Matemática A Extensivo V. 3

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1 Extensivo V. Exercícios 01) 01. Falso. Substitua a e b por e, respectivamente. ( + ) = = 7 = 7 = 7 (falso) Como a equação já não vale para esses números, não vale para todos os reais. 0. Verdadeiro. Se x <, então x 10 < 0. Como x 10 é negativo, x 10 = x Falso. Observamos se os números contidos no interior de cada módulo são positivos ou negativos. Por exemplo, 7 é positivo, e se esse número é positivo, seu módulo é o próprio número. E = E = E = = Verdadeiro. x x 10 8 x 1 (), x Com x N, então A = {0, 1,,, } Subconjuntos de A: n = = 16. Falso. Uma das propriedades de módulo afirma que x + y x + y e não igual como sugere o item.. Verdadeiro. É uma das propriedades de módulo que o módulo de um produto é igual ao produto de módulos, ou seja, x. y = x. y. 0) a) S = { 1; } b) S = { ; } 0) E a) x = x = ou x = x = ou x = 8 x = 1 ou x = S = { 1, } b) x = x = ou x = x = 1 ou x = 9 Impossível em R x = ± S = {, +} Por aproximação sabe-se que < <. Portanto, é negativo enquanto é positivo. + = + + = 1 0) C Se < x <, sabe-se que x sempre é positivo x sempre negativo. x + x = x x + = 0) A 06) B Lembrar-se da propriedade de radiciação: Se n é natural par, x n = x. ( x + 1) = x + x + 1 = x + Se x + 1 = x +, temos duas equações: x + 1 = x + ou x + 1 = x x = 1 ou x = x = 1 ou x = 07) A Fazendo uma mudança de variável x = y, temos: y y = 0 S = y 1 = 1 P = y = Como x = y, temos x = 1 (absurdo) ou x =. Se x =, então x = ou x =. Fazemos a verificação na equação modular: x = =. 1 + = = (Falso) x =. + 1 =. + x = 1 = 1 (Verdadeira) Fazendo a mudança de variável x = y. y + y 1 = 0 S = y 1 = P = 1 y = Como x = y, temos x = (absurdo) ou x =. Se x =, então x = ou x =. Soma das raízes: + = 0 1

2 08) C 09) B Aplicando a raiz quadrada nos dois lados da equação: ( x 1x+ 8) = 11 x 1x + 8 = 11 x 1x + 8 = 11 ou x 1x + 8 = 11 x 1x + 7 = 0 ou x 1x + 9 = 0 Δ = ( 1). (1). (7) S = 1 x 1 = 7 Δ = P = 9 x = 7 Δ = 88 Como Δ = 0, a equação possui duas raízes reais e distintas. Tem-se então um total de três raízes distintas. Fazendo a mudança de variável x + = y y + y = 0 S = 1 y 1 = P = y = 1 Como x + = y, então x + = (absurdo) ou x + = 1. Se x + = 1, então x + = 1 ou x + = 1. x = 1 ou x = Soma das raízes: 1 = 10) A A definição de módulo nos diz que x = x, sex 0 x, sex< 0 Como x = ( a b) = a b, temos: x = a b se a b, 0 ( a b), se a b< 0 11) A Desenvolvendo as expressões, temos: x = a b se a, b b a, se a< b Raízes dos módulos: x + 1 = 0 x = 1 x = 0 x = Soma dos elementos: + 1 = 1) A 1) D A = {x R/x x 1 = } Raíz do módulo: x 1 = 0 x = 1. Se x 1: x (x 1) = x x + 1 = x = É solução Se x < 1: x ( x + 1) = x + x 1 = x = x = (não está no intervalo x < 1) Não é solução Com A = {}, então A B = {} ou A B =. Para isso, basta observar se também é elemento de B.. < < (Falso) Como B então A B =. Como ( h 1 ) 1,, então 1 ( h 1) 1.() (h 1) +(1) 11 h 17 A altura máxima possível é de 17 cm = 1,7 m. 1) B 1) B 16) D x 1 x 1 Somando 1 a todos os membros temos: 1 x Logo, b = e a = 1 b a = ( 1) = Uma das propriedades de módulo nos diz que: x a a x a Consequentemente, x 0 x 0. Somando 0 a todos os membros, temos: 8 x O peso mínimo de cada pãozinho deve ser 8 g. 100 pãezinhos: = 800 g =,8 kg. Pela definição de módulo, temos: x, sex x = 0 x, sex< 0 A inequação pode ser resolvida em duas etapas: x < x se x 0 ( x) < x se x < 0 x > 0 se x 0 x < x se x < 0 x > 0, se x 0 0 < 0, se x < 0

3 17) B 18) A 19) A 0) E Veja que, para x 0 (caso 1), todo valor de x > 0 satisfaz. Para x < 0 (caso ) a inequação é impossível, pois 0 nunca será menor que 0. Logo, a solução é x > 0, ou seja, todos os números reais positivos. Analisaremos as alternativas separadamente: a) Falso. Basta tomar x = 0 e y = 1. Veja que 0 < 1, mas 0 > 1. b) Verdadeiro. Esta é uma das propriedades de módulo. O módulo do produto de dois números é igual ao produto dos módulos. c) Falso. O certo seria x + y x + y. d) Falso. Basta tomar x = 1. Veja que 1 = 1. e) Falso. Se x < 0, então x = x. De uma das propriedades de módulo sabe-se que a = b a = b ou a = b. x x + = x x x + = x ou x x + = x + x x + = 0 ou x x 1 = 0 S = S = 1 P = P = 1 Embora seja difícil pensar números com a soma e o produto acima, o que nos interessa é apenas o produto de todas as raízes. P =. ( 1) = Raízes dos módulos: x 1 = 0 x = 1 x = 0 x = Soma das raízes: 1 + = Análise dos itens: I. Verdadeiro. Sabe-se o módulo de um número real é maior ou igual a zero: 0 p q. Logo, 0 q e q R + 1) 09 ) D II. Verdadeiro. Uma das propriedades de módulo nos garante que: p q q p p Lembrar que módulo significa distância até a origem. III. Verdadeiro. Se p 0, então p = p. Disso sabemos que p q. Mas para qualquer número real q q, logo p q. Considere agora p < 0, logo p = p. Disso sabemos que p q. Se p < 0 é trivial, pois q é sempre um número positivo ou zero, um número negativo sempre será menor que um positivo. Logo, p q. IV. Verdadeiro. Sabe-se que p q. Aplicando módulo dos dois lados: p q p q 01. Verdadeiro. z 1z + 6 = 0 Fazendo a mudança de variável z = x x 1x + 6 = 0 S = 1 x 1 = P = 6 x = 9 z = ou z = 9 z = ± ou z = ± S = {,,, }. 0. Falso. x + 9 = x = Elevando os dois lados da equação ao cubo, temos: ( x) = ( ) x = 6 (solução real) 0. Falso. x = x + Elevando os dois lados da equação ao quadrado temos: (x ) = ( x + ) x 6x + 9 = x + x 7x + 6 = 0 S = 7 x 1 = 1 P = 6 x = 6 Testando as raízes na equação original vemos que x = 6 é a única solução. 08. Verdadeiro. Em R uma potenciação com expoente par sempre resultará num número maior ou igual a zero. Por isso, em R a equação não possui solução. Fazendo mudança de variável x = y, temos: y + 6 = 1 y y 1y + 6 = 0 S = 1 y 1 = P = 6 y = 9

4 ) B x = ou x = 9 x = ± ou x = ± Soma dos quadrados das raízes: ( ) + () + ( ) +() = 6 x = ( 6 x) x = ( 6 x) x = 6 x x + x 6 = 0 S = 1 x 1 = P = 6 x = ) B Verificação das raízes: = x = 6 x 6 ( ) ( Falso) = 6 = ( Verdadeiro) Solução: x = Fazendo a mudança de variável x = y, temos: y + y = 0 Δ = b. a. c Δ = (1).. ( ) Δ = = 61 Como Δ > 0, a equação possui duas raízes reais e distintas para y. Pelas fórmulas de soma e produto sabe-se que: S = b a = 1 P = c a = Como o produto das raízes é negativo, sabemos que a equação possui uma raiz negativa e outra positiva. Porém, estes são apenas os valores de y, temos que descobrir x lembrando que x = y. Quando igualamos x ao valor negativo de y, não obtemos raízes reais, pois uma potenciação com expoente par nunca é negativa. Quando igualamos x ao valor positivo de y, ou seja, x = y, obtemos duas raízes reais e distintas, pois x = ± y. Então a equação possui duas soluções. 6) D 7) A x + x +1 = 6 x +1 = 6 x ( x +1) = (6 x) x + 1 = 6 1 x + x 1 x = x = x = Verificamos na equação que = 6. Portanto, V = {} x +10 x = 0 x +10 = x ( x +10) = ( x ) x + 10 = x 1 = x Verificação: = 0 = 0 (ok) Portanto, V = {1} 8) E Fazendo a mudança de variável sen x = y, temos: y + y = y + y = 0 Δ = (). (). ( ) Δ = Δ = y = ± y = ± y = ou y = 1. Como sen x = y, então: sen x = ou sen x = 1 Impossível ) D Fazendo a mudança de variável x = y, temos: y 10y + 9 = 0 S = 10 y 1 = 1 P = 9 y = 9 Como y = x, então x = 1 ou x = 9. Temos como raízes x = ±1 ou x = ±. x + x + x + x = ( 1) +( 1) + ( ) +( ) = 0 = 1 S = { π 6, 6π }

5 9) E 0) C Fazendo a mudança de variável (x )! = y, temos: y 6y + 8 = 0 S = 6 y 1 = P = 8 y = Como (x )! = y, então: (x )! = ou (x )! = x = ou x = x = 6 ou x = 8 x = ou x = Alguns valores de fatorial: 0! = 1 1! = 1! = 1! = 6! = x = x x = x + = x x = + 1) B Veja que temos uma única raiz, sendo esta um número irracional e positiva. Fazendo a mudança de variável x 1= y, temos: y + y 0 = 0 S = y 1 = 10 P = 0 y = Como x 1= y então: x 1= 10 ou x 1= x 1 = 1000 ou x 1 = 1 x = 999 ou x = 16 x = ou x = ) B Equação: x + x 1 = 1 x 1 = 1 x Elevando os dois lados da equação ao quadrado temos: ( x 1) = (1 x) x 1 = 1 x + x x x + = 0 S = x 1 = 1 P = x = Verificando x = 1 e x = na equação original, vemos que apenas x = 1 é raiz da equação. O valor de x x = (1) 1 = 1 ) C Equação x + x+ = x + : Eleva-se os dois lados ao quadrado: ( x + x+ ) = (x + ) x + x + = x + 6x + 9 x x = 0 S = x 1 = 1 P = x = ) A Como a e b são as raízes, então a expressão apresentada vale: N = (( 1) + () + 1) + (( 1) + ()) 10 N = (0) + () 10 N = N = 971 x. (x + 1) = x + [ x. (x + 1)] = [ x + ] [ x]. (x + 1) = x + x. (x + x + 1) = x + x + x + x = x + 1 x + x = 0 Resolvendo a equação obtemos como raízes: x = ou x = 1. Como a equação original possui um membro sendo x, sabe-se que x não pode ser negativo. Disso concluímos que x = 1 é a raiz da equação. ) B x+ m = x m ( x+ m) = (x m) x + m = x x m + m x x m x = 0 Colocando x em evidência: x. (x m 1) = 0 x = 0 ou x m 1 = 0 x = 0 ou x = m + 1 Verificamos as duas raízes na equação original e concluímos que x = 0 não convém. A equação possui como raiz somente x = m +1.

6 6) A 7) B Fazendo a mudança de variável x x + = y temos: y + y = 0 Colocamos y em evidência: y(y + 1) = 0 y = 0 ou y + 1 = 0 y = 0 ou y = 1 (impossível) Lembramos que x x + = y, logo: x x + = 0 S = x 1 = 1 P = x = Produtos das raízes: 1. = x x 6 = 0 x 6 = x Elevando os dois lados da equação ao quadrado temos: ( x 6) = ( x) x 1. x + 6 = x Como x = x, então: x 1. x + 6 = x Pela definição de módulo sabemos que: x, sex x = 0 x, sex< 0 A equação se reduz em dois casos: I. Se x 0: x 1x + 6 = x x 1x + 6 = 0 II. Se x < 0: x + 1x + 6 = x x + 11x + 6 = 0 S = 1 x 1 = Δ = P = 6 x = 9 Δ = 11 1 = (não possui raiz real) Verificação das raízes: x = 6 = 0 6 = 0 = 0 (impossível) 8) x y= 16 x y = x = = = 0 0 = 0 (ok) 9 é raiz Isolamos x na primeira equação: x = 16 + y Substituimos na segunda: 16 + y y = 16 + y = + y ( 16 + y ) = ( + y ) 16 + y = + y + y y = 1 y = y = 9 9) B Como y = 9 e x y = 16 então x 9 = 16 e x =. Soma dos valores: + 9 = x + + 1= x Elevando os dois lados da equação ao quadrado: ( x + + 1) = x x = x x + = x 1 Novamente, eleva-se os dois lados da equação ao quadrado: ( x + ) = (x 1) x + = x x + 1 x x = 0 Fazendo a mudança de variável x = y, obtemos: y y = 0 S = y 1 = 1 P = y = Como x = y, então: x = ou x = 1 (impossível) x = ± Verificação das raízes na equação x + + 1= x Se x = : Se x = : ( ) = 9+ 1= + 1= = (Falso) 0) E = 9+ 1= + 1= = (ok) S = {} Fazendo a mudança de variável x = y: y 6y + c = 0 Para que a equação possua raízes reais Δ > 0. ( 6). 1. c > 0 6 c > 0 c > 6 ( ) c < 9 Além disso, sabemos que y = x. 6

7 Para que isso faço sentido, as duas raízes de y devem ser números positivos. Lembre-se de que x é uma potência com expoente par. Como as duas raízes devem ser positivas basta observarmos que o produto das raízes também deve ser. P = c a = c > 0 1) B Como c < 9 e c > 0, temos 0 < c < 9. x x + x x 6 = 18 Subtrai-se 6 unidades dos dois lados da equação: x x 6 + x x 6 = 1 Fazemos a mudança de variável x x 6 = y: y + y = 1 y = 1 y ( y ) = (1 y) y = 1 y + y y y + 1 = 0 S = y 1 = 9 P = 1 y = 16 Verificação das raízes na equação y + y = 1: Se y = 9 Se y = = = = = 1 1 = 1 (ok) 0 = 1 (impossível) Temos y = 9 como única raiz, porém devemos voltar à variável x, tendo em vista que x x 6 = y. x x 6 = 9 x x 1 = 0 Δ = ( ).. ( 1) Δ = Δ = 196 x = ( ) ± 196 = ± 1 x x =. 6 ou x = ) 18 Soma das soluções: + = 01. Falso. n(a x B) = n (A). n(b) n(a x B) =. = 1 0. Verdadeiro. f(x) = x m f( ) =. ( ) m 7 = 10 m m = 0. Falso. Se (x, y) A x B, então x A e y B. Se x = 1, então y = 1 = Se x =, então y = = 0 Se x =, então y = = Veja que y = não está em B. Logo x = é um domínio sem imagem e R não é função. ) E 08. Falso. Domínio: condição de existência x + 6 > 0 x > 6 () x > Dm = {x R/x > } 16. Verdadeiro. f(x) = x f() = = 9 = = = = 0 f( ) ( ) f( 0) = 0 = 0 = f() f( ) + f(0) = 0 + ( ) = 1 Para saber se um gráfico representa ou não uma função em [a, b], devemos traçar linhas paralelas ao eixo y no intervalo dado e observar se temos linha sobrando ou tocando em mais de um ponto. Nos itens a, b e c fica evidente que temos linhas tocando o gráfico em mais de um ponto, o que indica que não representam funções. No item d temos linhas sobrando (que não tocam o gráfico). d) ) B Já no item e todas as linhas traçadas no intervalo [a, b] tocam o gráfico e o fazem em somente um ponto. Logo, essa alternativa representa uma função A = {,, 6} B = {1,,, 6, 8} R = {(x, y) A B x y} x A e y B Se x = e x y, então y = 1. Temos o par ordenado (, 1). Se x = e x y, então y = 1 ou y = ou y =. Temos os pares (, 1); (, ); (, ). Se x = 6 e x y, então y = 1 ou y = ou y = ou y = 6. Temos os pares (6, 1); (6, ); (6, ); (6, 6). Domínio: valores de x Dm = {,, 6} e Imagem: valores de y Im = {1,,, 6} 7

8 ) A K = {1,,, } O conjunto K. K representa os pares ordenados (x, y) de modo que x k e y k. Se x = 1, temos os pares: (1, 1); (1, ); (1, ); (1, ). Para cada valor de x (1,, ou ) temos quatro pares ordenados. Representando todos esses pares no plano cartesiano temos: 8) 10 f(x) = x x + 1 f = f = f = = 1 g 1 f +. ( ) 7 = + g(x) = 6x + g( 1) = 6. ( 1) + g( 1) = 6 + g( 1) = 0 + = 0. = = 10 9) C 6) D A = {a, b, c} e B = {a, b} Uma relação de A e B forma pares ordenados (x, y), de modo que x A e y B. Os itens a, b, c e e devem ser excluídos, pois apresentam um de seus pares com c no lugar de y. Como c B, então esses conjuntos não representam uma relação de A em B. Já a alternativa apresentada na letra d pode ser representada pela seguinte relação: (, 1) AB. 1 Ae B ( 6, ) AB. Ae6 B A {,,, } ( 7, ) AB. Ae7 B = 1e ( 8, ) A. B A e B B = {, 6789,,, } 8 (, 19) AB. 1 Ae9 B Soma dos elementos de A: = 11 0) B A = {0, 1,,, } B = {, 8, 9} R = {(x, y) A. B/x é divisor de y} 7) A Vale ressaltar que, embora isso seja uma relação de A em B, ela não representa uma função de A em B. A = [0, ] e B = [0, ] Representando A. B no plano cartesiano, temos o seguinte retângulo: Existem 1 pontos em A. B com coordenadas inteiras. Observe que os extremos dos intervalos estão inclusos em A e B, por isso a borda do retângulo faz parte de A. B. Devemos formar pares ordenados (x, y) com x A e y B de modo que x seja divisor de y. Como nenhum real é divisível por 0, nenhum par ordenado pertencente a R tem x = 0. Por outro lado, 1 é divisor de qualquer número. Formamos os pares (1, ); (1, 8); (1, 9). Se x =, sabe-se que é divisor apenas dos números pares. Formamos então os pares ordenados: (, ); (, 8). Do caso x = sabemos que só é divisor de 9 entre os elementos de B, formando o par (, 9). Por último, divide somente 8 entre os elementos de B formando o par (, 8). A. B = {(1, ), (1, 8), (1, 9), (, ), (, 8), (, 9), (, 8)} 8

9 1) C Para verificar se um gráfico representa uma função, traçamos linhas paralelas ao eixo y e nenhuma das linhas pode tocar em mais de um ponto. 1) Não é função. ) C f( ) = 1 e f(x ) = f(x) 6 Substituímos zero no lugar de x: f(0 ) =. f(0) 6 f( ) =. f(0) 6 1 =. f(0) 6 1 =. f(0) f(0) = 7 ) D ) É função. ) Não é função, pois a linha representada na figura toca o gráfico em dois pontos. Se a mercadoria custa x, seu desconto é de 100. x. Valor a ser pago: f(x) = x 100. x f(x) = x 0,0 x f(x) = 0,9 x ) E Análise do gráfico: ) É função. ) É função. a) Verdadeiro. f(1) + f() = f() 1 + = b) Verdadeiro. f() = f(7) = c) Verdadeiro. f() = f(1) =. 1 d) Verdadeiro. f() f() = f(1) = 1 e) Falso. f() + f() = f() + = 6) C ) D Dm = [ 1, 1] Im = [1, ] Para verificar se um gráfico representa uma função, devemos traçar linhas paralelas ao eixo y e nenhuma das linhas deve tocar o gráfico em mais de um ponto. Entre os gráficos apresentados, o único em que todas as linhas tocam em apenas um ponto é o que consta na alternativa d. Como Dm = [0, [ devemos observar quais gráficos são fechados em x = 0 e abertos em x =. Isso exclui a alternativa b. Como Im = [1, ] devemos observar quais gráficos são fechados em y = 1 e y =. Isso exclui os itens a e d. O gráfico da letra c não representa uma função, pois ao traçarmos linhas paralelas ao eixo y teremos linha tocando em mais de um ponto. Portanto, a letra c é a única que representa uma função com o domínio e a imagem descritos. 9

10 7) D f(x) = x + b e g(x) = 6x + f(0) + g(0) =. 0 + b = b + = b = 8) D g() + 6f = g() + 6f = g() + 6f = g() + 6f = f(0) = 1 e f(n + 1) = fn ( )+ 1 f(0 +1) = f( 0 ) + 1 f(1) = Substituindo n = 1: f(1 + 1) = f( 1 ) f() = Verifica-se que os termos estão em P.A. de razão 1. a n = a 1 + (n 1). r a = a 1 +. r a = +. 1 a = 8 = 1 9) C f(x) = x f(m + n) f(m n) = (m + n) (m n) f(m + n) f(m n) = (m + m. n + n ) (m m. n + n ) f(m + n) f(m n) = m + m. n + n m + m. n n f(m + n) f(m n) =. m. n 60) A x f(x) =, em que x representa o número de residências e f(x) o de carteiros. Como temos 6 carteiros: 00 + x x 6 = 00 + x, x = x 000 = 10x x = 00 61) D f(x) = + x = [f( ) + f( )] = + + = = ( + ) ( ) ( ) = ( ) + = 6 +. ( ) = = 6 + = 8 6) C 6) C 6) A 6) A Para que a intensidade mude o seu sentido ela deve mudar de sinal. Lembre que intensidade é uma grandeza vetorial, pois tem direção e sentido. A intensidade só muda de sinal em t =, 9 s (raiz). Deve-se observar em qual tempo cada um dos indivíduos passou a ter concentração menor que 0,6 g/l com base no gráfico. O que jantou leva horas para estar novamente abaixo de 0,6. O indivíduo em jejum leva, horas para estar nas mesmas condições. Domínio: condição de existência x x f(x) = C.E. 0 x x 0 Sabe-se que o módulo de um número real é sempre maior ou igual a zero, então a única restrição ao domínio é que x 0. Dm = R {0} = R* Domínio: condição de existência x x+ 6 f(x) = x x+ 6 C.E. x x S = P = 6 x e x Dm = R {; } 10

11 66) A f(r) = r 1 1 r r + r 1 f() = f() = + 1 f() = + 1 f() = + 1 g(r) = r + g() = + g() = + g() = 9 g() = 68) C f(x + 1) = f(x) + f(1) e f() = 1 Substituindo x = 1 na primeira equação: f(1 + 1) = f(1) + f(1) f() =. f(1) 1 = f(1) f(1) = 1 Agora substituiremos x = : f( + 1) = f() + f(1) f() = f() + f(1) 67) D f() = = 1 Logo: f() < g() Queremos saber a imagem em [ 1, ), isto é, descobrir os valores de y enquanto x está entre 1 (fechado) e (aberto). Gráfico no intervalo: f() = = Para x = : f( + 1) = f() + f(1) f() = + 1 = Finalmente, se x = : f( + 1) = f() + f(1) f() = + 1 = 69) A Domínio: condição de existência x f(x) = e Dm = R {} x m C.E. x m x m Como o domínio estabelece que x, logo m = e, portanto, m = 8. Observando o modelo gráfico vemos que sua imagem é: Im = 1, 1 (1, ) x f(x) = x 8 8. f(8) = 8. 8 f(8) = 8 = 11