ELABORAÇÃO: PROFESSOR OCTAMAR MARQUES. RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA. 2possui mais de uma solução real. RESOLUÇÃO:

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1 RESOLUÇÃO DO SIMULADO DE MATEMÁTICA _7 _ APLICADO NO COLÉGIO ANCHIETA BA, NAS TURMAS DA A SÉRIE DO ENSINO MÉDIO. Sobre números reais é verdade que: ELABORAÇÃO: PROFESSOR OCTAMAR MARQUES. PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA. () Se p e q são números irracionais, então p q é um número irracional. () Se,4... é igual a fração irredutível n m ; m, n Z, então m n 7. (4) A equação possui mais de uma solução real. (8) A soma dos elementos do conjunto-solução da equação ()5 é igual a 7. (6) <. ) FALSO. Consideremos os números irracionais p e q, tais que p q. Faendo em substituição, temos: p q ( conjunto dos números racionais). p q a devida ) VERDADEIRO ,... Façamos, m m n 7 4,.. n 4) FALSO.. O que é impossível, pois esse valor anula os denominadores das frações, assim a equação é impossível. 8) FALSO. ( 5) ( 5) que é uma proposição falsa no conjunto dos números reais. 6) VERDADEIRO. Se <, < < <, resolução do simuladomatemática7.doc_8/7/7_ado

2 . Considere o quadrado ABCD tal que A (, ) e B (, ) com os vértices C e D no primeiro quadrante. Pode-se afirmar que: () C (, ). () O simétrico do ponto D em relação ao eio dos é o ponto D (, ). (4) O segmento A C, simétrico do segmento AC em relação à primeira bissetri, possui o ponto (,). (8) O gráfico da equação ( )( ) contém os lados BC e CD do quadrado ABCD. (6) O simétrico do gráfico da equação em relação à origem é o gráfico da equação. () Se os pontos (a, b a) e (b, a) são simétricos em relação ao eio dos, então a {,,, 4, 6}. () VERDADEIRO. Como os pontos A (, ) e B (, ) estão sobre o eio dos, o lado AB do quadrado mede u.c. O lado BC é perpendicular ao eio O. Logo os pontos C (,) e D (,). () VERDADEIRO. Os pontos D e D são eqüidistantes do eio O e pertencem à reta que é perpendicular ao eio O. (4) FALSO. (8) VERDADEIRO. A equação ( )( ) é verdadeira para ou, ou seja para todo par ordenado no qual ou. (6) FALSO. resolução do simuladomatemática7.doc_8/7/7_ado

3 Analisando o gráfico acima onde estão representadas as retas e, vemos que o ponto B (, ) pertence à reta, mas o seu simétrico A (, ), em relação à origem, não pertence à reta, logo as retas não são simétricas em relação à origem. Podemos também chegar à mesma conclusão da seguinte forma: Se o ponto (,) pertence ao gráfico da equação, então o ponto (, ) pertence ao gráfico de sua simétrica em relação à origem. Na equação, substituindo e, respectivamente por e, temos: ( ) ( ) ( ), cujo gráfico é simétrico ao da equação. () FALSO. Se os pontos (a, b a) e (b, a) são simétricos em relação ao eio dos, então a a a b a b a a {,,,4,6} b a ( a) b a b. Sobre polinômios pode-se afirmar que: () O polinômio p() n n, n N, é divisível por. () O resto da divisão de 4 por é o polinômio. (4) Se i é rai do polinômio 6 a b; a, b R, então 7 é, também, rai. (8) Se i é rai da equação 4 6 p, então p 4. (6) Se os polinômios ( p) e q r são idênticos, então q 4r. () VERDADEIRO. Se um polinômio p() é divisível por, então p( ). Substituindo em p() n n, por, temos ( ) n ( ) n ( ) ( ) resolução do simuladomatemática7.doc_8/7/7_ado 4

4 () VERDADEIRO. (4) FALSO. (8) FALSO. Efetuemos a divisão de 4 por : 4 4 Se i é rai do polinômio 6 a b, então i também o é. Considerando a terceira rai do polinômio e aplicando as Leis de Girard i i 6 Sendo i é rai da equação 4 6 p, então i também o é. Considerando a terceira rai do polinômio e aplicando as Leis de Girard i i 4 4. Pela aplicação das mesmas Leis: ( i)( i).4 p p 8 p 8. (6) VERDADEIRO. Da afirmação de que os polinômios ( p) e q r são idênticos, então, p p q r 4p q p q q p r p 4 q r 4 q 4r. 4. Uma mistura de álcool e gasolina está contida num reservatório cilíndrico de cm de raio e 8cm de altura. O nível dessa mistura está a 6cm do fundo do reservatório. Considerando π, é verdade que: () A mistura tem volume igual a 6 litros. () Se a mistura contém % de álcool, então o percentual do volume de álcool em relação ao de gasolina é de %. (4) Se a quantidade de gasolina é o dobro da de álcool e se, nesse reservatório for colocado álcool até ele ficar completamente cheio, então o percentual de álcool na nova mistura será de 5%. (8) A mistura inicial será totalmente retirada do reservatório em menos de um minuto se for utiliada uma bomba com vaão de litros por segundo. resolução do simuladomatemática7.doc_8/7/7_ado 5

5 (6) Se 6 da mistura inicial for transportado para um reservatório cônico (vértice para baio) de 6cm de raio e 6cm de altura, o nível da mistura transportada ficará a cm do vértice desse reservatório. () VERDADEIRO. O volume da mistura coincide com o volume de um cilindro de cm de raio e 6cm de altura. Logo V πr h..6 6cm 6 litros. () FALSO. Se a mistura contém % de álcool, então o percentual do volume de álcool em relação ao de gasolina é de %8 %. (4) VERDADEIRO. No reservatório eistem 6 litros de mistura na qual a quantidade de gasolina é o dobro da de álcool, logo, considerando como A a quantidade de álcool contida nessa mistura: AA 6 A 54. O volume total do reservatório é: V πr h..8 6cm 6 litros. Como o reservatório contém 6 litros de mistura, para ficar completamente cheio serão necessários (6 6) 54 litros de álcool. A nova mistura conterá então (5454) 8 litros de álcool. 8 O percentual de álcool na nova mistura será de 5%. 6 (8) FALSO. Se a bomba a ser utiliada para a vaão total da mistura inicial, e se a bomba tem vaão de litros por segundo, os 6 litros da mistura serão totalmente retirados do reservatório em 6: 8 segundos min seg, logo em mais de um minuto. (6) VERDADEIRO. 6 6 da mistura inicial equivale a 7 litros. 6 O volume do cone que irá receber os 7 litros da mistura é: V6 litros. Podemos escrever a seguinte relação (considerando como h a altura atingida pelo líquido): h 6 h 6 h cm. resolução do simuladomatemática7.doc_8/7/7_ado 6

6 5. A proposição A B implica A ou B equivale a: () Se A B, então A e B. () A B, somente se A ou B. (4) A e B é condição suficiente para A B. (8) A B ou A B. (6) Não é verdade que A B, A e B. A proposição dada equivale a: Se A B então A ou B. Esta implicação que indicaremos por r tem para antecedente p a sentença A B e para conseqüente q, a sentença A e B. Logo r: p q. Deste modo podemos escrever a equivalência : Se A B então A ou B (p q) Na análise que faremos não interessa então se r (p q) é verdadeira ou falsa. () FALSO. A proposição: Se A B, então A e B equivale à implicação (~p ~q) e não a (p q). () VERDADEIRO. É só notar que p q equivale a p somente se q. (4) VERDADEIRO. (~q ~p) é a implicação A e B A B que equivale à proposição dada (p q) e pode ser lida assim: A e B é condição suficiente para A B. A (8) VERDADEIRO. Temos que: ~(p q) p ~q. Negando p ~q temos : ~( p ~q) ~p q ~(~(p q)) p q. Então A B ou A B Se A B então A ou B (6) VERDADEIRO. Sendo p ~q ~(p q), então ~( p ~q) ~(~(p q)) p q. Assim concluímos que a negação: ~( A B e A e B) equivale a Se A B então A ou B. resolução do simuladomatemática7.doc_8/7/7_ado 7

7 6. A respeito de Matemática Financeira é verdade que: () Se o preço de certo objeto aumentou 8% e, em seguida, sofreu uma redução de 5%, então houve um aumento de,6% em relação ao preço inicial. () Se após meses a valoriação de uma ação foi de 8%, sendo de 5% a valoriação no primeiro mês, então a valoriação dessa ação no segundo mês foi superior a %. (4) O montante obtido com a aplicação de certo capital, em três meses, a juros simples de % ao mês é superior ao que seria obtido se esse capital, no mesmo prao, fosse aplicado a juros compostos de % ao mês. (8) Uma mercadoria foi vendida por R$ 55, com lucro de % sobre o preço de custo. Se esse custo sofresse um aumento de 5%, então o lucro seria de R$,5. (6) Se uma promissória no valor de R$ 9.. deve ser paga em certo mês, o desconto racional simples que se obtém antecipando esse pagamento em 5 meses, com taa de % ao mês, é igual a R$.,. () VERDADEIRO. Consideremos que o preço de certo objeto era C. Se este valor sofreu um aumento de 8% e, em seguida, sofreu uma redução de 5%, então seu valor final é: C,8,95,6C CC,6%. () FALSO. Se após meses a valoriação de uma ação foi de 8%, sendo de 5% a valoriação no primeiro mês, considerando C como valor inicial das ações, podemos escrever a equação:,8,5c i,8c i,,5. (4) FALSO. O montante resultante da aplicação de certo capital, sob o regime de juros simples, em três meses, a juros simples de % é: M C Cit C(it) C(,),C. O montante resultante da aplicação do mesmo capital, sob o regime de juros compostos, no mesmo prao, a uma taa de % ao mês é: M, C,C. Logo o primeiro montante é inferior ao segundo. (8) VERDADEIRO. Se uma mercadoria foi vendida por R$ 55, com lucro de % sobre custo C, então,c 55 C R$ 5,. Se esse custo sofresse um aumento de 5%, o valor de custo do objeto seria,5c,5 5 R$ 5,5. Como o objeto foi vendido por R$ 55,,então o lucro seria de R$,5. resolução do simuladomatemática7.doc_8/7/7_ado 8

8 resolução do simuladomatemática7.doc_8/7/7_ado 9 (6) VERDADEIRO. Sendo M o valor a ser pago no final do período ( cinco meses), C é o valor a ser pago antecipando o pagamento em cinco meses. M C Cit C(it) C it M C 5 9. Com antecipação de cinco meses no pagamento a promissória será quitada por R$ 6.,.Logo o desconto racional simples que se obtém é igual a R$.,. 7. Considere a matri A. É verdade que: () A A t é uma matri simétrica. () A é inversível. (4) deta deta t. (8) Se B A, então 9 b. (6) ( ),, é solução do sistema homogêneo. () Os sistemas e são equivalentes. RESPOSTA: () VERDADEIRO. A A t 4 4 onde a a, a a e a a. Então A A t é uma matri simétrica. () VERDADEIRO. deta 4 deta A é inversível. (4) VERDADEIRO. deta deta t (8) FALSO.

9 resolução do simuladomatemática7.doc_8/7/7_ado Se B A , então b. (6) FALSO. No primeiro membro do sistema homogêneo substituindo, e por seus valores na terna ( ),, e efetuando o produto, () VERDADEIRO. No primeiro sistema faendo L L e L L, temos :. No sistema resultante faendo: L L o que nos leva a concluir que os sistemas são equivalentes. 8. A figura representa a planta de uma praça formada pelo retângulo ABCD, um paralelogramo EFGH e regiões semicirculares. Os lados do retângulo são tangentes às regiões semicirculares que são gramadas. As demais regiões são pavimentadas. Considerando π e sabendo que EF 8m e EH 6m, é verdade que: () A área gramada é igual a 75m. // HG AB

10 () A área pavimentada correspondente ao paralelogramo é inferior a 4m. (4) A diagonal FH tem medida superior a 7m. (8) A medida de BC é superior a m. (6) A área total da pavimentação (área não gramada) é superior a m. () VERDADEIRO. A área gramada corresponde à dos círculos de raios medindo, respectivamente, m e 4m, logo ela é igual a π( 4 ) 5 75m. () FALSO. A área pavimentada correspondente ao paralelogramo é equivalente ao dobro da área do o triângulo EHF, ou seja / EH EF sen ,7 4,8 m. / (4) VERDADEIRO. FH é a hipotenusa do triângulo retângulo FHI, logo FH HI FI. HI EH sen6 o 6 FH FH 5 m > 7m. (8) VERDADEIRO. BC 4 HI 4 8 5,,m > m. (6) VERDADEIRO. As dimensões do retângulo ABCD são 4m e,m (aproimadamente), logo sua área é 8,4m. Logo a área total da pavimentação (área não gramada) é: 8,4m 75m 8,4m > m. resolução do simuladomatemática7.doc_8/7/7_ado

11 QUESTÕES 9 e. Efetue os cálculos necessários e marque a resposta na Folha de Respostas. 9. ABCD é um quadrado de lado 6cm. As medidas dos segmentos AE e FC são, respectivamente, cm e cm. Sendo P um ponto de uma das diagonais do quadrado determine a distância, em centímetros de P ao lado AB sabendo que a área do triângulo PFE é igual a 5cm. Considerando o ponto A como origem dos eios cartesianos temos que os vértices do triângulo PEF, são os pontos P(,), E(,) e F(4,6). Como a sua área mede 5cm, temos > 6(impossível) ou ou 4 6 RESPOSTA: A distância do ponto P ao lado AB é cm. resolução do simuladomatemática7.doc_8/7/7_ado

12 . A figura mostra a seção transversal de um túnel onde ECD é um semicírculo de raio metros. Na escavação desse túnel, para cada 6m de seu comprimento foram retirados 6m de pedra. Calcule o valor da epressão, considerando π. A figura mostra a seção transversal de um túnel onde ECD é um semicírculo de raio metros. Na escavação desse túnel, para cada 6m de seu comprimento foram retirados 6m de pedra. Calcule o valor da epressão, considerando π. A figura espacial representativa do túnel é composta de um prisma retangular e de um semicilindro, então 6 π seu volume é: 6 ± ± ± RESPOSTA: O valor de é 8. resolução do simuladomatemática7.doc_8/7/7_ado