do quadrado CDEF pertence à circunferência de diâmetro AB pois A ^OB 9. ) O centro O pertence à circunferência de centro A e raio AO GH. ) Os vértices do quadrado pertencem à circunferência de centro O e raio igual à metade da diagonal do quadrado e são tais que C; E} OA e D; F} OB. Construção ) Traça-se a mediatriz de GI obtendo-se M. Sobre esta mediatriz marca-se o ponto K tal que MK MG. A medida de GK é a metade da medida da diagonal do quadrado. ) Constroi-se a circunferência de diâmetro AB. COMENTÁRIO Com questões enunciadas precisamente, a prova de Matemática da FUVEST exigiu determinação, conhecimento e traquejo algébrico do candidato. Nem sempre o espaço reservado para a resolução era suficiente para escrever todas as passagens matemáticas. ) Constroi-se a circunferência δ de centro A e raio GH. Na intersecção de com δ obtêm-se os pontos O possíveis. 4) Desenha-se a circunferência de centro O e raio GK que intercepta a reta OA em C e E e a reta OB em D e F. 5) Para cada ponto O o problema apresenta uma solução. A figura seguinte mostra uma destas soluções. FUVEST (ª Fase) Janeiro/