Matemática B Semi-Extensivo V. 3
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- Maria Antonieta Rico de Carvalho
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1 Matemática Semi-Extensivo V. Exercícios 01 (x, x; (, 1; (7, d, = d, x x x x = x + 4x x + x + 1 = x 14x x 4x + 4 4x = 48 x = (, 0 (1, 1; G(, ; M(, 1 (x, y = x = 1 x x = 5 = y x y 1 = 1 y x = x = 18 y y = y y y = 1 y = 15 (18, (, y; (6, 7 d = 10 ( 6 ( y 7 = y 14y + 49 = 100 y 1 y 14y + 1 y " 1 05 ( 1, 1; (5, 7; (x, d, = d, ( x 1 ( 1 ( x 5 ( 7 x + x = x 10x x = 96 x = 8 06 (1, 0; (5, 4 ; (x, y y = 1 (5, 1 (x, y x G = x x x = 1 5 x x = y G = y y y = 1 1 y y = 7 (, 7 0 (, 1; (, ; (x, y = Medida do lado l d, = ( 1 5 ( 0 4 = = 8 d, = 8 ( x 1 ( y 0 = (8 x x y = 64 x + y = 6 + x d, = 8 (I ( x 5 ( y 4 = (8 x 10x y 8 y + 48 = 64 x + y = x + 8 y (II Matemática 1
2 De I e II, temos: x + 8 y = 6 + x 8x + 8 y = 7 (8 x + y = 9 x = 9 y (III Substituindo III em I, obtemos: x + y = 6 + x (9 y + y = 6 +. (9 y y + y + y = y 4y 16 y (4 y 4 y y 0 y. (y 4 y " 4 x = 9 y Se y, x = 9 ponto (9, 0 não está no o Q. Se y = +4, x = e (, 4 está no o Q. 07 (1, ; (, 08 (1, 1; N(5, 4; M(4, M é ponto médio de. = x x 4 = 1 x x = 7 = y = 1 y y = (7, y N é ponto médio de. x N = x x 5 = 7 x x = y N = y y 4 = y cos 60 o = x 1 = x x = 1 bcissa de : = sen 60 o = y = y y = Ordenada de : + (, + y = 5 (, 5 aricentro: G x G = x x x x G = y G = y y y y G = 1 5 = G 11, Matemática
3 09 (cos x, sen x; (sen x, cos x d, = (cos x senx ( senx cos x = cos x cos x. senx sen x sen x cos x. senx cos x = (cos x sen x = 10 D (, 5; ( 1, ; (0, 4 D é ponto médio de. x D = x x x D = 1 = 1 y D = y y y D = 5 = 4 D(1, 4 M é ponto médio de D. = x x D 1 = 1 = y y D = 4 4 M 1, 0 11 M(, 1; N(5, ; P(, x + x = 4 x x = x P x x = x + x = 4 x x = x N x x = 5 x + x = 10 x x 4 x x 4.( 1 x x 10.( 1 x x 4 x x 4 x x 10 x = 18 x = 9 x = 1; x = 5 y y = y y = 1 y + y = y y = y P y y = y + y = 6 y y = y N y y = y + y = 4 y y y y 6.( 1 y y 4.( 1 x x x x = = y y y y 6 y y 4 y = 4 y = y = 6; y = 4 ( 5, 4; (1, 6; (9, Soma das coordenadas = 5 Matemática
4 1 14 (0, 0; (, 1; (5, ; D(0, reta que passa pelos pontos OQ é a bissetriz dos quadrantes ímpares. Para qualquer ponto (x,y pertencente à bissetriz, o valor de x é igual ao de y. Portanto, José e ntônio chegam no mesmo horário na diagonal OQ. 1 1 o Ponto (x, 0; D( 1, ; E(, 4 d,d = d,e ( x 1 ( 0 ( x ( 0 4 x + x = x + 4x x = 10 x = 5 ( 5, 0 o Ponto E(, 4; F(, E = 4 EF x xe = 4 x x F E x = 4 x = 1 y ye = 4 y y F E D D = D = 19 S = 19 = 9,5 15 T = 4 (, 1 (, (x, D = 1 = 4 + x + x = x 7 x 0 1 T = D x 7 = 8 = 4 D = 8 x 7 8 x 15 5 x 7 8 x 1 y 4 = 4 4 y (1, 0 o Ponto G(, 10; H(4, 6 x = 4 (, 4 Matemática = ; y = o Área de D = D = D = 148 S = 148 = 74 = 1, 0 ou (5,0 16 (1, 4; (5, ; (4, 7 1 o Ponto M = x x = 1 5 = = y y = 4 = M(,
5 o Ponto N: divide na razão. N N = 1 xn x = x x N xn 1 = 4 xn x N 1 = 8 x N x N = yn y = y y N yn 4 = 7 yn y N 4 = 14 y N y N = 6 N(, 6 19 Área de DEF D = k D = 4k + 5 S = 4 k 5 S DEF = S 4k 5 = 1 4k + 5 = 1 4k + 5 = 1 k = 1 ou 4k + 5 = 1 k = ( 1, ( 4, 4 (, Plano cartesiano = k 1 8k 17 o Ponto P(x, 0 M, N e P alinhados x x 9 6x 9 = x x = P(, 0 ( 0, 8 ( 1, (, 1y São colineares, então: D y 1 y y = 17 y = (, ; (, 4; (4, 6; D(, 4; E(, 8; F(k, 1 d = ( 4 ( d = ( ( d = ( 4 ( Pitágoras ( ( ( ( ( 7 = O triângulo tem dois lados iguais; logo, é isósceles. ( Área de D = = = 1 S = 1 Matemática 5
6 0 6 x y. ( 1 x + y 6 D x + y 1 Onde corta o eixo x, temos: y x 1 x = 6 (6, 0 Note que: (x, 1 e (x, 1. M(1, 1 é ponto médio. = x x 1 = x x x + x = Pelo desenho, a altura D vale. S =. = 1 = 8 x x = 8 x x x x 8 x = 10 x = 5; x = (, 1; (5, Onde corta o eixo y, temos: x y 1 y = 4 (0, 4 S = 6. 4 = 1 1 (1, 1; (, + y x + x y y 4x + 5 y = 4x 5 oef. angular = 4 oef. linear = Incorreto. (1, 0; (, m y y x x 0. orreto. = Incorreto D = = 10 = S = D 08. orreto. 8 = 4 (5, 0; (, (, 0; (0, 10 + y x 5y x y ( 1 x + y 10 6 Matemática
7 5 r: x + y 6 6 s: x 1 x = 1 t: y = x s passa por (6, 0 e (0, x y 0 0 5x 6y 5x + 6y Vértices (1, 1 é o ponto de encontro de r e t. Então é solução do sistema: x y 6 0 y x x + x 6 x = 6 x = y = (, é o ponto de encontro de s e r. Logo, é solução do sistema: x 1 0 x y 6 0 x = y 6 y = 5 (1, 5 Área do triângulo D = = = 8 S = 8 = 4 r passa por (0, e (, 0. 0 x 0 0 y y x + 6 x + y = 6 E é o ponto de encontro de r e s. 5x 6y 0 x y 6.( 5x 6y 0 9x 6y 18 14x = 48 x = 4 7 5x + 6y y y (6 + y = 5 y = Matemática 7
8 y = S DE = r(x + y s(x y t(x = S = 18 a. a = 18 a = 6 a = 6 Segmentária Ponto r s: x y x y x / 6 x y 0 y 0 9 x y = x + y = 6 (, 0 Ponto t s: x y x 1 y 4 y 4 1, 4 Ponto r t: 1, 4 x y x 1 y 4 y 4 S = 6 base x altura = 6. x = 6 x = 8 y = 4 (8, 4 Graficamente, temos um triângulo isósceles e não retângulo. 8 Matemática
9 0 0 y = x 1 oeficiente linear = Verdadeira x y x y 1.( 01. Incorreto. 0. Incorreto. reta que passa por e é horizontal, com coeficiente angular zero. 04. orreto. r: x + y 4 (, 1 pertence à r, pois D( 1, 5 pertence à reta, pois Logo, r contém a diagonal D. 08. Incorreto. x + y 4 Fazendo x, temos y = orreto. omo o quadrado tem lados paralelos aos eixos x e y, basta obter os pontos médios dos segmentos. e : x = 1 = 1 e : y = 5 1 = entro: (1, 1 D (10, 5 (15, x y y + 5x 75 40x 10y 15x + 5y + 5 ( 5 x y 5 58 r: (1, 0; (, 1 x 1 0 y 0 + y + x y x + y 01. Falsa Os coeficientes angulares são diferentes. 0. Verdadeira = 04. Falsa y x + 1 y = x 1 x y x 4y 5y y ; x = 1 P(1, Verdadeira P(, 4 r: x + y Verdadeira = m s = 1 x t t x r: y 5t y = 5. ( x y = 5x = 5 s: P(, 5; m s = 5 y y 0 = m. (x x 0 y 5 = 5. (x + y 5 = 5x 15 5x + y D (1, 1; (9, r: reta que contém = Ponto médio de = 1 9 = 5 = 1 = Matemática 9
10 M(5, s: mediatriz de m s = 4; M(5, y y 0 = m. (x x 0 y = 4. (x 5 y = 4x + Intercepta y quando x. y = 5 (5, ; (1, 5 reta que contém tem coeficiente angular: 6 m = = 4 ; (, y y 0 = m. (x x 0 y = 4. (x y 6 = 4x 8 4x + y +. ( 1 4x y Gabarito h =. h = 9 9 h = h = +. ssim, as coordenadas de e são (0, + ( +, +. S = b. h = (.( = 6 = (6, ; (7, 4 a 6 7 x 6 4 y 4 + 7y + x 14 4x 6y r: x + y ( 1 x y 10 b = m s = 1 ; ( 4, y y 0 = m. (x x 0 e y = 1. (x + 4 tg 75 o = h 1 c d y 4 = x 4 x + y x y 0 x y 10 x 4y 0 x y 10 5y = 10 y = ; x = 4 Q(4,.( h = tg 75 o = tg (0 o + 45 o = o o tg 0 tg 45 o 1 tg 0. tg 45 o h = h = Os pontos Q e pertencem à s. Q é ponto médio de P. x Q = x x P 10 Matemática
11 4 = x P x P = 1 y Q = y P ( 4 y = y P y P = 6 P(1, (4, 1; (1, 1; (4, 5 r: x + y 01. Verdadeira = 1 4 = 5 = 1 5 = M 5, 0. Falsa (4, 5; O(0, 0 d, O = Verdadeira (4, 1; (1, x y y + x 1 x 4y y + ( y Verdadeira r: x + y = = 1 s: 5x + 5y 1 m s = Falsa (4, 1 r: x + y (absurdo 9 P(6, 1 r: 6x 8y 19 a = 6 8 = 4 b m s = 4 ; P(6, 1 y y 0 = m. (x x 0 y + 1 = 4. (x 6 y + = 4x + 4 4x + y 1 4x y 1 0.( c 6x 8y 19 0.( d 1x 9y 6 0 1x 16y 8 0 5y + 5 y = 1; x = 9 M 9, 1 = x P x Q 9 = 6 x Q x Q = = y y P Q 1 = y Q = Q(, 1 y Q e d P, Q = ( 6 ( 1 = 9 16 = 5 40 E x y 8 0 5x 7y 19 0.( 5.( 10x 15y x 14y 8 0 y + y = ; x = 1 P(1, r: x y + = 1 s: P(1, ; m s = y y 0 = m. (x x 0 y =. (x 1 x + y r: kx + 5y 7 s: 4x + ky 5 Matemática 11
12 01. Verdadeira (1, k ( 7 k = Verdadeira 0, 7 5 pertence à r, pois: k Se 0, 7 pertence à s, então: k. 7 5 k = Verdadeira Para k = 5, 5 r: 5 x + 5y 7 = 5 5 s: 4x + 5 y 5 m s = = m s 08. Verdadeira P(, 1 pertence à s k. 1 5 k = 4 5 = 5 5 d = 7 5 d = r: x y 5 I. Verdadeira P(0, 5:. 0 ( 5 5 = s: x y m s = = m s II. Verdadeira P(1, :. 1 ( 5 Q(, 1:. 1 5 III.Verdadeira = s: x + y 5 m s = 1 IV.Verdadeira r: x y 5 y = x 5 oeficiente angular = > 0. Função crescente. V. Falsa s: 4x y 5 m s = 4 t passa por (, 1 e é perpendicular à s. m t = 4 y y 0 = m. (x x 0 y 1 = 4. (x 4y 4 = x + 6 x + 4y Falsa k r: 0. x + 5y 7 4 y = 7 5 Reta r x y = 1 1 x y = 1 Matemática
13 y = x y = x + y = x + 1 I. Verdadeira Raiz x = II. Verdadeira y = x + 1 III.Verdadeira rescente. IV.Falsa f(0 = f(0 V. Falsa y = x D Planta 0 5 x y 0 0 5y 6x. ( 1 6x 5y 45 E x y 0. ( 5x y7 0 4x y 0 5x y 7 9x = 7 x = ; y = 6 Soma: 6 = 9 46 D P( 1, 1; m = 5 y 1 = 5(x + 1 y = 5x + 6 5x y = 1 0x + 4y 8 altura relativa ao lado é dada por: h d , = 0 4 = 16 4 = 4 48 Reta que passa por (4, 0 e (0, x y 0 8x 4y (4 8 x y y = 8 x Intersecção y 8x y 8x x 8 x = 8x x x 10x + 8 ( x 5x + 4 x' = 1 y' = 6 x" = 4 y" (1, 6; (4, 0 mediatriz do segmento é a reta r formada pelos pontos P(x, y equidistantes de e. d P, = d P, ( x 1 ( y6 ( x 4 y x x 1 y 1y6 x 8x16 y 6x 1y + 1 ( x 4y E Reta que contém. 1 5 x 1 0 y + 5y + x 10 x y Matemática 1
14 d sr = s r = 0 = 1 1 x y + ou x y x y = ou x y = 50 D (, 1 r(x y Verdadeira s // r m s = = 1 y 1 = 1(x y 1 = x x y 1 Verdadeira r eixo x y 0 Ponto ( 1, 0 x y 1 0 x 1 Falsa r(x y + 1 t (x + y + x y 1 x y y x / 4 y 1 x x + (x + 1 = 1 x x x 1 1 x + x ( x + x x' ; x" = 1 x y = 1 x = 1 y (0, 1; ( 1, orreto. y + 1 y = Incorreto. E = x + y 1; P(1, 1 E = E = 1 > 0 ponto exterior. orreto. y = sen x P(, 1 4 Falsa m z = 1 1 = 1 1 y 1 = 1(x y 1 = x + x + y x y 1 x y y x / x 1 14 Matemática (1, (0, 0; R = 1 (x 0 + (y 0 = 1 x + y = Incorreto. x + y 1 0. orreto. P(cos, sen satisfaz a equação, pois cos + sen = orreto. y x 1 x y 1 Intercepta o eixo x uma única vez, no ponto P(0, 0. 5 (,
15 oeficiente angular de s M(, ; N(6, 1 m s = 1 = 6 4 oeficiente angular de r y + x 1 r: x + y 1 = Falsa x y 1 0 x y 6 0.( = m s = ; P(, 4 4 Equação de r y + 4 = (x + 4 x y 0 x y 6 0 5x + 4 4y + 16 = x + 9 x + 4y + 7 altura h do triângulo é dada por h = d, r h =.( h = 5 5 h = 5 5 r: x + y 1 s: x + y + Vamos obter um ponto P de s e calcular sua distância à r. x y = P(0, d Pr , 11 x = 4 5 Observação: Pelo gráfico já se pode perceber que a abcissa do ponto de encontro é negativa. 08. Verdadeira Origem: P(0, 0 r: x + y 1 d P, r = = 1 = Falsa ase = = ltura = ordenada do ponto r: x + y 1 x = y 1 = = y = S = 5 S = (1, r: x y Verdadeira 0 x 0 y 0 6 x + y. ( 1 s: x y Falsa s: x y + 6 m s = r: 0 1 x y 1 O lado l é dado por l = d, r. l = = 1 1 Matemática 15
16 Área = ( = r: y x + 5 ; = s: y + 1 ; m s 58 t: x + y + 6 ; m t = Incorreta. m s 0. orreta. = 1 m t 04. orreta. Origem: P(0, 0 r: x + y + 5 d P, r = orreta. 5 5 = 1 P(0, No triângulo, ( 5 = + 0 = 4 + = 4. = tg = = 4 = ssim, y y 0 = m(x x 0 y =. (x 0 y = x + 59 S = 6. = 9 Ponto : x y 4 x y y 1 x / y x 1 (, 1 Ponto : x y 4 eixo x y x = 4 (4, 0 57 Ponto : x + y + eixo x y x = (, D 0 0 = = 18 h é a distância entre e a reta r que contém. r: 1 x 1 7 y 7 + y + x 6 7x + y 4x + y 1 h = d, r h = 4.( 1.( = 4 T = 18 = Reta r 1 : (1, e 6, x y 5 16 Matemática
17 6 6 6 yx xy y + 10x 6 6x 5y 4x y ( x y Reta r : (1, 1 e 6, x y yx xy y + 5x 6x 5y x y +. ( 1 x + y 01. orreto orreto. 1 e 04. orreto. 08. orreto. m = e 1 Matemática 17
Matemática B Extensivo V. 6
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Matemática B Extensivo V. 7
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Matemática B Semi-Extensivo V. 3
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01 Na forma reduzida, temos: (r) y = 3x + 1 (s) y = ax + b a) a = 3, b, b R b) a = 3 e b = 1 c) a = 3 e b 1 d) a 3 1 0 y = 3x + 1 m = 3 A equação que apresenta uma reta com o mesmo coeficiente angular
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