CPV O cursinho que mais aprova na fgv

Transcrição

1 CPV O cursinho que mais aprova na fgv GV economia a ase 0/dezembro/00 MTEMÁTIC 0 O polinômio p() = + tem três raízes inteiras Se a primeira delas é o dobro da terceira e a soma da primeira com a segunda é, então, o produto da primeira pela segunda é: b) 67 6 Chamando de α, β e γ as raízes, temos: α = γ (I) α+β= (II) α+β+ γ = (III) CPV fgv0fddezeco de II e III temos γ = α = e β = 7 O produto α β = 6 0 Observe as cinco primeiras figuras de uma seqüência infinita O número de quadradinhos escuros da figura que ocupa o 9 o lugar nessa seqüência é: b) Para a n-ésima figura da seqüência, o n o de quadradinhos escuros é n n + dado por:, sen é par ou,sen éímpar Para n = 9 (ímpar), n = = 7 lternativa B 0 O gerente de uma loja aumentou o preço de um artigo em % Decorrido um certo tempo, ele percebeu que não foi vendida unidade sequer desse artigo Resolveu, então, anunciar um desconto de tal modo que o preço voltasse a ser igual ao anterior O desconto anunciado foi de: 0% b) % % % 0% Sendo P o preço antes do aumento e D o valor do desconto, então: +% D P, P P, P ( D) = P D = 0, O desconto deve ser de 0% lternativa 0 Num concurso que consta de duas fases, os candidatos fizeram uma prova de múltipla escolha, com 0 questões de alternativas cada Na segunda fase, outra prova continha 0 questões do tipo falsa ou verdadeira Chamando de n o número dos diferentes modos de responder a prova da a fase e de n, o número dos diferentes modos de responder a prova da a fase, tem-se que: n = n b) n = 0 n n = n n = 0 n n = 0 n Temos: n = 0 = ( ) 0 = 60 e n = 0 Daí: n 60 = n 0 = 0 ou seja: n = 0 n lternativa D

2 fgv 0//00 CPV o cursinho que mais aprova na fgv log log9 0 Considere a matriz = log log9 com IR, > 0 e e seja n o determinante de Considere as equações: () 6 + = 0 () + () 9 = 0 () = () = Pode-se afirmar que n é raiz da equação: () b) () () () () Temos que n = = 0 log log 9 = então n = log 0 log9 Da equação () 9 = 0 resulta = que é igual a n 06 Sejam f e g duas funções de R em R, tais que f() = e g() = Então, o gráfico cartesiano da função f (g ()) + g (f ()): passa pela origem b) corta o eio no ponto ( ; 0) corta o eio y no ponto (6; 0) tem declividade positiva passa pelo ponto (; ) Se f() = e g() =, então h() = f (g()) + g (f()) h() = f ( ) + g () h() = + h() = 6 cujo gráfico passa pelo ponto (; ) lternativa E 07 circunferência γ da figura seguinte é tangente aos eios e y e tem equação + y 6 6y + 9 = 0 área da superfície sombreada é: 9 (π ) b) π 9 9 ( π ) 99 ( π ) 66 π ( ) O centro e o raio da circunferência + y 6 6y + 9 = 0 são C (; ) e R = área da superfície sombreada é: = (π ) = 9( ð) 0 Uma pirâmide reta de base quadrada e altura de m está inscrita numa esfera de raio m dotando π =, pode-se afirmar que: V esfera = 6 V pirâmide b) V esfera = V pirâmide V esfera = V pirâmide V esfera = V pirâmide V esfera = V pirâmide V esfera = πr = () = = 6 m V pirâm = B h = () Vesfera Vpirâmide = 6 = m = 6 V esfera = 6 V pirâmide lternativa 09 Por ocasião do Natal, um grupo de amigos resolveu que cada um do grupo mandaria mensagens a todos os demais E assim foi feito Como o total de mensagens enviadas foi 6, pode-se concluir que o número de pessoas que participam desse grupo é: 6 b) 7 Seja n o número de amigos no grupo Cada um enviaria mensagens para os demais, isto é, (n ) mensagens Então, o número total de mensagens será n (n ) = 6 n n 6 = 0 n n 6 = 0 n = ou n = (não convém) lternativa D CPV fgv0fddezeco

3 CPV o cursinho que mais aprova na fgv gv 0//00 0 O menor número possível de lajotas que deve ser usado para recobrir um piso retangular de,60 m por 7,0 m, com lajotas quadradas, sem partir nenhuma delas, é: 00 b) 70 6 Para que o número de lajotas seja o menor posssível, devemos ter uma lajota quadrada de maior lado possível, isto é, o lado deve ser a = mdc (60, 70) portanto a = 0 cm O número de lajotas é n = 0 0 = 6 lternativa D Quatro meninas e cinco meninos concorreram ao sorteio de um brinquedo Foram sorteadas duas dessas crianças ao acaso, em duas etapas, de modo que quem foi sorteado na primeira etapa não concorria ao sorteio na segunda etapa probabilidade de ter sido sorteado um par de crianças de seo diferente é: De 990 a 000, o tempo de escolaridade entre os candidatos à vaga de vendedor dessa empresa cresceu, em média: 7% b) % % % % O tempo médio de escolaridade por aluno em 990 é: T = =, anos 0 Da mesma forma, o tempo médio no ano 000 foi: T = = 0 7 T 0 =, % lternativa E T, O gráfico que melhor representa a dependência entre o volume e o raio da base de todos os cilindros que têm cm de altura é b) 9 b) 9 Possibilidades: o sorteio o sorteio ou o sorteio o sorteio M e H H e M ou 9 9 probabilidade será: P = P = 9 lternativa s tabelas seguintes mostram o tempo de escolaridade de candidatos a uma vaga de vendedor de uma empresa nos anos de 990 e 000 Número de candidatos 990 Tempo de escolaridade (anos) Número de candidatos Tempo de escolaridade (anos) O volume do cilindro é dado pela fórmula V = π r h, onde r é o raio e h é a altura ssim, pelos dados do eercício, temos: V = π r V = π r Portanto, o gráfico que melhor representa a dependência entre o volume e o raio da base é uma parte de uma parábola Obs: no gráfico da resposta, está indicada a unidade do volume como sendo cm Mas, na verdade, o volume é dado em cm CPV fgv0fddezeco

4 fgv 0//00 CPV o cursinho que mais aprova na fgv No plano cartesiano, a reta de equação y = + corta o lado C do triângulo de vértices = (; 7), B = (; ) e C = (0; ), no ponto: (; ) b) (; ) (; 6) 7 7, + (,; ) Equação de C y 7 0 = 0 + y = 0 + y = 0 Na intersecção das retas, tem-se: y = de onde vem = e y = lternativa B Uma estrela regular de bicos está inscrita numa circunferência de raio m Levando-se em conta a medida do ângulo assinalado na figura e os dados a seguir, podese afirmar que o perímetro da estrela é de: Med ângulo seno cosseno 0º º 60º 90º 0 Pela Lei dos Cossenos: cos 0º = / ( ) =l +l llcos0º =l l = = = 6 Perímetro = l = = lternativa D 6 superfície de uma pirâmide, que tem n faces, é pintada de modo que cada face apresenta uma única cor, e faces que têm uma aresta comum não possuem a mesma cor Então, o menor número de cores com as quais é possível pintar as faces da pirâmide é: n cores, qualquer que seja n b) (n + ) cores, qualquer que seja n cores, qualquer que seja n cores, se n é par, e cores, se n é ímpar cores, se n é par, e cores, se n é ímpar Há possibilidades: Se n é par, o número de faces laterais é ímpar então bastam cor para a face de baio e para as faces laterais + = b) Se n é ímpar, o número de faces laterais é par então bastam cor para face de baio e para as faces laterais + = lternativa E 7 figura seguinte representa a planificação da superfície de um dado em forma de cubo ( 0º l l b) Desse modo, é possível afirmar que: a soma dos pontos das faces opostas é sempre um número par b) o produto dos pontos de faces opostas é sempre par a soma dos pontos de faces opostas é sempre divisor de a soma dos pontos das faces não opostas à face é múltiplo de o produto dos pontos das faces não opostas à face 6 é igual a 0 CPV fgv0fddezeco

5 CPV o cursinho que mais aprova na fgv gv 0//00 Montando o dado, obtemos a figura ao lado Portanto, teremos como faces opostas 6 e, e, e 6 ssim, obtemos a soma dos pontos das faces opostas: + = 6 + = 6 (ecluímos as alternativas a, b e 6 + = 9 soma dos pontos das faces não opostas à face é: =, que é múltiplo de lternativa D alternativa não deia claro se devemos considerar o ou não, apenas eclui o O ponto P é o afio de um número compleo z e pertence à circunferência de equação + y = 9 Sabendo-se que o argumento de z é 60º, pode-se afirmar que: z = + i b) z = + i z = + i + i 6 6 Pela figura sen 60º = y e cos 60º = y = e = Sendo z = + yi e substituindo + i os valores de e y, tem-se z = + i lternativa B 9 Um cubo de aresta de 0 cm de comprimento deve ser seccionado como mostra a figura, de modo que se obtenha uma pirâmide cuja base PB é triangular isósceles e cujo volume é 0,7% do volume do cubo Cada um dos pontos e B dista de P:,7 m b), m,7 m, m 0,7 m )60º P(,y) V cubo = 0 cm = 000 cm V pirâmide = V cubo 0,7% =,7 cm V pirâmide = b H P = BP V pirâmide =,7 cm = P =, cm b = P BP P = P 0,0 cm = P lternativa D unidade de medida foi dada equivocadamente em m e não em cm 0 Observe as figuras seguintes figura foi ampliada para a figura e esta também foi ampliada para a figura O fator de ampliação da figura para a figura é: b) B P H = 0 cm Observando a figura, percebe-se que a sua base ocupa quadradinhos Já a base da figura ocupa quadrados, ou quadradinhos, visto que quadrado é igual a quadradinhos Portanto, o fator da ampliação da figura para a figura é / CPV fgv0fddezeco

6 6 fgv 0//00 CPV o cursinho que mais aprova na fgv Considere as funções reais dadas por f() =, g() = f() e h() = g(f()) s retas que representam as funções f e h: são perpendiculares no ponto (, ) b) são perpendiculares, no ponto (0, 0) não são perpendiculares, mas se encontram no ponto (, ) passam pelos pontos (, ) e (0, ) não se encontram, isto é, são paralelas f () = e g () = g () = f( ) h () = g (f ()) = g ( ) = f( ) f( ) h () = s curvas representativas de f e h correspondem a duas retas de mesmo coeficiente angular e coeficientes lineares distintos ssim, são retas paralelas lternativa E O gráfico seguinte descreve como a população do Brasil que tem 0 anos ou mais, em 00, se distribuía em relação ao seo e anos de estudo DISTRIBUIÇÃO D POPULÇÃO DE 0 NOS OU MIS DE IDDE, OCUPDS, SEGUNDO O SEXO E O GRUPO DE NOS DE ESTUDO BRSIL 00 Um octaedro regular está inscrito num cubo de aresta com cm de comprimento, isto é, seus vértices coincidem com o centro de cada face do cubo, como mostra a figura O volume do octaedro é: 6 cm b) 6 cm cm cm cm Calculamos a área da secção transversal do octaedro a meia altura do cubo: secção = quadrado = = cm Essa secção corresponde à base de pirâmides, uma com o vértice para cima, outra com o vértice para baio, ambas tocando as faces superior e inferior do cubo V = secção = cm lternativa B No gráfico seguinte estão representados os três primeiros trapézios de uma seqüência infinita Pelos vértices, B, C, D desses trapézios passa o gráfico de uma função eponencial f() = a Se a área total dos infinitos trapézios dessa seqüência é /6, então: IBGE, Pesquisa Nacional por mostra de Domicílios, 00 De acordo com essa informação, é possível concluir que em 00, no Brasil, entre as pessoas com 0 anos ou mais, o percentual de homens é menor do que o percentual de mulheres, na faia de menos de ano de instrução b) a anos de estudo a 7 anos de estudo a 0 anos de estudo anos de estudo ou mais Nas cinco faias identificadas, a única em que a porcentagem associada aos homens é menor que seu equivalente para as mulheres é a última (,% contra,%) lternativa E f () = b) f () = f () = f () = ( ) CPV fgv0fddezeco

7 CPV o cursinho que mais aprova na fgv gv 0//00 7 Inicialmente, identificamos as ordenadas y dos pontos, B, C, D: f (0) = a 0 = f () = a 0 f () = a f () = a Temos, então, os trapézios: B a ( ) = + a ( a + a ) ( a + a ) = = s áreas calculadas compõem uma PG infinita convergente, de a ( a ) razão a e soma: + SPG, = = a = q 6 a f () = lternativa D Um observador colocado no centro de uma esfera de raio m vê o arco B sob um ângulo α de 7º, como mostra a figura Isso significa que a área do fuso esférico determinado por α é: 0 π m b) π m 0 π m π m π m B y a 0 = a a a C a a a C D a () 6 Uma instituição financeira oferece um tipo de aplicação tal que, após t meses, o montante relativo ao capital aplicado é dado por M(t) = C 0,0t, onde C > 0 O menor tempo possível para quadruplicar uma certa quantia aplicada nesse tipo de aplicação é: meses b) anos e 6 meses anos e meses 6 anos e meses anos e meses m(t) = C 0,0t Para m(t) = C, temos: C = C 0,0t = 0,0t 0,0t = t = = 0 meses 0,0 ou anos e meses 7 No quadriculado seguinte, está representado o caminho percorrido por uma joaninha eletrônica, em que o menor quadrado tem lado cujo comprimento representa m distância real entre o ponto de partida C da joaninha e o de chegada é: 0 m b) m m m m distância real entre os pontos C e só leva em conta as posições inicial e final da joaninha: 6 Lembrando que a área da superfície circular é = πr e R =, temos: π 60º 7º = 0π m lternativa C C = 6 + = 6 + = 0 C = 0 m C lternativa CPV fgv0fddezeco

8 fgv 0//00 CPV o cursinho que mais aprova na fgv No estoque de uma loja há 6 blusas pretas e brancas, todas de modelos diferentes O número de diferentes pares de blusas, com cores diferentes que uma balconista pode pegar para mostrar a uma cliente, pode ser calculado assim: 0, (C 6, + C, ) b) C 0, (C 6, + C, ) 0, 6, C 0, C 6, C 0, 6, b) O estoque contém 0 blusas: 6 pretas e brancas Caso a balconista queira pegar uma blusa de cada cor, o número de probabilidades pode ser calculado da seguinte forma: C 0, C 6, C, total de pares total de total de pares formados sem nenhuma pares formados por blusas azuis restrição por blusas pretas lternativa B 9 O quadrado representado a seguir tem lados paralelos aos eios e y e sua diagonal B está contida numa reta cuja equação é y = b) y = + y = + y + + y = + Obs: questão só teria coerência caso se assumisse que o ponto dado fosse ( ; ), e não (, ) como afirma o enunciado Caso contrário, seria impossível construir um quadrado com aquelas especificações Como os lados do quadrado são paralelos aos eios coordenados, podemos obter os demais vértices, como mostra a figura abaio: epressão da diagonal B y pode ser calculada a partir dos pontos e B: y = m + n ( ; ) B(; ) = m ( ) + n = m + n m = n = B : y = ( ; ) lternativa B(; ) 0 Um fabricante de produtos esportivos gasta R$ 0,00 para produzir uma bola de tênis Ele estima que, se vender cada bola por reais, conseguirá produzir e vender (0 ) unidades desse produto Sabendo que o lucro y que ele tem com a venda de cada bola é a diferença entre o preço unitário de venda e o preço unitário de custo, o gráfico que melhor representa a variação do lucro desse fabricante, com o preço de venda, é: Considerando para (0 ) unidades: Equação do custo: C = (0 ) 0 Equação da venda: V = (0 ) equação do lucro será: L = (0 ) 0 (0 ) L = , portanto o gráfico é: COMENTÁRIO D PROV DE MTEMÁTIC Consideramos que a prova de Matemática para o curso de Economia da FGV apresentou bom nível de formulação, por meio de questões abrangentes, com enunciados objetivos e claros No seu conjunto, avaliamos ainda que as 0 questões mostraram bastante adequação quanto à cobertura dos assuntos propostos pelo programa Entretanto, observamos algumas incorreções nos enunciados das questões 9 e 9, bem como nas alternativas listadas na questão creditamos que, apesar de não comprometer a qualidade geral da prova, esse fator poderia ter afetado o desempenho de um candidato bem preparado DISTRIBUIÇÃO DS QUESTÕES y 0 0 Números Compleos Geometria Raciocínio,% Plana Polinômios Lógica Seqüências,,% 0% Estatística P e PG Funções Geometria Espacial 0% Porcentagem e Juros Geometria nalítica,% Probabilidades,% Combinatória Matrizes e 0% Determinantes,% CPV fgv0fddezeco