AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA Curso Técnico Integrado em Prof. Valdex Santos Aluno:

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1 Curso Técnico Integrado em Prof. Valdex Santos Aluno: Unidade 4 Em / /12 1. (PUC-SP) Para definir módulo de um número real x podemos dizer que: (a) é igual ao valor de x se x é real. (b) é o maior valor do conjunto formado por x e o oposto de x. (c) é o valor de x tal que x N. (d) é o oposto do valor de x (e) é o maior inteiro contido em x OBS.: SOLUÇÃO NO SLIDE 2. (FGV-SP) Quantos números inteiros não-negativos satisfazem a inequação x 2 < 5? a) infinitos b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 x 2 < 5 5 < x 2 < 5 3 < x < 7. Como queremos o número de valores inteiros não negativos que satisfazem a inequação dada, queremos a quantidade de valores de 0 a 6(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6), ou seja, no total sete números. Portanto, a alternativa correta é a e 3. Ache o conjunto solução das equações: (a) 3x+1 = 6 3x+1 = 6 3x+1 = 6 ou 3x+1 = 6. Resolvendo a primeira equação 3x + 1 = 6 encontramos x = 5 3. Resolvendo a segunda, 3x+1 = 6, encontramos x = 7 { } 3. 5 Logo, o conjunto solução é S = 3, 7. 3 (b) x 2 x 20 = 0 Para resolver a equação modular x 2 x 20 = 0 vamos fazer primeiramente a substituição x = y, encontrando a equação quadrática y 2 y 20, a qual tem soluções y = 5 e y = 4. Voltando a substituição x = y temos: x = 5 x = 5 ou x = 5. Obs.: A solução da equação quadrática y = 4 não satisfaz pois x 0. Portanto o conjunto solução da equação modular x 2 x 20 = 0 é S = { 5,5}. c Valdex Santos Boa Prova! Pág. 1 de 5

2 4. A solução da equação 2 x 1 2 x+2 = 56 é um número: (a) primo (b) múltiplo de 3 (c) divisível por 4 (d) divisível por 7 (e) múltiplo de 5 Vamos resolver esta questão de duas maneiras, a primeira delas foi como explicada nas turmas 411 e 412: 1 a MANEIRA(Utilizando o Método da Substituição): Utilizando as propriedades de multiplicação de potências de bases iguais e expoente inteiro negativo temos que 2 x 1 2 x+2 = 56 2 x x 2 2 = 56 2 x 1 2 2x 4 = 56. Fazendo a substituição 2 x = y obtemos a equação do primeiro grau: y 4y = 56. Resolvendo, temos: y = 56 7y = 112 y = 16. Voltando a substituição 2 x = y temos 2 x = 16 2 x = 2 4 x = 4. Assim a solução da equação é x = 4 que é divisível por 4. Portanto a alternativa correta é a c. 2 a MANEIRA: Utilizando as propriedades de multiplicação de potências de bases iguais e expoente inteiro negativo temos que: 2 x 1 2 x+2 = 56 2 x x 2 2 = 56 2 x 1 2 2x 4 = 56. Colocando ( ) a potência 2 x ( em evidência, ) temos: x 2 4 = 56 2 x = 56 2 x = x = 16 2 x = 2 4 x = Assim, a solução da equação é x = 4 que é divisível por 4. Portanto a alternativa correta é a c. 5. (CEFET-PR) Sejam a e b as soluções da equação exponencial 3 2x 10 3 x +3 2 = 0 Então a+b pertence ao intervalo A) [ 1,0[ B) [0,2[ C) [ 3, 1[ D) [2,3[ E) [3,5[ c Valdex Santos Boa Prova! Pág. 2 de 5

3 Podemos reescrever a equação 3 2x 10 3 x +3 2 = 0 como (3 x ) x +9 = 0. Fazendo a substituição 3 x = y obtemos a equação y 2 10 y +9 = 0. Resolvendo-a, encontramos as soluções y = 9 e y = 1. Voltando a substituição feita 3 x = y temos: 3 x = y 3 x = 9 3 x = 3 2 x = 2 e 3 x = y 3 x = 1 3 x = 3 0 x = 0 Sendo a e b as soluções da equação dada, podemos designar a = 2 e b = 0 e dai a+b = 2+0 = 2. Constatamos facilmente que 2 [2,3[. Portanto a resposta correta é a alternativa d. 6. (Mogi-SP) O número N de decibéis e a potência I de um som medida em watts por centímetro quadrado estão relacionados pela fórmula I = N 10. O número de decibéis corresponde ao som provocado pelo tráfego pesado de veículos, cuja potência é estimada em 10 8 watts por centímetro quadrado, é igual a: (a) 40 (b) 80 (c) 60 (d) 120 (e) 200 Pelo enunciado temos que I = Substituindo este dado na equação I = N 10, temos: 10 8 = N = N 10 8 = 16+ N 10 8 = N 10 N = 80 Logo a solução é N = 80 e a alternativa correta é a b. 7. Resolva as seguintes equações exponenciais: (a) 81 x+2 = 1 Lembrando que o número 1 pode ser reescrito como 81 0 temos: 81 x+2 = 1 81 x+2 = 81 0 x+2 = 0 x = 2. Assim, S = { 2} (b) 4 x 5 2 x +4 = 0 c Valdex Santos Boa Prova! Pág. 3 de 5

4 Podemos reescrever a equação 4 x 5 2 x +4 = 0 como (2 2 ) x 5 2 x +4 = 0 ou ainda (2 x ) x +4 = 0. Agora, fazendo a substituição 2 x = y, obtemos a equação do segundo grau: y 2 5y +4 = 0, a qual tem soluções y = 4 e y = 1. Retornando a substituição 2 x = y temos: 2 x = 4 2 x = 2 2 x = 2 e 2 x = 1 2 x = 2 0 x = 0. Assim, S = {0,2} 8. (QUESTÃO EXTRA) Os biólogos afirmam que, sob condições ideais, o número de bactérias em uma certa cultura cresce de tal forma que a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes no inicio do intervalo de tempo considerado. Suponha que bactérias esteja presentes inicialmente em uma certa cultura e que esteja presentes minutos depois. Escreva uma lei(função) que represente a quantidade de bactérias presentes nesta cultura t horas depois de iniciada a contagem. SOLUÇÃO 1:Podemos relacionar o tempo t em minutos com a quantidade de bactérias b da seguinte maneira: t = 0 b(0) = 2000 = = = t = b() = 4000 = = = t = 60 b(60) = 8000 = = = t = 90 b(90) = = = = t = 120 b(120) = = = = Assim, podemos perceber que a fórmula geral (a função) que representa a situação problema, ou seja, que nos fornece o número de bactérias em função do tempo em minutos é dada por b(t) = t SOLUÇÃO 2: Podemos relacionar o tempo t em horas com a quantidade de bactérias b da seguinte maneira: c Valdex Santos Boa Prova! Pág. 4 de 5

5 t = 0 b(0) = 2000 = = = t = 0.5 b(0.5) = 4000 = = = t = 1 b(1) = 8000 = = = t = 1.5 b(1.5) = = = = t = 2 b(2) = = = = Assim, podemos perceber que a fórmula geral (a função) que representa a situação problema, ou seja, que nos fornece o número de bactérias em função do tempo em horas é dada por b(t) = t Disponível em waldexifba.wordpress.com Fim da avaliação